《數(shù)值分析》課程中教學(xué)內(nèi)容的分析設(shè)計(jì)

《《數(shù)值分析》課程中教學(xué)內(nèi)容的分析設(shè)計(jì)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《數(shù)值分析》課程中教學(xué)內(nèi)容的分析設(shè)計(jì)（37頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 編號(hào) 楚 雄 師 范 學(xué) 院 本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題 目 《數(shù)值分析》課程中教學(xué)內(nèi)容的分析設(shè)計(jì) 專 業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 年級(jí)班級(jí) 10級(jí) 3班 學(xué) 號(hào) 20101022108 學(xué)生姓名 羅世豪 指導(dǎo)教師 劉 鵬 職稱：

2、 副教授 教務(wù)處印制 目 錄 摘 要 1 Abstract 2 前言 3 1、 《數(shù)值分析》課程的教學(xué)大綱及基本要求 4 1.1、緒論 4 1.2、解非線性方程的數(shù)值方法 4 1.3、線性方程組的數(shù)值解法 4 1.4、解線性方程組的迭代法 5 1.5、插值方法 5 1.6、函數(shù)逼近與數(shù)據(jù)擬合 5 1.7、數(shù)值積分 5 1.8、常微分方程的數(shù)值解 6 2、 HYPERLINK \l "_Toc355644471" 數(shù)值分

3、析課程的教材分析 6 3、《數(shù)值分析》課程的教學(xué)內(nèi)容及實(shí)驗(yàn)報(bào)告分析 7 3.1、預(yù)備知識(shí)分析 7 3.2、非線性方程錯(cuò)誤！嵌入對(duì)象無效。的解法分析 7 3.3、線性方程組錯(cuò)誤！嵌入對(duì)象無效。的數(shù)值解法分析 10 3.4、插值與多項(xiàng)式逼近分析 12 3.5、曲線擬合分析 19 3.6、數(shù)值微分分析 22 3.7、數(shù)值積分分析 25 3.8、微分方程求解分析 30 3.9、特征值與特征向量分析 31 4、結(jié)束語 33 參考文獻(xiàn) 34 致謝 35 摘 要 數(shù)值計(jì)算方法是信息與計(jì)算科學(xué)、數(shù)學(xué)與應(yīng)

4、用數(shù)學(xué)本科專業(yè)必修的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程，學(xué)生需在掌握數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)和常微分方程的基礎(chǔ)知識(shí)之上，學(xué)習(xí)本課程，在實(shí)際中，數(shù)學(xué)與計(jì)算技術(shù)一向有著密切關(guān)系相互影響，科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域的問題通過數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)產(chǎn)生密切的聯(lián)系，并以各種形式運(yùn)用于科學(xué)和工程領(lǐng)域，而所建立的這些數(shù)學(xué)模型，在許多情況下，要獲得精確的值是十分困難的，有時(shí)是不可能的，這就使得研究各種數(shù)學(xué)問題的近似解變得十分重要了，數(shù)值計(jì)算方法就是專門研究各種數(shù)學(xué)問題的近似解的一門課程，通過這門課程的教學(xué)，使學(xué)生掌握用數(shù)值分析方法解決實(shí)踐問題的算法原理及理論分析，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。 隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，在眾多領(lǐng)域

5、內(nèi)，人們?cè)谠絹碓蕉嗟膯栴}中是通過計(jì)算matlab程序來實(shí)現(xiàn)的。計(jì)算數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)的交叉科學(xué)，它既有數(shù)學(xué)的抽象性與嚴(yán)密性，又有計(jì)算機(jī)科學(xué)的實(shí)踐性和技術(shù)性?；谟?jì)算數(shù)學(xué)的以上特性，人們也越來越注重使用計(jì)算數(shù)學(xué)方法來完成許多的問題。本論文就《數(shù)值分析》課程中教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析設(shè)計(jì)。 關(guān)鍵詞：數(shù)值分析；計(jì)算數(shù)學(xué)；分析設(shè)計(jì) Abstract Numerical calculation method is A compulsory courses of undergraduate and informa

6、tion，Calculation Science，mathematics and applied mathematics is involved, Students study this course Based on the knowledge of mathematical analysis,Higher Algebra and differential equations,in reality,Mathematical and computational techniqu -es have traditionally been closely relationship,through m

7、athematical modeling and Mathematics,Every field of science and technology questions is connected Closely , And in various forms used in the fields of science and Engineering,in many instances, It is very difficult to obtain accurate values and impossible,This makes the study of various mathematical

8、 approximate solution of the problem has become very important, The numerical method is a course that Approximate solutions specializes in all kinds of mathematical problems,Enable students to master the numerical analysis method Practical problem solving algorithm and principle and theory Analysis

9、 By teaching this course,To improve the students ability to use mathematical knowledge to solve practical problems at the same time. With the rapid development and wide application of computer technology, People are more and more problems are calculated In many areas by realize the matlab prog

10、ram, Computational mathematics is a cross science of mathematics and computer science,and it have the property that Abstract and rigorous of mathematics,practice and techniques of Computer science,Based on the above characteristics of Computational Mathematics, People are also more and more solve ma

11、ny problems by computational mathematics,the course of teaching content of numerical analysis will be analysis and design in this article Key words:numerical analysis,computational mathematics；analysis and design 前言 數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)科學(xué)，一直是理工類學(xué)科的基礎(chǔ)，是物理、化學(xué)等學(xué)科用來描述自然規(guī)律的語言。所以高等數(shù)

12、學(xué)課程是理工類大學(xué)生的必修課程，高等數(shù)學(xué)的教育也是大學(xué)生本科教育中的重要組成部分．傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育以高等數(shù)學(xué)分析為主，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的理論分析、公式運(yùn)用的能力．由于數(shù)學(xué)問題固有的復(fù)雜性，使得許多理工學(xué)科專業(yè)問題在數(shù)學(xué)上解析求解無法實(shí)現(xiàn)．傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析可以描述問題，卻不能解決問題，這個(gè)矛盾讓許多大學(xué)生感到數(shù)學(xué)“看似有用，實(shí)則無用”，同時(shí)也使得許多大學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)毫無興趣，畢業(yè)以后缺乏運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的能力．這樣以至于一方面，數(shù)學(xué)工作者注重理論分析，缺乏從實(shí)際問題提煉數(shù)學(xué)模型的能力；另一方面，實(shí)際工作者缺乏運(yùn)用數(shù)學(xué)工具處理數(shù)學(xué)模型的能力．在傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)分析在解決實(shí)際問題中看似無用的時(shí)候，另外一些數(shù)學(xué)分

