高一數(shù)學(xué) 知識點 三角函數(shù)及恒等公式 經(jīng)典題 常考題 50道 含答案及解析

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1、高一數(shù)學(xué) 三角函數(shù)及恒等公式 經(jīng)典題 ?？碱} 共50道 高一數(shù)學(xué) 三角函數(shù)及恒等公式 經(jīng)典題 ?？碱} 50道 一、單選題 1.函數(shù)y=cosx|tanx|（0≤x＜ 且x≠ ）的圖象是下圖中的（ ） A.B. C.D. 【答案】C 【考點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，正弦函數(shù)的圖象 【解析】【解答】解：當(dāng)0 時，y=cosxtanx≥0，排除B，D． 當(dāng) 時，y=﹣cosxtanx＜0，排除A． 故選：C． 【分析】根據(jù)x的范圍判斷函數(shù)的值域，使用排除法得出答案． ====================================

2、====================================== 2.若α，β都是銳角，且 ，則cosβ=（ ） A.B.C.或 D.或 【答案】A 【考點】兩角和與差的余弦函數(shù) 【解析】【解答】解：∵α，β都是銳角，且 ， ∴cosα= = ，cos（α﹣β）= = ， 則cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）= + = ， 故選：A． 【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的三角公式，求得cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]的值． ================

3、========================================================== 3.設(shè) 為銳角，若cos = ，則sin 的值為（ ） A.B.C.D. 【答案】B 【考點】二倍角的正弦 【解析】【解答】∵ 為銳角，cos = ，∴ ∈ ， ∴ = = ． 則sin =2 . 故答案為：B 【分析】根據(jù)題意利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式求出正弦的值，再由二倍角的正弦公式代入數(shù)值求出結(jié)果即可。 ============================================================

4、============== 4.sin15sin105的值是（ ） A.B.C.D. 【答案】A 【考點】運用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【解答】sin15sin105=sin15cos15= sin30= ， 故答案為：A．【分析】利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化已知的三角函數(shù)關(guān)系式求出結(jié)果即可。 ========================================================================== 5.已知向量 =（1，﹣cosθ）， =（1，2cosθ），且 ⊥ ，則cos2θ等于（ ）

5、 A.﹣1B.0C.D. 【答案】B 【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系，二倍角的余弦 【解析】【解答】解：由向量數(shù)量積的性質(zhì)可知， =1﹣2cos2θ=0 即﹣cos2θ=0 ∴cos2θ=0 故答案為：B 【分析】由兩向量垂直時，兩向量的數(shù)量積為零，可得到1﹣2cos2θ=0，根據(jù)二倍角的余弦公式可得cos2θ=0. ========================================================================== 6.=（ ） A.B.C.- D.- 【答案】A 【考

6、點】運用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【解答】解：sin =sin = ， 故選：A． 【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式化簡所給的三角函數(shù)式，可得結(jié)果． ========================================================================== 7.在△ABC中，若2cosB?sinA=sinC，則△ABC的形狀一定是（ ） A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形 【答案】C 【考點】兩角和與差的正弦函數(shù) 【解析】【解答】解析：∵2cosB?sinA=sinC=

7、sin（A+B）?sin（A﹣B）=0， 又B、A為三角形的內(nèi)角， ∴A=B． 答案：C 【分析】在△ABC中，總有A+B+C=π，利用此關(guān)系式將題中：“2cosB?sinA=sinC，”化去角C，最后得到關(guān)系另外兩個角的關(guān)系，從而解決問題． ========================================================================== 8.設(shè)角θ的終邊經(jīng)過點P（﹣3，4），那么sinθ+2cosθ=（ ） A.B.C.D. 【答案】C 【考點】任意角的三角函數(shù)的定義 【解析】【解答】解

8、：由于角θ的終邊經(jīng)過點P（﹣3，4），那么x=﹣3，y=4，r=|OP|=5， ∴sinθ= = ，cosθ= =﹣ ，∴sinθ+2cosθ=﹣ ， 故選C． 【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求得sinθ= 和cosθ= 的值，從而求得sinθ+2cosθ 的值． ========================================================================== 9.等于（ ） A.1B.﹣1C.D. 【答案】C 【考點】運用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【解答】解：sin =sin（504π

