高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)案例--回歸分析 例題解析

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1、統(tǒng)計(jì)案例--回歸分析 例題解析 【要點(diǎn)梳理】 1、 ； . 2、 ，此直線方程即為線性回歸方程； ，， ， ， ， ， . 3、，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是樣本相關(guān)系數(shù) 越接近于1,線形相關(guān)程度越 ； 越接近于0,線形相關(guān)程度越 . 4、檢驗(yàn)的步驟如下： （1）作統(tǒng)計(jì)假設(shè)： . (2

2、)根據(jù)小概0.05與在附表中查出的一個(gè)臨界值. (1) 根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式算出的值 (2) 作統(tǒng)計(jì)推斷，如果，表明有 的把握認(rèn)為與之間具有線形相關(guān)關(guān)系.如果 ，我們沒有理由拒絕原來的假設(shè)，這時(shí)尋找回歸直線方程是毫無意義的. 【典型例題】 例1、 關(guān)于某設(shè)備的使用年限和所支出的維修費(fèi)用（萬元），有如 下的統(tǒng)計(jì)資料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 如由資料可知對呈線形相關(guān)關(guān)系. 試求： （1） 線形回歸方程； （2） 估計(jì)使用年限為10年時(shí)

3、，維修費(fèi)用是多少？ 解：（1） 于是. 所以線形回歸方程為： （2）當(dāng)時(shí)， 即估計(jì)使用10年是維修費(fèi)用是12.38萬元. 點(diǎn)評：已知呈線性相關(guān)關(guān)系，就無須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn).否則，應(yīng)先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，若兩個(gè)變量不具備相關(guān)關(guān)系，或者說，它們之間相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計(jì)和預(yù)測的量也是不可信的. 例2、一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，須要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次實(shí)驗(yàn)，測得的數(shù)據(jù)如下： 零件個(gè)數(shù)x(個(gè)) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工時(shí)間y（分） 62 68

4、 75 81 89 95 102 108 115 122 （1） （2）如果 （3） 并據(jù)此估計(jì)加工200個(gè)零件所用的時(shí)間為多少？ 解：（1） . 于是： 又查得相應(yīng)于顯著性水平0.05和的相關(guān)系數(shù)臨界值 ，由 （2）設(shè)所求的回歸直線方程為，同時(shí)，利用上表可得 ， . 即所求的回歸直線方程為. (3)當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值 .故加工200個(gè)零件時(shí)所用的工時(shí)約為189個(gè). 點(diǎn)評：作相關(guān)性檢驗(yàn)有時(shí)也用畫散點(diǎn)圖，觀察所給的數(shù)據(jù)列成的點(diǎn)是否在一條直線的附近，這樣做既直觀又方便，因而對解相關(guān)性檢驗(yàn)問題常用，但在許多實(shí)際問題中，有時(shí)很難說這些點(diǎn)

5、是不是分布在一條直線的附近，這時(shí)就很難判斷兩個(gè)變量之間是否有相關(guān)關(guān)系，這時(shí)就應(yīng)該利用樣本的相關(guān)系數(shù)對其進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)；這種方法雖然較為繁瑣，但卻非常準(zhǔn)確.在計(jì)算中應(yīng)該特別注意要細(xì)心，不可出現(xiàn)計(jì)算的錯(cuò)誤，也可借助于計(jì)算器等進(jìn)行有關(guān)計(jì)算. 例3、 為了解某地母親身高與女兒身高的相關(guān)關(guān)系，隨機(jī)測得10對母女的身高如下表所示： 母親身高 159 160 160 163 159 154 159 158 159 157 女兒身高 158 159 160 161 161 155 162 157 162 156 試對與進(jìn)行一元線性回歸分析，并預(yù)測當(dāng)母親身高為162cm時(shí)女兒的身高為多少？ 解： 所以 而由附表查得，因?yàn)椋瑥亩?5%的把握認(rèn)為與之間具有線性相關(guān)關(guān)系. 回歸系數(shù) 所以對的回歸直線方程是 回歸系數(shù)0.78反映出當(dāng)母親身高每增加1cm時(shí)，女兒身高平均增加0.78cm，可以解釋為女兒身高不受母親身高變化影響的部分. 當(dāng)時(shí)，，這就是說當(dāng)母親身高為161cm時(shí)，女兒的身高大致也接近161cm