13、支卻迅速發(fā)展起來． 隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，計(jì)算數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)中的各種方法也相應(yīng)發(fā)展起來，特別是應(yīng)用數(shù)學(xué)，它已經(jīng)越來越滲透到其它非理工學(xué)科和各行各業(yè)中，尤其表現(xiàn)在生命科學(xué)、政治、軍事、經(jīng)濟(jì)等非傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域．同時(shí)許多教師在實(shí)踐中也認(rèn)識(shí)到，現(xiàn)有的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與實(shí)際要求相去甚遠(yuǎn)． 它既是必修課程，又具有像數(shù)學(xué)建模那樣培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題能力的課程呢?事實(shí)上，現(xiàn)有的數(shù)學(xué)課程中，數(shù)值分析課程本身就具有一定的理論教學(xué)與實(shí)踐的意義． 數(shù)值分析是一門介紹適合于在計(jì)算機(jī)上使用的數(shù)值分析方法的課程，有時(shí)也稱為計(jì)算方法課程，與其它相關(guān)數(shù)學(xué)課程相比，數(shù)值分析方法是偏重于應(yīng)用的一門課程，其中的理論和方

14、法不僅在其他專業(yè)課程中常常運(yùn)用，而且在解決實(shí)際問題中也常常會(huì)用到．?dāng)?shù)值分析方法課程的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、微分方程等數(shù)學(xué)理論，這些理論都為普通工科高等數(shù)學(xué)教育所覆蓋，它的內(nèi)容大體包括三個(gè)部分：數(shù)值逼近、數(shù)值代數(shù)、微分方程數(shù)值求解．?dāng)?shù)值分析方法作為理工科學(xué)生的一門必修課，它的特點(diǎn)是： 注重方法性和實(shí)用性．?dāng)?shù)值分析中的許多方法的理論基礎(chǔ)是在高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)過的內(nèi)容，但是與在高等數(shù)學(xué)中強(qiáng)調(diào)理論分析不同，它更注重怎樣運(yùn)用這些理論分析的結(jié)果．例如，差商型數(shù)值微分公式就是高等數(shù)學(xué)中Taylor級(jí)數(shù)的運(yùn)用，函數(shù)插值綜合運(yùn)用了線性代數(shù)中函數(shù)空間的概念與高等數(shù)學(xué)中的微分中值定理，追趕法運(yùn)用了線性代數(shù)中矩陣

15、分解理論．?dāng)?shù)值分析課程是一門更注重應(yīng)用的科學(xué)，特別注意在方法的精確性和有效性之間平衡． 1、 《數(shù)值分析》課程的教學(xué)大綱及基本要求 1.1、緒論 掌握誤差的來源與誤差的基本概念，包括：誤差的來源、絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限、有效數(shù)字等的概念，同時(shí)要學(xué)生理解數(shù)值計(jì)算中需要注意的問題：避免兩個(gè)相近的數(shù)相減、 防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)、注意簡化計(jì)算步驟、減少運(yùn)算次數(shù)[1-2]。 本章作為緒論，應(yīng)先講一些有關(guān)數(shù)值分析的基本知識(shí)，如數(shù)值分析是處理哪些問題，在工程有什么用途，以及如何學(xué)習(xí)數(shù)值分析課程。本章的內(nèi)容只要作簡單介紹，考試內(nèi)容不會(huì)涉及到本章的知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生記住1。2

16、節(jié)的三點(diǎn)——避免兩個(gè)相近的數(shù)相減、防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)和避免誤差的傳播與積累，其中避免誤差的傳播與積累書上沒有，作為補(bǔ)充。在第一節(jié)課，告訴學(xué)生，本學(xué)期數(shù)值分析的教學(xué)作部分改革并注意以下事項(xiàng)： 1.2、解非線性方程的數(shù)值方法 掌握二分法、迭代法、Newton等三種方法的基本概念和定理、算法的基本思想、誤差估計(jì)與收斂性分析及算法和算法的優(yōu)缺點(diǎn) 本章的重點(diǎn)是二分法的基本思想、誤差估計(jì)，以及算法的優(yōu)缺點(diǎn)。重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握如何判定非線性方程組在區(qū)間內(nèi)有根；如何計(jì)算迭代次數(shù)；二分法是局部收斂還是大范圍收斂的。迭代法的基本思想和幾何解釋。由誤差估計(jì)導(dǎo)出算法的終止條件?？荚囶}可能會(huì)涉及到如何選擇迭代格式

17、使迭代收斂，給出某種迭代格式，如何判斷它的收斂階，迭代加速只簡單介紹了解即可。Newton法的基本思想和幾何意義，如何用Newton求非線性方程的根。Newton在什么情況下收斂是二階的，什么情況下是一階的?？荚囶}要求學(xué)生用Newton法導(dǎo)出某種計(jì)算公式（如在沒有開方運(yùn)算的情況下，如何計(jì)算一個(gè)數(shù)的開方）。 1.3、線性方程組的數(shù)值解法 在消去法這一部分，需要學(xué)生掌握Gauss消去法、列主元Gauss消去法、Gauss－Jordan消去法本節(jié)只要求學(xué)生會(huì)用列主元消去法求解方程組即可，沒有太多知識(shí)點(diǎn)。矩陣分解要求學(xué)生會(huì)作矩陣的LU分解并用LU分解求解線性方程組。對(duì)稱矩陣的Cholesky分解中

18、的平方根法，即Cholesky分解。正定矩陣的性質(zhì)只作為復(fù)習(xí)。平方根法的可能是作Cholesky分解，或者一個(gè)矩陣能作平方根法的條件等。向量與矩陣的范數(shù)要求到會(huì)計(jì)算向量與矩陣的范數(shù)，判斷什么情況下是范數(shù)。方程組的性態(tài)主要介紹條件數(shù)和病態(tài)方程組的概念?；疽髸?huì)計(jì)算條件數(shù)。 1.4、解線性方程組的迭代法 掌握J(rèn)acobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解方程組。以及迭代法的收斂性（ 迭代收斂定理、迭代收斂速度）。在對(duì)角占優(yōu)陣一節(jié)中，掌握如何判斷迭代格式收斂。如何判斷是否收斂；給出矩陣（帶有參數(shù)）兩種迭代格式的收斂區(qū)域是什么。超松馳(SOR)迭代法的迭代法、收斂性。 1.5、插值方法

19、 掌握Lagrange 插值多項(xiàng)式及Lagrange 插值公式的計(jì)算會(huì)推導(dǎo)或?qū)懗鯨agrange插值多項(xiàng)式，知道插值多項(xiàng)式是存在且唯一，會(huì)估計(jì)插值余項(xiàng)。Newton 插值法需要掌握什么是均差及 Newton基本插值公式、差分、等距節(jié)點(diǎn)的Newton插值公式知道均差與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系（會(huì)出考試題）。學(xué)會(huì)用差分計(jì)算恒等式。等距節(jié)點(diǎn)的Newton插值公式只作簡單介紹。Hermite 插值需要知道簡單推導(dǎo)二次和三次的Hermite插值公式，掌握Hermite插值的思想，并不用具體計(jì)算?？荚囶}可能會(huì)是這樣，給二、三個(gè)的函數(shù)值，一、二個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，用學(xué)過的方法構(gòu)造出一個(gè)多項(xiàng)式。分段低次插值中Runge 就