9、+ ）=sin = ， 故選：C． 【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式，求得要求式子的值． ========================================================================== 10.已知sinα+cosα=-， ， 則tanα的值是（　　） A.-B.-C.D. 【答案】B 【考點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系 【解析】【解答】因為sinα+cosα=-， 又sin2α+cos2α=1， 所以sinα=﹣， cosα=， 所以tanα= 故選B． 【分析】通過平方關(guān)系式與已知表

10、達(dá)式，求出sinα，cosα，即可得到結(jié)果． ========================================================================== 11.（2015安徽）已知函數(shù)f（x）=Asin（+）（A,,均為正的常數(shù)）的最小正周期為，當(dāng)x=時，函數(shù)f（x）取得最小值，則下列結(jié)論正確的是 A.f（2）f（-2）f（0）B.f（0）f（2）f（-2） C.f（-2）f（0）f（2）D.f（2）f（0）f(-2) 【答案】A 【考點】三角函數(shù)值的符號，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用 【解析】【解答】由題意

11、f（x）=Asin（+）（A,,均為正的常數(shù)），T==,所以=2，f（x）=Asin（),而當(dāng)x=時解得= ,kz時，要比較f（2），f（-2），f（0）的大小，所以f（2）f（-2）f（0） 【分析】對于三角函數(shù)比較大小的問題，先得出三角函數(shù)解析式，然后比較解析式進(jìn)行判斷，得出函數(shù)圖像特征進(jìn)行判斷。 ========================================================================== 12.已知向量 =（cosθ，sinθ）， =（1，﹣2），若 ∥ ，則代數(shù)式 的值是（ ） A.B.C.5D.

12、 【答案】C 【考點】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，三角函數(shù)的化簡求值 【解析】【解答】解：向量 =（cosθ，sinθ）， =（1，﹣2），若 ∥ ， 可得：sinθ=﹣2cosθ． = =5． 故選：C． 【分析】利用共線向量的關(guān)系，求出正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的關(guān)系，代入所求表達(dá)式求解即可． ========================================================================== 13.若sin（π+A）=﹣ ，則cos（ π﹣A）的值是（ ） A.B.

13、C.D. 【答案】C 【考點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，運用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【解答】解：∵sin（π+A）=﹣sinA= ∴sinA= ∵cos（ π﹣A）=cos（π+ π﹣A）=﹣cos（ π﹣A）=﹣sinA= 故答案選C 【分析】先通過誘導(dǎo)公式求出sinA的值，再通過誘導(dǎo)公式化簡cos（ π﹣A）進(jìn)而求值． ========================================================================== 14.下列各式中，值為 的是（ ） A. B. C. D.

14、 【答案】C 【考點】二倍角的正弦，二倍角的余弦 【解析】【解答】 ， ， ， ， 故答案為：C． 【分析】利用二倍角的正與、余弦公式求逐一求出結(jié)果即可。 ========================================================================== 15.已知sin2α= ，則cos2（ ）=（ ） A.B.C.D. 【答案】B 【考點】二倍角的正弦，二倍角的余弦 【解析】【解答】∵sin2α= ，∴cos2（ ）= ． 故答案為：B．【分析】借助二倍角的余弦公式整理化簡

15、原有的代數(shù)式，代入數(shù)值求出結(jié)果即可。 ========================================================================== 16.設(shè)α，β為銳角，且sin α= ，cos β= ，則α+β的值為（ ） A.πB.πC.D. 【答案】C 【考點】兩角和與差的余弦函數(shù) 【解析】【解答】解：∵α，β為銳角，∴α+β∈（0，π），∵sin α= ，cos β= ， ∴cosα= = ，sinβ= = ， ∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ= ? ﹣ ? = ， 故α+

16、β= ， 故選：C． 【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα、sinβ的值，再利用兩角和的余弦公式求得cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ的值，結(jié)合α+β的范圍，可得α+β的值． ========================================================================== 17.已知 ＜ ＜π，3sin2 =2cos ，則 等于（ ） A.B.C.D. 【答案】C 【考點】運用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【解答】∵ ＜ ＜π，3sin2 =2cos ，∴sin = ，

