(全國(guó)通用)高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù) 第2節(jié) 直接證明與間接證明課件 文 新人教A

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1、第第2節(jié)直接證明與間接證明節(jié)直接證明與間接證明最新考綱1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程和特點(diǎn);2.了解間接證明的一種基本方法反證法;了解反證法的思考過程和特點(diǎn).1.直接證明知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理充分內(nèi)容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的 條件,直到最后把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止2.間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一種常用的間接證明方法.(1)反證法的定義:假設(shè)原命題

2、 (即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了 的證明方法.(2)用反證法證明的一般步驟:反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;歸謬根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推出矛盾為止;結(jié)論斷言假設(shè)不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立.不成立原命題成立1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.()(2)用反證法證明結(jié)論“ab”時(shí),應(yīng)假設(shè)“ab”.()(3)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定,推出矛盾.()(4)在解決問題時(shí),常用分析法尋找解題的思路與方法,再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.()解析(1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)

3、,逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.(2)應(yīng)假設(shè)“ab”.(3)反證法只否定結(jié)論.答案(1)(2)(3)(4)診診 斷斷 自自 測(cè)測(cè)解析a2aba(ab),ab0,ab0,a2ab.又abb2b(ab)0,abb2,由得a2abb2.答案B解析a2b21a2b20(a21)(b21)0.答案D4.用反證法證明:若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理數(shù)根,那么a,b,c中至少有一個(gè)是偶數(shù).用反證法證明時(shí),下列假設(shè)正確的是()A.假設(shè)a,b,c都是偶數(shù)B.假設(shè)a,b,c都不是偶數(shù)C.假設(shè)a,b,c至多有一個(gè)偶數(shù)D.假設(shè)a,b,c至多有兩個(gè)偶數(shù)解析“至少有一個(gè)”的否定為“都不是”,故B正確.答

4、案B5.(選修12P37例3改編)在ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列,a,b,c成等比數(shù)列,則ABC的形狀為_.由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac,a2c22ac0,即(ac)20,ac,答案等邊三角形考點(diǎn)一綜合法的應(yīng)用考點(diǎn)一綜合法的應(yīng)用規(guī)律方法1.綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法,它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法,即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷(命題)出發(fā),經(jīng)過一系列中間推理,最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性.2.綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理.(2)a0,3a10,考點(diǎn)二分析法的應(yīng)用考點(diǎn)二分析法的應(yīng)用【例2

5、】 已知ab0,求證:2a3b32ab2a2b.證明要證明2a3b32ab2a2b成立,只需證2a3b32ab2a2b0,即2a(a2b2)b(a2b2)0,即(ab)(ab)(2ab)0.ab0,ab0,ab0,2ab0,從而(ab)(ab)(2ab)0成立,2a3b32ab2a2b.規(guī)律方法1.逆向思考是用分析法證題的主要思想,通過反推,逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵.2.證明較復(fù)雜的問題時(shí),可以采用兩頭湊的辦法,即通過分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論,然后通過綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論,從而使原命題得證.只需證c(bc)a(ab)(ab)(b

6、c),需證c2a2acb2,又ABC三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,故B60,由余弦定理,得b2c2a22accos 60,即b2c2a2ac,故c2a2acb2成立.于是原等式成立.考點(diǎn)三反證法的應(yīng)用考點(diǎn)三反證法的應(yīng)用數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.規(guī)律方法1.當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí),可用反證法來證,反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾,矛盾可以是與已知條件矛盾,與假設(shè)矛盾,與定義、公理、定理矛盾,與事實(shí)矛盾等.2.用反證法證明不等式要把握三點(diǎn):(1)必須否定結(jié)論;(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理;(3)推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.【訓(xùn)練3】 (2018鄭州一中月考)已知a1a2a3a4100,求證:a1,a2,a3,a4中至少有一個(gè)數(shù)大于25.證明假設(shè)a1,a2,a3,a4均不大于25,即a125,a225,a325,a425,則a1a2a3a425252525100,這與已知a1a2a3a4100矛盾,故假設(shè)錯(cuò)誤.所以a1,a2,a3,a4中至少有一個(gè)數(shù)大于25.

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