20、給出了一個(gè)等距插值多項(xiàng)式不收斂的例子引出，高次插值并不是好的，因此需要低次插值。分段線性插值收斂，但插值函數(shù)不可微（不光滑）；分段三次Hermite插值可微，但某些點(diǎn)不存在二階導(dǎo)數(shù)，所以要引進(jìn)三次樣條插值。掌握三次樣條插值的概念，滿足什么條件的插值函數(shù)是三次樣條插值。 1.6、函數(shù)逼近與數(shù)據(jù)擬合 本節(jié)的重點(diǎn)是正交多項(xiàng)式，介紹兩個(gè)重要的正交多項(xiàng)式——Chebyshev (切比雪夫)多項(xiàng)式和Legendre (勒讓德)多項(xiàng)式。會(huì)構(gòu)造簡單的正交多項(xiàng)式（如利用定義構(gòu)造一個(gè)二階的正交多項(xiàng)式）。函數(shù)的最佳平方逼近需要知道最佳平方逼近的概念及計(jì)算，以及用正交函數(shù)作最佳平方逼近。會(huì)用最小二乘方法作

21、數(shù)據(jù)擬合，如線性擬合，或化為線性擬合，及會(huì)用正交函數(shù)作最小二乘不作要求。 1.7、數(shù)值積分 掌握Newton---Cotes求積公式的基本概念。會(huì)計(jì)算代數(shù)精確度（如何計(jì)算某求積公式的代數(shù)精確度）。課上詳細(xì)推導(dǎo)梯形求積公式和Simpson求積公式，其他公式不用推導(dǎo)。從計(jì)算穩(wěn)定性問題出發(fā)，引出高階公式不好的概念（只要講清理念就行，這里不會(huì)有習(xí)題），所以需要復(fù)化公式。在復(fù)化求積公式學(xué)習(xí)中會(huì)用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分，會(huì)用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式余項(xiàng)來估計(jì)復(fù)化的次數(shù)。Romberg求積公式是求積公式中最有效的公式，所以一定要介紹。但其計(jì)算復(fù)雜，計(jì)算比較費(fèi)時(shí)（Rich

22、ardson (理查森)外推加速法不作為要求，只要讓學(xué)生知道，Romberg求積公式的合理性即可。簡單介紹Gauss求積公式，教師可根據(jù)學(xué)時(shí)情況選講，也可以不講（如果學(xué)時(shí)不夠）。 1.8、常微分方程的數(shù)值解 重點(diǎn)是介紹Euler方法、梯形公式和改進(jìn)Euler方法等三種方法，會(huì)作簡單的計(jì)算。注意，這里有顯式格式和隱式格式，這一點(diǎn)后面會(huì)用到?？荚囶}可能會(huì)是一些簡單的計(jì)算，或遞推公式。了解Runge--Kutta（龍格--庫塔）方法的基本思想，會(huì)用四階Runge--Kutta法計(jì)算微分方程。變步長的Runge--Kutta法可能不講。掌握收斂性和穩(wěn)定性的概念。會(huì)計(jì)算某些計(jì)算公式的穩(wěn)定區(qū)間，或判斷

23、是否為無條件穩(wěn)定的。會(huì)討論上述算法（顯式、隱式）的優(yōu)缺點(diǎn)（主要從收斂性和穩(wěn)定性方面考慮）。 2、數(shù)值分析課程的教材分析 現(xiàn)代教學(xué)論認(rèn)為，要實(shí)現(xiàn)教學(xué)最優(yōu)化，就必須實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)最優(yōu)化和教學(xué)過程最優(yōu)化。教材的分析和教法的研究，正是實(shí)現(xiàn)教學(xué)過程最優(yōu)化的重要內(nèi)容和手段。另外，教材分析是教師備課中一項(xiàng)重要的工作，是教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)編寫教案、制訂教學(xué)計(jì)劃的基礎(chǔ)；是備好課、上好課和達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目的的前提和關(guān)鍵，對(duì)順利完成教學(xué)任務(wù)具有十分重要的意義。教材分析和教法研究的過程，既是教師教學(xué)工作的重要內(nèi)容，又是教師進(jìn)行教學(xué)研究的一種主要方法，這個(gè)過程能夠充分體現(xiàn)教師的教學(xué)能力和創(chuàng)造性的勞動(dòng)。所以，教材分析的過

24、程，就是教師不斷提高業(yè)務(wù)素質(zhì)和加深對(duì)教育理論理解的過程，對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量，提高教師自身的素質(zhì)都具有十分重要的意義[3]。 教材分析總的要求是：要深入理解和鉆研教學(xué)大綱，充分領(lǐng)會(huì)教材的編寫意圖，熟悉整個(gè)教材的基本內(nèi)容，了解教材的各個(gè)部分在整個(gè)學(xué)科、篇、章或課時(shí)中所處的地位；具體分析教材的內(nèi)容，包括教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系（能準(zhǔn)確精練地寫出教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)方框圖）、教材的教學(xué)目的和要求、教材的特點(diǎn)、教材的重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵。根據(jù)教學(xué)目的、內(nèi)容和教學(xué)原則，按照教學(xué)大綱要求，結(jié)合學(xué)校和學(xué)生的實(shí)際情況，研究如何優(yōu)化處理教材，如何突出重點(diǎn)、抓住關(guān)鍵、克服難點(diǎn)，明確教材中培養(yǎng)學(xué)生的能力因素，選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法和教學(xué)手

25、段，寫出可行的教學(xué)方案，通過教材分析才能提高教學(xué)質(zhì)量[4]。 教材分析的目的，就是通過教材分析，進(jìn)一步對(duì)不同類型教材進(jìn)行示范分析，使師范院校學(xué)生明確教材分析的重要性和教材分析的依據(jù)、內(nèi)容和方法，逐步培養(yǎng)他們分析、研究和處理教材的能力，提高教師的教學(xué)業(yè)務(wù)能力。教材分析的依據(jù)是教學(xué)大綱、教材和學(xué)生，同時(shí)還需要參閱必要的教學(xué)參考書。這里必須指出，盡管教材是大綱的具體化，是教和學(xué)的主要依據(jù)。 但不能就教材分析教材，而應(yīng)該站在教學(xué)大綱的高度去分析教材，研究教法。因此教材是根據(jù)教學(xué)大綱編寫的，因此，鉆研教學(xué)大綱、領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)，是進(jìn)行教材分析的首要步驟。鉆研教學(xué)大綱和教材，還應(yīng)當(dāng)用歷史發(fā)展的觀點(diǎn)去分析研究