17、cos = ． ∴ ， 故答案為：C． 【分析】首先由題意借助角的取值范圍再結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系式sin2 α + cos 2 α =1求出cos α 的值，再由誘導(dǎo)公式的公式求出結(jié)果即可。 ========================================================================== 18.設(shè) 為第四象限的角，cos = ，則sin2 =（ ） A.B.C.D. 【答案】D 【考點】二倍角的正弦 【解析】【解答】∵ 為第四象限的角，cos = ，∴sin = = ， 則sin2 =

18、2sin cos = ， 故答案為：D． 【分析】由同角三角函數(shù)的關(guān)系=1求出sin θ 的值，再結(jié)合二倍角的正弦公式代入數(shù)值求出結(jié)果即可。 ========================================================================== 19.已知 則cos(α+β)的值為（ ） A.- B.- C.D. 【答案】B 【考點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦函數(shù) 【解析】【解答】因為 ， ，所以 ， ， 又因為 ， ，所以 ， ， 故 ，故答案為：B. 【分析】根據(jù)已知角的

19、取值范圍分別得出+α、+β的取值范圍，再借助兩角和差的正弦公式以及同角三角函數(shù)的關(guān)系式求出對應(yīng)的正弦和余弦值，整理要求的cos ( α + β )運用整體思想求出結(jié)果。 ========================================================================== 20.的值為（ ） A.B.C.D. 【答案】D 【考點】二倍角的正弦 【解析】【解答】 = ． 故答案為：D 【分析】利用二倍角的正弦公式分子分母同時乘以需要的正弦值整理化簡原有的代數(shù)式即可求出結(jié)果。 ========

20、================================================================== 21.已知當(dāng) 時，函數(shù)y=sinx+acosx取最大值，則函數(shù)y=asinx﹣cosx圖象的一條對稱軸為（ ） A.B.C.D. 【答案】A 【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的對稱性 【解析】【解答】解：∵當(dāng) 時，函數(shù)y=sinx+acosx取最大值， ∴ 解得： ， ∴ ， ∴ 是它的一條對稱軸， 故選A． 【分析】由題意知當(dāng) 時，函數(shù)y=sinx+acosx取最大值，把值

21、代入表示出最大值，求出a的值，把求出的值代入三角函數(shù)式，表示出對稱軸，得到結(jié)果． ========================================================================== 22.已知cos（α﹣ ）+sinα= ，則sin（α+ ）的值是（ ） A.B.﹣ C.﹣ D. 【答案】B 【考點】兩角和與差的正弦函數(shù) 【解析】【解答】解：∵cos（α﹣ ）+sinα= cosα+ sinα= sin（α+ ）= ， ∴sin（α+ ）= ， 則sin（α+ ）=﹣sin（α+ ）=﹣ ，

22、故答案為：B． 【分析】由兩角差的余弦公式進(jìn)行化簡可得sin（α+）=，根據(jù)三角形誘導(dǎo)公式可得答案. ========================================================================== 23.如圖圓C內(nèi)切于扇形AOB，∠AOB= ，若在扇形AOB內(nèi)任取一點，則該點在圓C內(nèi)的概率為（ ） A.B.C.D. 【答案】C 【考點】幾何概型，扇形面積公式 【解析】【解答】解：由題意知本題是一個等可能事件的概率，設(shè)圓C的半徑為r， 試驗發(fā)生包含的事件對應(yīng)的是扇形AOB， 滿足條件的事件是圓，其面積為⊙C的面

23、積=π?r2 ， 連接OC，延長交扇形于P． 由于CE=r，∠BOP= ，OC=2r，OP=3r， 則S扇形AOB= = ； ∴⊙C的面積與扇形OAB的面積比是 ． ∴概率P= ， 故選C． 【分析】本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件對應(yīng)的包含的事件對應(yīng)的是扇形AOB，滿足條件的事件是圓，根據(jù)題意，構(gòu)造直角三角形求得扇形的半徑與圓的半徑的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)面積的求法求得扇形OAB的面積與⊙P的面積比． ========================================================================== 二