26、，才能結(jié)合大綱真正領(lǐng)會(huì)教材的編寫意圖，才能對(duì)教材的內(nèi)容和編寫特點(diǎn)，以及教材內(nèi)容的處理方式有深入的認(rèn)識(shí)。教師備課教課不能單純從教材出發(fā)，停留于對(duì)教材的鉆研，必須研究學(xué)生。對(duì)學(xué)生進(jìn)行全面了解，包括學(xué)生學(xué)習(xí)的心理特點(diǎn)和思維障礙，了解學(xué)生原有的知識(shí)基礎(chǔ)和已掌握的知識(shí)和技能的深廣度，學(xué)生的學(xué)習(xí)目的、學(xué)習(xí)方法、興趣愛好等。只有在認(rèn)真鉆研教學(xué)大綱、教材內(nèi)容和深入了解學(xué)生的基礎(chǔ)上，才能很好地去組織教材、選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，突出重點(diǎn)，克服難點(diǎn)，這個(gè)過程包括了教師對(duì)教材內(nèi)容的自我意識(shí)、自我轉(zhuǎn)化和創(chuàng)造性構(gòu)思的過程。否則教材教法的分析和研究就可能無的放矢或流于形式。 只有以教學(xué)大綱、教材和學(xué)生為依據(jù)，參考必要的教學(xué)

27、資料，才能達(dá)到教材分析的目的，同時(shí)緊扣教材又不照本宣科，有的放矢地把教材內(nèi)容用活講活。 3、《數(shù)值分析》課程的教學(xué)內(nèi)容及實(shí)驗(yàn)報(bào)告分析 3.1、預(yù)備知識(shí)分析 數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué)。其中研究怎樣利用手指、算盤、算尺、計(jì)算器、計(jì)算機(jī)等工具，來求出數(shù)學(xué)問題數(shù)值解答的學(xué)問，就是計(jì)算方法，或稱計(jì)算數(shù)學(xué)。它是數(shù)學(xué)中最古老的部分，但只是在電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后，人們獲得了高速度、自動(dòng)化的計(jì)算工具，才為眾多浩繁的數(shù)值問題的解決展現(xiàn)了光明的前景。從此，科學(xué)研究與工程設(shè)計(jì)的手段，發(fā)生了由模型試驗(yàn)向數(shù)值計(jì)算的巨大轉(zhuǎn)變。 在農(nóng)業(yè)科學(xué)研究中，數(shù)值計(jì)算方法已經(jīng)成為不可缺少的有力工具。我校開設(shè)數(shù)值計(jì)算方法

28、課已有二十幾年的歷史，許多研究生通過學(xué)習(xí)，在畢業(yè)論文中引用了數(shù)值計(jì)算方法解決應(yīng)用問題，提高了論文水平，也有許多在職教師和科研人員學(xué)習(xí)這門課程后，將數(shù)值方法引用到科研課題中，取得了較好的結(jié)果。本講義旨在為農(nóng)業(yè)院校高年級(jí)學(xué)生、研究生提供一本學(xué)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法的入門工具。 3.2、非線性方程的解法分析 非線性方程的解法主要有對(duì)分法、迭代法。區(qū)間二分法對(duì)函數(shù)要求低，計(jì)算簡單；但收斂慢且對(duì)有偶數(shù)重根的情況不適合；對(duì)于牛頓迭代法，如果初始點(diǎn)選擇的好，則收斂快，但由于每步都要計(jì)算函數(shù)值及其導(dǎo)函數(shù)值，程序常發(fā)生中斷，且其迭代的斂散性與初始值的選擇有很大關(guān)系；弦截法利用數(shù)值微分的思想，用均差代替導(dǎo)數(shù)，

29、減少了計(jì)算量，但其收斂速度稍慢于牛頓法。 通過實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生熟悉線性方程組的求根的經(jīng)典解法。掌握二分法、簡單迭代法、和牛頓迭代法的算法思想。理解二分法、簡單迭代法、牛頓迭代法、弦截法的mathematica程序，并能夠采用不同的方法求出方程的根，并比較各個(gè)不同方法的優(yōu)劣。 例如：1、利用二分法及3種迭代法求方程12-3x+2cos(x)=0的解； 2、求非線性方程組在(1,0)的解。 （1）作圖找出根所在的區(qū)間 （2）二分法 （3）簡單迭代法 （4）牛頓迭代法 （5）弦截法 （6） 求非線性方程組的解 3.3、

30、線性方程組的數(shù)值解法分析 求解方程組所采用的方法中：列主元高斯消元法主要三步驟：先是按列選主元，然后后消元，持續(xù)這兩步驟將增廣矩陣化為行階梯矩陣，最后進(jìn)行回代。 LU分解法是把系數(shù)矩陣分解為下三角矩陣L和上三角矩陣U,又對(duì)方程組中b項(xiàng)有與U相似的公式，即可對(duì)增廣矩陣作LU分解，即可得等價(jià)方程組，而后進(jìn)行回代即可得解。于雅克比迭代法是把方程組寫與其同解的方程組形式，該同解方程組是把系數(shù)矩陣對(duì)角元中的變量（未知數(shù)）寫到方程組左邊。然后得到迭代公式，后就迭代求解直到滿足精度為止。高斯-塞德爾迭代法其實(shí)與雅克比迭代法差不多唯一的差別是迭代公式上，它把前面方程已算得的變量帶到后面方程中，其余未得的用前

31、次的代替，而雅可比迭代法則都是有前次代替，具體原理是： （1）列主元高斯消元法： 。按列選主元。k-1次消元后，選第k列中的對(duì)角元以下絕對(duì)值最大的元素為該列主元即。( ) 。交換增廣矩陣第t和k行，記住新的主對(duì)角元。 。用高斯消去法進(jìn)行第k次消元。消元完成以后，進(jìn)行回代求解。 圖1 列主元高斯消元法流程圖 分析：從流程圖看2，3，4步驟為選主元，5，6步驟為消元過程。其次其中并無約束系數(shù)矩陣a需為方陣。 （2）LU分解法： 。根據(jù)非奇異矩陣A可分解為一個(gè)下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U乘積即A=LU。。LU分解法式子為: 。由式④與式②

32、比較可知把增廣矩陣采用LU分解格式，即可得到與原方程同解的方程組。即Ax=bLUx=b,由U為上三角矩陣，而后回代即可求出原方程的解。 分析：從流程圖中可看出1，2，3步驟為對(duì)增廣矩陣進(jìn)行LU分解，4步驟為進(jìn)行回代求解。從1步驟中i,j的取值知系數(shù)矩陣需為方陣 （3）雅克比迭代法： 。雅克比迭代法基本思想與迭代法相同是一種逐次逼近的方法。首先給定一個(gè)較粗糙的初值，然后采用迭代公式，進(jìn)行多次迭代，直到滿足所要求的精度為止。 。迭代公式： 。判斷是否收斂：，， 分析：從流程圖中看1步驟為選定初值，后面步驟為迭代部分。同時(shí)對(duì)系數(shù)矩陣沒有明確約束，但從原理中知判斷迭代格式收斂時(shí)