24、、解答題（共20題；） ========================================================================== 24.（2015北京卷）已知函數(shù) （1）求的最小正周期； （2）求在區(qū)間上的最小值． 【答案】（1）解： 的最小正周期為； （2）解： 因為， 所以當(dāng)時，f(x)取得最小值為： 【考點】三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用 【解析】【分析】先用降冪公式和輔助角公式進(jìn)行三角恒等變形，把函數(shù)化為 f ( x ) = A sin ( ψ x + φ

25、) + m 形式，再利用周期公式 T = 2 π /ω 求出周期，第二步由于 - π ≤ x ≤ 0 ,則可求出 - 3 π/ 4 ≤ x + π /4 ≤ π /4 ,借助正弦函數(shù)圖像找出在這個范圍內(nèi)當(dāng) x + π /4 = - π /2 ,即 x = - 3 π /4 時， f ( x ) 取得最小值為： . ========================================================================== 25.化簡： ． 【答案】解：原式= =1 【考點】運用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡

26、計算即可． ========================================================================== 26.已知角 為第三象限角， ,若 ，求 的值. 【答案】解： ，從而 ， 又 為第三象限角，則 ， 即 的值為 【考點】運用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【分析】由題意利用三角函數(shù)值的誘導(dǎo)公式“奇變偶不變符號看象限”對原式進(jìn)行化簡，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出 cos α的值。 =========================================================

27、================= 27.已知α是第三象限角，且f（α）=． （1）化簡f（α）； （2）已知cos（﹣α）=， 求f（α）的值． 【答案】解：（1）∵已知α是第三象限角， ∴f（α）===cosα． （2）∵cos（﹣α）=﹣sinα=，∴sinα=﹣， ∴f（α）=sinα﹣=﹣+5=． 【考點】運用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【分析】（1）由條件利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，化簡可得所給式子的值，可得結(jié)果． （2）由條件利用誘導(dǎo)公式求得sinα=﹣， 由此可得f（α）=sinα﹣的值． ===================

28、======================================================= 28.已知sinθ= ，求 的值． 【答案】解：∵sinθ= ， ∴原式= =﹣sinθ=﹣ 【考點】三角函數(shù)的化簡求值，運用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【分析】原式利用誘導(dǎo)公式化簡，約分后將sinθ的值代入計算即可求出值． ========================================================================== 29.若sin(-)=， 求cos(-)的值． 【答案】解：∵sin（

29、﹣α）=， ∴cos（﹣α）=cos[π﹣（+α）]=﹣cos（+α）=﹣sin[﹣（+α）]=﹣sin（﹣α）=﹣． 【考點】誘導(dǎo)公式的作用 【解析】【分析】原式中的角度變形后，利用誘導(dǎo)公式化簡，將已知等式代入計算即可求出值． ========================================================================== 30.已知向量 =（ ，﹣2）， =（sin（ +2x），cos2x）（x∈R）．設(shè)函數(shù)f（x）= ． （1）求 的值； （2）求f（x）的最大值及對應(yīng)的x值． 【答案】

30、（1）解： ， （2）解： = ．當(dāng) ，即當(dāng) 時， 【考點】平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象 【解析】【分析】（1）根據(jù)f（x）= 得到函數(shù)f（x）的解析式，然后把x=﹣ 代入解析式即可；（2）根據(jù)兩角和與差的正弦函數(shù)公式對函數(shù)進(jìn)行整理，再結(jié)合三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值討論即可得到函數(shù)的值域． ========================================================================== 31.已知sinα=， α． 求cos2α的值； 【答案】解：∵已知sinα=，α．，∴cos

31、α=1-sin2α= 【考點】二倍角的余弦 【解析】【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式求得要求式子的值． ========================================================================== 32.已知 為銳角且 . （1）求tan 的值； （2）求 的值． 【答案】（1）解：∵ ， ∴ ，即 ， 解得tan = . （2）解： = = =cos +sin . ∵ 為銳角且tan = ， ∴sin = ，cos = ，可得cos +sin = ．