33、矩陣一般為方陣。 4．高斯-塞德爾迭代法 。 高斯-塞德爾迭代法基本思想同上雅克比迭代法 。迭代公式： 。判斷是否收斂：， 分析：從流程圖中看1步驟為選定初值，后面步驟為迭代部分。同時(shí)對(duì)系數(shù)矩陣沒有明確約束，但從原理中知判斷迭代格式收斂時(shí)矩陣一般為方陣。 。從程序，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表1至表4，流程圖及原理中知列主元高斯消元法具有較強(qiáng)的普適性，相對(duì)約束較少，但從流程圖及原理上可知其計(jì)算量較大，而LU分解法雖然要求其系數(shù)矩陣為方陣但對(duì)求解相同系數(shù)矩陣不同的端向量上具有比列主元高斯消元法更大的優(yōu)勢(shì)。 。 對(duì)雅克比迭代法和高斯塞德爾迭代法都屬于迭代法范疇

34、，雖其約束多，須在一定條件下迭代格式才收斂，但其效率較高，計(jì)算結(jié)果滿足精度要求。 。從計(jì)算結(jié)果看，雅克比迭代法對(duì)方程組中迭代收斂的方程組迭代法效率高于雅克比迭代法。從個(gè)迭代收斂的方程迭代過程圖中也可看出。屬于受斂的情況高斯塞德爾迭代法rho小于雅克比迭代法，可見對(duì)于方程組其迭代格式中rho（）越小者收斂速度越快。對(duì)于高斯賽德爾迭代法rho大于雅克比迭代法rho,由于其迭代格式發(fā)散應(yīng)使用前結(jié)論的逆否命題可由圖觀察知其正確。 3.4、插值與多項(xiàng)式逼近分析 插值就是用給定的未知函數(shù)的若干函數(shù)值的點(diǎn)構(gòu)造的近似函數(shù)，要求與在給定點(diǎn)的函數(shù)值相等，則稱函數(shù)為插值函數(shù)。下面我們給出插值函數(shù)的一般定義：為

35、定義在區(qū)間上的函數(shù),為上n+1個(gè)互不相同的點(diǎn)，為給定的某一函數(shù)類，若上有函數(shù)滿足：則稱為關(guān)于節(jié)點(diǎn)在上的插值函數(shù)，稱點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)。 這樣，對(duì)函數(shù)在區(qū)間上的各種計(jì)算，就用插值函數(shù)的計(jì)算取而代之。構(gòu)造插值函數(shù)需要關(guān)心下列問題：插值函數(shù)是否存在？插值函數(shù)是否唯一？如何表示插值函數(shù)？如何估計(jì)被插函數(shù)與插值函數(shù)的誤差？插值法常用的有：插值、插值、分段插值、三次樣條插值。 （1）插值 對(duì)于插值函數(shù)，我們通?？梢赃x擇多種不同的函數(shù)類型，但由于代數(shù)多項(xiàng)式具有簡單和一些良好的特性，我們常選用代數(shù)多項(xiàng)式作為插值函數(shù). 首先我們來看這樣一個(gè)問題：給定兩個(gè)插值點(diǎn)其中怎樣做通過這兩點(diǎn)的一次插值函數(shù)？ 過兩點(diǎn)作一

36、條直線，這條直線就是通過這兩點(diǎn)的一次多項(xiàng)式插值函數(shù)，簡稱線性插值. 下面先用待定系數(shù)法構(gòu)造插值直線. 設(shè)直線方程為將分別代入直線方程， 得 , 當(dāng)時(shí),因 所以方程組有解，且解唯一.這也表明，平面上兩個(gè)點(diǎn)有且僅有一條直線通過，用待定系數(shù)法構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法簡單直觀，容易看到解的存在性和唯一性，但要解一個(gè)方程組才能得到插值函數(shù)的系數(shù)，因工作量大且不便向高階推廣，故這種構(gòu)造方法不宜采用. 當(dāng)時(shí)，若用兩點(diǎn)式表示這條直線，則有： 這種形式稱為插值多項(xiàng)式. 記 稱為插值基函數(shù)，計(jì)算的值,可知 在插值多項(xiàng)式中，可將看作兩條直線與的疊加，并可看到兩個(gè)

37、插值點(diǎn)的作用和地位是平等的. 如果我們給定三個(gè)插值點(diǎn)，其中互不相等，那么該怎樣構(gòu)造函數(shù)的二次（拋物線）插值多項(xiàng)式呢？ 仿照線性插值的插值，我們可設(shè) 為二次函數(shù) 對(duì)來說，要求是它的零點(diǎn)，因此可設(shè)同理也有相應(yīng)形式. 將分別代入，可得 有 一般地，當(dāng)給定n+1個(gè)互不相同的插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，就可得出函數(shù)的n次插值多項(xiàng)式: 下面我們以定理的形式來給出插值多項(xiàng)式的誤差估計(jì). 設(shè)在區(qū)間上有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，是上n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，滿足的n次插值多項(xiàng)式，則對(duì)，有，其中，且依賴于 （2）插值 插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是格式整齊和規(guī)范，它的缺點(diǎn)是計(jì)算量大

38、且沒有承襲性，當(dāng)需要增加插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，不得不重新計(jì)算所有插值基函數(shù)，所以我們?cè)賮硪M(jìn)具有承襲性的插值多項(xiàng)式. 先來介紹一下差商運(yùn)算. 一階差商：函數(shù)值的差與自變量的差之比值，記為 而稱為關(guān)于點(diǎn)的二階差商. 一般地，k階差商為： 我們知道差商的值只與節(jié)點(diǎn)有關(guān)而于節(jié)點(diǎn)的順序無關(guān)，所以有： 如果給定，其中互不相同，那么如何來構(gòu)造n次插值多項(xiàng)式？ 由一階差商的定義得 類似地，由二階差商至n階差商的定義可得到下列方程組 解這個(gè)方程即得 為不高于n次的多項(xiàng)式，可驗(yàn)證，稱是過n+1個(gè)插值點(diǎn)

39、的n階插值多項(xiàng)式. 為插值多項(xiàng)式的誤差. 由插值多項(xiàng)式的唯一性知，拉格朗日插值多項(xiàng)式與插值多項(xiàng)式完全相同，只是表達(dá)形式不同，因此得到它們的誤差也應(yīng)完全相等，故當(dāng)時(shí)，有 （3）、分段插值 在構(gòu)造插值多項(xiàng)式時(shí)，適當(dāng)提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)，有可能提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確程度，但不能因此認(rèn)為插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高越好，例如我們所熟悉的龍格現(xiàn)象就說明了這一點(diǎn). 既然增加插值節(jié)點(diǎn)并不能提高插值函數(shù)的逼近效果，那么采用分段插值的效果又如何呢？例如，當(dāng)給定了n+1個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值后，若要計(jì)算點(diǎn)處函數(shù)值的近似值，可先選取兩個(gè)節(jié)點(diǎn)與，使，然后在小區(qū)間上作線性插值，