32、 【考點】兩角和與差的正切函數(shù)，二倍角的余弦 【解析】【分析】(1)根據(jù)題意利用兩角和的正切公式展開求出tan α即可。(2)利用兩角和的正弦公式展開再結(jié)合二倍角的余弦公式整理化簡得到cos α +sin α，借助(1)的結(jié)果求出sin α 、cos α的值，故而得出結(jié)果。 ========================================================================== 33.已知cosα=﹣， 且α為第三象限角． （1）求sinα的值； （2）求f（α）=的值． 【答案】解：（1）∵cosα=﹣，且α為

33、第三象限角． ∴sinα=﹣=﹣=﹣． （2）f（α）===﹣． 【考點】運用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【分析】（1）由已知及同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求sinα的值． （2）由誘導(dǎo)公式化簡后代入（1）的結(jié)果即可求值． ========================================================================== 34.求值：sin45cos15﹣cos45sin15 【答案】解：sin45cos15﹣cos45sin15=sin（45﹣15）=sin30=． 【考點】兩角和與差的余弦函數(shù) 【解析

34、】【分析】直接利用兩角差的正弦得答案． ========================================================================== 35.（2015湖南）設(shè)的對邊分別為且為銳角，問：（1）證明： B - A =，（2）求 sin A + sin C 的取值范圍 （1）（1）證明： （2）（2)求的取值范圍 【答案】（1）證明：由 a = b tan A , 及正弦定理，得 sin A /cos A = a /b = sin A/ sin B 所以 sin B = sin (π /2 + A), 又 B 為

35、銳角.因此 π /2 + A ∈( π/ 2 , π )，故 B = π /2 + A 即 B - A = π /2. （2） 【考點】三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦定理 【解析】【解答】（1）由及正弦定理，得所以又為銳角.因此， 故即 （2）由(1)知，所以， 于是=因為所以,由此可知的取值范圍是 【分析】本題主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等變形等知識點，屬于中檔題，高考解答題對三角函數(shù)的考查主要以三角恒等變形，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用正余弦定理解三角形為主，難度中等，因此只要掌握基本的解題方法與技巧即可，在三角函數(shù)求值問題中，一般運

36、用恒等變換，將未知角變換為已知角求解，在研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)問題時，一般先運用三角恒等變形，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一個角的三角函數(shù)的形式求解，對于三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合的題目，要注意通過正余弦定理以及面積公式實現(xiàn)邊角互化，求出相關(guān)的邊和角的大小. ========================================================================== 36.已知 ，且 = （1）求tan 的值； （2）求 的值． 【答案】（1）解：∵ ，sin = ， ∴cos = = ， ∴tan = = （2）解：∵sin =

37、， ∴原式 【考點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，二倍角的余弦 【解析】【分析】(1)由題意結(jié)合角的取值范圍利用條件三角函數(shù)的關(guān)系式求出cos α的值代入到正切公式中求出值即可。(2)利用二倍角的余弦公式整理原式代入數(shù)值求出結(jié)果即可。 ========================================================================== 37.設(shè)函數(shù) ，其中0＜ω＜2； （Ⅰ）若f（x）的最小正周期為π，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間； （Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸為 ，求ω的值． 【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=

38、sin2ωx+ =sin（2ωx+ ）+ ． ∵T=π，ω＞0， ∴ ， ∴ω=1． 令 ， 得 ， 所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為： ． （Ⅱ）∵ 的一條對稱軸方程為 ， ∴ ． ∴ ． 又0＜ω＜2， ∴ ． ∴k=0， ∴ ． 【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式 【解析】【分析】（Ⅰ）利用輔助角公式將f（x）= sin2ωx+ 化為：f（x）=sin（2ωx+ ）+ ，T=π，可求得ω，從而可求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅱ）由f（x）的圖象的一條對稱軸為 ，可得到： ，從而可求得ω= k+

39、 ，又0＜ω＜2，從而可求得ω． ========================================================================== 38.已知角α終邊上一點P（4，3 ），求 ． 【答案】解：角α終邊上一點P（4，3 ）， ∴tanα= = ； ∴ = = = =tanα= 【考點】任意角的三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的化簡求值 【解析】【分析】根據(jù)定義求出tanα的值，再化簡題目中的代數(shù)式并代入求值． ==================================================

40、======================== 39.已知函數(shù)f（x）=4sinxcos（x+ ）+m（x∈R，m為常數(shù)），其最大值為2． （Ⅰ）求實數(shù)m的值； （Ⅱ）若f（α）=﹣ （﹣ ＜α＜0），求cos2α的值． 【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=4sinxcos（x+ ）+m（x∈R，m為常數(shù)）， 化簡可得：f（x）=4sinxcosxcos ﹣4sin2xsin +m=sin2x﹣2 sin2x+m =sin2x+ cos2x﹣ +m=2sin（2x+ ）﹣ +m ∵最大值為2． 即2﹣ +m=2， 可得m= ． （Ⅱ）由f（α）=﹣ （﹣ ＜α＜0），

41、即2sin（2α+ ）= ． ∴sin（2α+ ）= ∵﹣ ＜α＜0 ∴ ＜2α+ ＜ ． ∴cos（2α+ ）= ； 那么cos2α=cos[（2α ） ]=cos（2α+ ）cos +sin（2α+ ）sin = 【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象 【解析】【分析】（Ⅰ）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，求出最大值，令其等于2，可得實數(shù)m的值．（Ⅱ）f（α）=﹣ （﹣ ＜α＜0）帶入計算，找出等式關(guān)系，利用二倍角公式求解即可． ====================================

42、====================================== 40.如圖，正方形ABCD中邊長為1，P、Q分別為BC、CD上的點，△CPQ周長為2． （1）求PQ的最小值； （2）試探究求∠PAQ是否為定值，若是給出證明；不是說明理由． 【答案】（1）解：設(shè)∠CPQ=θ，則CP=PQcosθ，CQ=PQsinθ （ ） ∴ ∴ （2）解：分別以AB，AD所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系， 設(shè)Q（x，1），P（1，y），設(shè)∠DAQ=α，∠PAB=β ∴ ，即xy+（x+y）=1 又tanα=x，tanβ=y ∴ ， ∴

43、∴ 【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)，兩角和與差的正切函數(shù)，正弦函數(shù)的定義域和值域 【解析】【分析】（1）根據(jù)△CPQ周長為2，并且△CPQ是直角三角形，設(shè)∠CPQ=θ，根據(jù)三角函數(shù)的定義，CP=PQcosθ，CQ=PQsinθ，因此可以表示出 ，求該函數(shù)的最小值即可；（2）利用解析法求解：分別以AB，AD所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)Q（x，1），P（1，y），利用兩點間距離公式求出PQ，根據(jù)△CPQ周長為2，找出x，y的關(guān)系，求出∠PAQ的正切值，即可求得結(jié)果． =====================================================

44、===================== 41.已知向量v=（sinx，1）， =（sinx，cosx+1） （I）若 ∥ ，求所有滿足條件的向量 、 的坐標(biāo)； （II）若函數(shù)f（x）= ? ，x∈[﹣ ， ]，求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時的x值． 【答案】解：（I）由 ∥ ，得sinx（cosx+1）=sinx， ∴sinxcosx=0，又sin2x+cosx2=1， 解得 或 所以滿足條件的向量 ， 有 =（0，1）， =（0，2）或 =（0，1）， =（0，0）或 =（1，1）， =（1，1）或 =（﹣1，1）， =（﹣1，2） （II）函數(shù)f（x

45、）= ? =sin2x+cosx+1=﹣cos2x+cosx+2， ∵x∈[﹣ ， ]， ∴cosx∈[0，1]， 令cosx=t，則f（x）的解析式可化為f（t）=﹣t2+t+2=﹣（t﹣ ）2+ ，t∈[0，1]， 故當(dāng)t= ，即x= 時，函數(shù)f（x）取得最大值，最大值為 【考點】平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用 【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)向量平行得到sinx（cosx+1）=sinx，再根據(jù)又sin2x+cosx2=1，解得sinx，cosx，即可得到所有滿足條件的向量 、 的坐標(biāo)，（Ⅱ）根據(jù)向量的數(shù)量積公式，和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，利用換元法，根據(jù)二次