40、即得 這種分段低次插值叫分段線性插值.類似地，為求的近似值，也可選取距點(diǎn)最近的三個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行二次插值，即取 這種分段低次插值叫分段二次插值，為了保證是距點(diǎn)較近的三個(gè)節(jié)點(diǎn)，可通過下面方法確定: （4）、三次樣條插值 分段低次插值雖然具有計(jì)算簡單、穩(wěn)定性好、收斂性有保證且易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但它只能保證各小段曲線在連接點(diǎn)上的連續(xù)性，卻不能保持整條曲線的光滑性，對(duì)一些實(shí)際問題，不但要求一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，而且要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù).為了克服上述缺點(diǎn)，我們考慮使用逐段表示成低次多項(xiàng)式的光滑函數(shù)作為的插值函數(shù)，這將是我們要介紹的樣條插值函數(shù). 給定區(qū)間上個(gè)節(jié)點(diǎn)和這些點(diǎn)上的函數(shù)值，若

41、函數(shù)滿足：在每個(gè)子區(qū)間上是不高于三次的多項(xiàng)式在上連續(xù)滿足插值條件，則稱為函數(shù)關(guān)于節(jié)點(diǎn)的三次樣條插值函數(shù).要在每個(gè)子區(qū)間上構(gòu)造三次多項(xiàng)式 共需要個(gè)條件，由插值條件提供了個(gè)條件,用每個(gè)內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系建立條件 又得到了個(gè)條件，再附加兩個(gè)邊界條件，即可唯一確定樣條函數(shù)了. 設(shè)，由于在上為線性函數(shù)，故在上做的分段線性插值函數(shù)： 令，得到 對(duì)積分兩次有 將代入可解出 在每個(gè)小區(qū)間上具有不同的表達(dá)式，但由于在整個(gè)區(qū)間上是二階光滑的，故有 列出每一個(gè)關(guān)系式，再經(jīng)計(jì)算得 其中 由得到個(gè)未知數(shù)的個(gè)方程組，現(xiàn)補(bǔ)充兩個(gè)邊界條件，使方

42、程組只有唯一解，下分三種情況討論邊界條件： 給定的值（時(shí)稱為自然邊界條件）,此時(shí)階方程組有個(gè)未知量，即 給定的值，它們分別代入在中的表達(dá)式，得到另外兩個(gè)方程： 于是需要解階方程組 被插函數(shù)以為基本周期時(shí)，即，即 （4）， 即此時(shí)化為個(gè)變量，個(gè)方程的方程組. 通過分析這四種插值法各自的適用范圍以及優(yōu)劣性.插值法是一個(gè)古老而實(shí)用的數(shù)值方法，它為今后學(xué)習(xí)數(shù)值微分、數(shù)值積分、函數(shù)逼近以及微分方程數(shù)值解等數(shù)值分析奠定了基礎(chǔ). 3.5、曲線擬合分析 在許多對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的問題中，經(jīng)常需要尋找自變量和對(duì)應(yīng)因變量之間的函數(shù)關(guān)系，有的變量關(guān)系可以根據(jù)問題的物理背景，通過理論推導(dǎo)的方

43、法加以求解，得到相應(yīng)關(guān)系式。但絕大多數(shù)的函數(shù)關(guān)系卻很復(fù)雜，不容易通過理論推導(dǎo)得到相關(guān)的表達(dá)式，在這種情況下，就需要采用曲線擬合的方法來求解變量之間的函數(shù)關(guān)系式。 曲線擬合(Curve Fitting)，是用連續(xù)曲線近似地刻畫或比擬平面上離散點(diǎn)組所表示的坐標(biāo)之問的函數(shù)關(guān)系的一種數(shù)據(jù)處理方法。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)或社會(huì)活動(dòng)中，通過實(shí)驗(yàn)或觀測得到量x與y的一組數(shù)據(jù)對(duì)(xi,yi)，i=1，2，3…，m，其中各xi是彼此不同的。人們希望用一類與數(shù)據(jù)的規(guī)律相吻合的解析表達(dá)式y(tǒng)=f(x)來反映量x與y之間的依賴關(guān)系。即在一定意義下“最佳”地逼近或擬合已知數(shù)據(jù)。f(x)稱作擬合函數(shù)，似的圖像稱作擬合曲線。 擬合

44、方法論述有：最小二乘法、移動(dòng)最小二乘法、NURBS三次曲線擬合。基于RBF的曲線擬合。最小二乘法通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，是進(jìn)行曲線擬合的一種早期使用的方法 一般最小二乘法的擬合函數(shù)是一元二次，可一元多次，也可多元多次 該方法是通過求出數(shù)據(jù)點(diǎn)到擬合函數(shù)的距離和最小的擬合函數(shù)進(jìn)行擬合的方法令f(x)=ax2+bx+c ，計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)到該函數(shù)所表示的曲線的距離和最小 即： = 對(duì)上式求導(dǎo)，使其等于0，則可以求出f(x)的系數(shù)a,b,c ，從而求解出擬合函數(shù)。 移動(dòng)最小二乘法是在最小二乘法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了較大的改進(jìn)，通過引入緊支概念（即影響區(qū)域，數(shù)據(jù)點(diǎn)一定范圍內(nèi)的節(jié)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的擬

45、合函數(shù)值有影響），選取適合的權(quán)函數(shù)，算出擬合函數(shù)來替代最小二乘法中的擬合函數(shù) 從而有更高的擬合精度及更好的擬合光滑度。移動(dòng)最小二乘法的擬合函數(shù)設(shè)擬合函數(shù)為f(x)在求解域Ω內(nèi)的n個(gè)節(jié)點(diǎn)Pi(i=1、2、3、……、n)，則： f(x)==式中，α(x)為待求系數(shù)；K(x）為線性基函數(shù)。一般令K(x)=[1,x,y]T，m=3；求解過程可以參照文獻(xiàn)[1]，從而可求α(x)，得到f(x)。移動(dòng)最小二乘法的算法流程為（1）將區(qū)域進(jìn)行分段。（2）對(duì)每個(gè)分段點(diǎn)進(jìn)行循環(huán)：1）確定網(wǎng)格點(diǎn)的影響區(qū)域大??；2）確定包含在網(wǎng)格點(diǎn)的影響區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)；3）計(jì)算型函數(shù)；4）計(jì)算網(wǎng)格點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)值。（3）連接網(wǎng)格點(diǎn)形成擬合曲

46、線。 NURBS作為定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的唯一數(shù)學(xué)方法，是現(xiàn)代圖 形 學(xué) 的 基 礎(chǔ) ，因此NURBS 曲 線 擬 合 有 著 重 要 的 實(shí) 際 意 義。RBF（Radial Basis Function），徑向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是以徑向基函數(shù)（RBF）作為隱單元的“基”，構(gòu)成隱含層空間，隱含層對(duì)輸入矢量進(jìn)行變換將低維的模式輸入數(shù)據(jù)變換到高維空間內(nèi)，使得在低維空間內(nèi)的線性不可分問題在高維空間內(nèi)線性可分。這是一種數(shù)學(xué)分析方法，具有較快的收斂速度 強(qiáng)大的抗噪和修復(fù)能力。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。 圖1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖 各算法流程如下： 最小二乘法通過建立二次函數(shù)進(jìn)行擬合。建立擬合函