46、函數(shù)的性質(zhì)即可求出． ========================================================================== 42.已知cosα= ，cos（α﹣β）= ，且0＜β＜α＜ ， （1）求tan2α的值； （2）求β． 【答案】（1）解：由 ，得 ∴ ，于是 （2）解：由0＜β＜α＜ ，得 ， 又∵ ，∴ 由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）= 所以 ． 【考點】三角函數(shù)值的符號，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)

47、用，兩角和與差的余弦函數(shù) 【解析】【分析】（1）欲求tan2α的值，由二倍角公式知，只須求tanα，欲求tanα，由同角公式知，只須求出sinα即可，故先由題中cosα的求出sinα 即可；（2）欲求角，可通過求其三角函數(shù)值結(jié)合角的范圍得到，這里將角β配成β=α﹣（α﹣β），利用三角函數(shù)的差角公式求解． ========================================================================== 43.化簡： 【答案】解： = =2． 【考點】誘導(dǎo)公式的作用 【解析】【分析】直接利用誘導(dǎo)公式化簡，即可求出表

48、達(dá)式的值即可． ========================================================================== 三、填空題（共7題；） ========================================================================== 44.已知 ， ，則 ________． 【答案】 【考點】三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值 【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，又∵ ，∴ ， ∴ . 【分析】由題根據(jù)所給條件，運用差角公式展開，兩邊平方，

49、結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及所給角的分計算即可. ========================================================================== 45.△ABC中，若 sin（π-A）=， tan（π+B）=，則cosC ________． 【答案】 【考點】兩角和與差的余弦函數(shù) 【解析】【解答】由 sin（π-A）=得sinA= ，由 tan（π+B）=得tanB= ，所以B為銳角，且 sinB=，cosB=，又sinA＜sinB 。所以 也為銳角cosA= ，故cosC=-cos（A+B）=-cosA+sin

50、AsinB= . 【分析】由題根據(jù)所給條件結(jié)合角的范圍分別計算其對應(yīng)的正弦、余弦，然后根據(jù)角的范圍得到對應(yīng)的三角函數(shù)值，結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)運用和角公式計算即可. ========================================================================== 46.化簡 ________ ． 【答案】 【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)，二倍角的正弦 【解析】【解答】 ． 【分析】整理化簡原有的函數(shù)式利用兩角和差的正弦函數(shù)公式以及二倍角的正弦公式代入化簡即可得出結(jié)果。 =====================

51、===================================================== 47.已知 ，且 ，則 ________. 【答案】 【考點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二倍角的正切 【解析】【解答】因為 ，且 ， 所以 ， . 【分析】根據(jù)題意借助同角三角函數(shù)的關(guān)系式求出正弦值，再結(jié)合二倍角的正切公式代入數(shù)值求出結(jié)果即可。 ========================================================================== 48.計算： =________． 【答案】1 【

52、考點】三角函數(shù)的化簡求值，兩角和與差的正切函數(shù) 【解析】【解答】解：∵tan60= ， ∴ = =tan（60﹣15） =tan45 =1． 故答案為：1． 【分析】由tan60= ，利用兩角差的正切公式，即可求出答案來． ========================================================================== 49.已知 ，且 ，則 的值為________． 【答案】 【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)，二倍角的正弦 【解析】【解答】 ，由 ，平方得 ，得 ， ， 由于 ， ，代入得 .

53、 【分析】根據(jù)題意利用二倍角的余弦公式以及兩角和差的正弦公式整理原式化簡，再把原有的代數(shù)式兩邊平方結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sin 2 α，進(jìn)而得到sinα+cosα的值。 ========================================================================== 50.已知sin（ +x）= ，則sin2x的值為________． 【答案】﹣ 【考點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦函數(shù)，二倍角的正弦 【解析】【解答】解：∵sin（ +x）=sin cosx+cos sinx= （sinx+cosx）= ， ∴sinx+cosx= ， 兩邊平方得：（sinx+cosx）2=1+sin2x= ， 解得：sin2x=﹣ ． 故答案為：﹣ 【分析】已知等式左邊利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，求出sinx+cosx的值，兩邊平方并利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡即可求出sin2x值． Page 24 / 24