47、數(shù)f(x)=ax2+bx+c，求所有數(shù)據(jù)點(diǎn)與二次曲線的距離和最小的二次曲線，得到a,b,c，從而得到二次曲線圖像。 移動(dòng)最小二乘法的流程是： (1)NURBS曲線擬合：確定節(jié)點(diǎn)矢量，本文通過弦長累加來確定節(jié)點(diǎn)矢量。 在NURBS 曲線擬合時(shí)，設(shè)置最前4個(gè)節(jié)點(diǎn)矢量的值相同和最后4個(gè)節(jié)點(diǎn)矢量的值相同，那么擬合的曲線將通過給定型值點(diǎn)的第一個(gè)點(diǎn)和最后一個(gè)點(diǎn).由于OpenGL有現(xiàn)成的NURBS曲線擬合函數(shù)，因此本文將借助VC進(jìn)行編程，實(shí)現(xiàn)NURBS三次曲線擬合。 (2)基于RBF曲線擬合流程：本文將采用高斯函數(shù)作為RBF函數(shù)的核函數(shù)。1）采用K- 均值法，確定聚類中心；2）按聚類中心分組；3）計(jì)算

48、樣本均值；4）重復(fù)2）、3），直到聚類中心不再變化；5）確定半徑；6）調(diào)節(jié)輸出層權(quán)。 實(shí)例論證 為了比較上述4種方法的優(yōu)劣，本文采用1組數(shù)據(jù)，用4種方法進(jìn)行擬合，然后比較擬合的情況，從而進(jìn)行判斷 如果型值點(diǎn)經(jīng)比較后，在型值點(diǎn)變化微小的情況下，擬合的曲線將趨于平穩(wěn) ，就難以分出其優(yōu)劣，因此在給定數(shù)據(jù)的時(shí)候（表1），特地給出一個(gè)奇異點(diǎn)（第3個(gè)點(diǎn)）通過對(duì)該表的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行4種擬合方法來比較各種方法的優(yōu)劣。 表1 給定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 1 1.5 12.3 1.8 1.2 1.2 3.3 4.1 3.1 3.5

49、 采用不同的擬合方法對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合，得到的擬合曲線如圖2所示。 (a) 最小二乘法擬合 (b) 移動(dòng)最小二乘法擬合 (c) NURBS三次擬合 (d) 采用RBF擬合 通過上述4個(gè)擬合的曲線可以得出：最小二乘法的精度最差。使用RBF進(jìn)行曲線擬合的精度最高，但不易用數(shù)學(xué)表達(dá)方式去表達(dá)，而NURBS 曲線易用數(shù)學(xué)表達(dá)。能用數(shù)學(xué)方式去表達(dá)RBF擬合的曲線，將使RBF擬合方法更具發(fā)展空間。 3.6、數(shù)值微分分析 通常把偏微

50、分方程分兩類：所有變量都是空間變量的定態(tài)方程和包含對(duì)時(shí)間與空間微分的發(fā)展方程。我們已經(jīng)看到了一些定態(tài)方程的例子，例如，泊松方程和雙調(diào)和方程。典型的，這類方程描述行為依賴于某個(gè)變量最小化的物理現(xiàn)象，例如勢(shì)能就是這樣量。這類方程在力學(xué)和單行理論中無所不在，發(fā)展方程模擬隨時(shí)間變化的系統(tǒng)，他們是描述波動(dòng)現(xiàn)象，熱動(dòng)力學(xué)，擴(kuò)散過程和人口動(dòng)力學(xué)的重要工具。 在偏微分方程理論中通常給出橢圓方程，拋物型方程和雙曲型方程之間的區(qū)別，除了說明橢圓型方程是定態(tài)偏微分方程，而拋物型偏微分方程和雙曲型偏微分方程是發(fā)展方程外，這里我們不希望研究這種形式體系，甚至也不給出必要的定義，這種區(qū)分的簡單解釋在于三類不同的方程具有

51、不同的特征。 發(fā)展偏微分放在某種意義上是常微分方程的擴(kuò)展。常微分方程的確能看成沒有空間變量的發(fā)展微分方程。下面將看到常微分方程發(fā)展偏微分在數(shù)值處理方面有許多相似之處，實(shí)際上，計(jì)算后者的最有效方法之一就是將它近似轉(zhuǎn)化成一個(gè)常微分方程組。然而，這樣相似是靠不住的，數(shù)值求解發(fā)展偏微分方程要在時(shí)間上和空間上離散，在一個(gè)成功的算法中這兩個(gè)過程不是獨(dú)立的。發(fā)展偏微分方程數(shù)值解析中的那些基本概念聽起來很熟悉，但它們比第一章至第三章的對(duì)應(yīng)概念更復(fù)雜更微妙。發(fā)展方程的第一個(gè)例子是擴(kuò)散方程 ， 也是眾所周知的熱傳導(dǎo)方程。函數(shù)附帶兩種“邊條件”即一個(gè)是初始條件, 和邊界條件 = (t),

52、 u(1,t)= (t) 像它的名字的含義一樣，方程13.1模擬擴(kuò)散熱傳導(dǎo)現(xiàn)象。方程13.1是最簡單的擴(kuò)散方程。它可以安一下幾種方式推廣增加空間變量，方程為 (13.4) 其中； 1. 增加一個(gè)受迫項(xiàng)，得 (13.5) 其中; 2. 增加一個(gè)變量的擴(kuò)散系統(tǒng)a，方程為 13.6 其中是可微函數(shù)，并且對(duì)所有有 3. 設(shè)x在R的任意區(qū)間內(nèi)變化，最重要的特殊情況是Cauchy問

53、題，其中，代替邊界條件13.3的是對(duì)所有平方可積，即 當(dāng)然，我們可以把上述幾種推廣結(jié)合起來。 我們從最基本的形式開始，隨后將討論不同的擴(kuò)展，我們的目的是用有限查分逼近方程13.1，為此取整數(shù)d，并在 條形區(qū)域 上給出一個(gè)矩形網(wǎng)絡(luò) 其中的近似值為.后者中n是上標(biāo)，而不是冪，用這個(gè)幾號(hào)可以很清楚的區(qū)分時(shí)間和空間，它是發(fā)展方程數(shù)值分析中的主旋律。分別用中心差分和向前差分二階空間導(dǎo)數(shù)和一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)，即 將它們代入方程13.1并乘以，得到歐拉方法 其中比例

54、 特別重要，被稱為Courant數(shù) 為了進(jìn)行遞推過程13.7，利用初始條件13.2并設(shè) 注意，當(dāng)=1和=d時(shí)方法13.7的計(jì)算需要用到邊界條件 13.3中的邊界值，即 和 方法13.7精度如何呢？根據(jù)我們對(duì)常微分方程數(shù)值格式中介的定義，令有 (13.8) 假定x和t以保持不變的方式趨于0（后面會(huì)看到這個(gè)假設(shè)非常有意義?。虼?，當(dāng)，13.8變?yōu)? 我們稱歐拉方法13.7是二階的。 階的概念在研究如何利用有限差分格式很好的模擬連續(xù)微分方程中是很重要的，但是像第二章的微分方程形式，我們主要關(guān)心的是收斂性，而不是階。我們稱方法13.7收斂，如果給點(diǎn)任意 則

55、對(duì)所有 成立 和以前一樣，保持不變。 3.7、數(shù)值積分分析 （1） 牛頓—柯特斯公式 對(duì)求積節(jié)點(diǎn)作適當(dāng)?shù)南拗坪瓦x擇，可以簡化問題的復(fù)雜性和提高公式的性能。 設(shè)將積分區(qū)間[a,b]劃分為n等分，步長h=(b-a)/n，選取等距節(jié)點(diǎn)x k=a+kh構(gòu)造出的差值型求積公式 稱為牛頓—柯特斯公式，式中稱為柯特斯系數(shù)。按（1.6）式，引進(jìn)變換x=a+th，則有 ,

56、（其中）. （2） 復(fù)化梯形公式求積算法 設(shè)將區(qū)間[a,b]分為n等分，分點(diǎn)在每個(gè)子區(qū)間[xk,xk+1]上采用梯形公式，則得 記 稱為復(fù)化梯形公式。 （3） 龍貝格積分法 對(duì)于定積分，把區(qū)間 [a,b] 兩分0次（即等分20次）用梯形公式求 得的值記為T(1,1),把[a,b]區(qū)間兩分1次（即等分21次），用復(fù)化梯形公式求得的值記為T（2,1）， 一般的，把[a,b]區(qū)間兩分k次（即等分2k次），用復(fù)化梯形公式求得的值記為T（k+1,1），將這些值用外推公式 (k=1,2…,m=2,3,…, k+

57、1) 進(jìn)行線性組合，可獲得更高精度的加速值T(k,k),數(shù)學(xué)上也已經(jīng)證明這就是著名的龍貝格積分法。 （3）：實(shí)驗(yàn)問題及方法、步驟 1、（1）用牛頓—柯特斯公式計(jì)算的近似值In(n=1,2,…，8)； （2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果說明在n=8的情況下，其計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確。 編程思想： 1、為被積函數(shù)創(chuàng)建函數(shù)文件f.m，其代碼如下； function y=f(x) y=1/(1+x?2); 2、 用8行9列矩陣cotes存放牛頓—柯特斯系數(shù)表，用0表示空格。 3、 為使系統(tǒng)具有一般性，用a、b分別表示積分區(qū)間的左右端點(diǎn)。這里a=

58、-3,b=3.用n表示牛頓—柯特斯公式的階數(shù),這里n=1,2,…,8 . 4、牛頓—柯特斯公式的計(jì)算算法如下： （1） 對(duì)于n-1,2,…,8 ,做以下操作：s←0,h←(b-a)/n. （2） 對(duì)于k=1,2,…,n+1,做以下操作xk←a+(k-1)h,yk←f(xk),s←s+cotes(n,k)xk； （3） s←s(b-a); （4） 輸出n、s； 可在MATLAB命令空間鍵入以下命令： %創(chuàng)建牛頓—柯特斯系數(shù)矩陣，其中0表示空格 cotes=[ 1/2,1/2,0,0,0,0,0,0,0; 1/6,2/3,1/6,0,0,0,0,0,0; 1/8,3/8,3

59、/8,1/8,0,0,0,0,0; 7/90,16/45,2/15,16/45,7/90,0,0,0,0; 19/288,25/96,25/144,25/144,25/96,19/288,0,0,0; 41/840,9/35,9/280,34/105,9/280,9/35,41/840,0,0; 751/17280,3577/17280,1323/17280,2989/17280,2989/17280,1323/17280,3577/17280,751/17280,0; 989/28350,5888/28350,-928/28350,10496/28350,-4540/28350,1

60、0496/28350,-928/28350,5888/28350,989/28350]; a=input(請(qǐng)輸入積分下限 a=); b=input(請(qǐng)輸入積分上限 b=); disp(階數(shù) 牛頓—柯特斯值); for n=1:8 s=0; %牛頓—柯特斯求積公式的初值 h=(b-a)/n; %步長 for k=1:n+1 x(k)=a+(k-1)*h;

61、 %節(jié)點(diǎn) y(k)=f(x(k)); %節(jié)點(diǎn)處得函數(shù)值 s=s+cotes(n,k)*y(k); %計(jì)算牛頓—柯特斯求積公式的和 end s=s*(b-a); %計(jì)算牛頓—柯特斯求積公式的值 fprintf(n=%ld I=%5.4f\n,n,s); end 其運(yùn)行結(jié)果為： 請(qǐng)輸入積分下限 a=-3 請(qǐng)輸入積分上限 b=3 階數(shù)

62、牛頓—柯特斯值 n=1 I=0.6000 n=2 I=4.2000 n=3 I=2.4000 n=4 I=2.2062 n=5 I=2.3481 n=6 I=2.8114 n=7 I=2.5963 n=8 I=2.2146 根據(jù)實(shí)際的計(jì)算結(jié)果和結(jié)果顯示的數(shù)據(jù)比較可得：當(dāng) n > 5 之后，其計(jì)算效果越來越差。 2﹑對(duì)于給定的誤差限，利用利用復(fù)化梯形求積的遞推公式以及它的截?cái)嗾`差事后估計(jì)式 編程計(jì)算定積分的近似值。 編

63、程思想： 1. 為被積函數(shù)創(chuàng)建文件f.m，其代碼如下： function y=f(x) if x==0 y=1; else ; end 2. 自動(dòng)選步長的復(fù)化梯形求積算法如下： （1）輸入a，b，eps （2）h←b-a,T1←h(f(a)+f(b))/2 （3）反復(fù)做以下操作 ① u←h/2,H←0,x←a+u ② 當(dāng) x

64、←x+h ③ T2←(T1+hH)/2 ④ 若，則I←T2+(T2-T1)/3,break ⑤ h←u,T1←T2 （5） 輸出I 程序代碼： a=input(請(qǐng)輸入積分下限 a=); b=input(請(qǐng)輸入積分上限 b=); esp=input(請(qǐng)輸入誤差限 eps=); h=b-a; %初始步長 T1=h*(f(a)+f(b))/2; %初始梯形值 while 1 u=h/2;

65、%步長兩分 H=0; %函數(shù)值累和變量初始化 x=a+u; %求積節(jié)點(diǎn)賦初值 while x

66、 if abs(T2-T1)