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1、
考點(diǎn)40 橢圓
一、選擇題
1.（2012浙江高考文科Ｔ8）如圖，中心均為原點(diǎn)O的雙曲線(xiàn)與橢圓有公共焦點(diǎn)，M，N是雙曲線(xiàn)的兩頂點(diǎn)。若M，O，N將橢圓長(zhǎng)軸四等分，則雙曲線(xiàn)與橢圓的離心率的比值是（ ）
A.3 B.2 C. D.
【解題指南】分別設(shè)出橢圓與雙曲線(xiàn)的方程,根據(jù)其焦點(diǎn)相同和M，O，N將橢圓長(zhǎng)軸四等分得出離心率之間的關(guān)系.
【解析】選Ｂ.設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，橢圓的方程為，由于M，O，N將橢圓長(zhǎng)軸四等分，所以， 又所以.
2.（2012江西高考文科Ｔ8）橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，
2、左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【解題指南】由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列建立的方程，轉(zhuǎn)化為離心率，解方程得e.
【解析】選B. 因?yàn)锳、B為左右頂點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)，所以，，
，又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以即，所以離心率.
3.（2012新課標(biāo)全國(guó)高考文科Ｔ4）與（2012新課標(biāo)全國(guó)高考文科Ｔ4）相同
設(shè)是橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，P為直線(xiàn)上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則E的離心率為（ ）
A．
3、 B. C. D.
【解題指南】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，尋求所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，求得離心率。
【解析】選C.設(shè)直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，則，在中，，，故，解得，故離心率.
二、填空題
4.（2012福建高考理科Ｔ13）已知△ABC得三邊長(zhǎng)成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_(kāi)________.
【解題指南】運(yùn)用等比數(shù)列的基本知識(shí)和基本定義和公式設(shè)邊，運(yùn)用余弦定理求解三角形．
【解析】依次設(shè)三邊為，則最大邊為，最大角的余弦值為
.
【答案】.
5.（2012江西高考理科Ｔ12）設(shè)數(shù)列都是等差數(shù)列.若，則________
4、
【解題指南】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，整體得到三者所滿(mǎn)足的關(guān)系，求得的值.
【解析】均是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，，即，，＝35.
【答案】35.
6.（2012江西高考理科Ｔ13）橢圓 的左、右頂點(diǎn)分別是A、B，左右焦點(diǎn)分別是，若成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_(kāi)______
【解題指南】由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列建立的方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程，解方程得e.
【解析】為左右頂點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)，所以，，，又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，所以離心率
【答案】.
三、解答題
7.（2012廣東高考理科Ｔ20）（本小題滿(mǎn)分14分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知
5、橢圓C：的離心率，且橢圓C上的點(diǎn)到Q（0，2）的距離的最大值為3.
（1）求橢圓C的方程；
（2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m,n）使得直線(xiàn)：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解題指南】 (1)根據(jù)題意可知從而可解出a,b的值。問(wèn)題得解.（2）先求出原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，再利用圓的弦長(zhǎng)公式，求出|AB|的長(zhǎng)，進(jìn)而求出,再根據(jù)在橢圓上，因而,從而確定出m的值，n的值。問(wèn)題得解.
【解析】（1）由題意得,
橢圓C的方程為.
(2)假設(shè)存在，設(shè)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為d,
則
6、
,
在橢圓上，
當(dāng)且僅當(dāng),即
此時(shí).
顯然存在這點(diǎn)的點(diǎn)或,使的最大，最大值為.
8.（2012廣東高考文科Ｔ20）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓:（）的左焦點(diǎn)為,且點(diǎn)在.
（1） 求橢圓的方程；
（2） 設(shè)直線(xiàn)同時(shí)與橢圓和拋物線(xiàn):相切，求直線(xiàn)的方程.
【解題指南】 (1)根據(jù)題意可知從而可解出a的值，問(wèn)題得解.
（2）由題意得直線(xiàn)的斜率一定存在且不為0，設(shè)出直線(xiàn)方程分別與橢圓方程和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，根據(jù)直線(xiàn)與橢圓和拋物線(xiàn)相切時(shí)滿(mǎn)足判別式等于0，可求得直線(xiàn)的方程.
【解析】（1）由題意得,
橢圓的方程為.
(2) 由題意得：直線(xiàn)的斜率一定存在且不為0，
7、設(shè)直線(xiàn)方程
因?yàn)闄E圓C的方程為
消去得
直線(xiàn)與橢圓相切，.即
直線(xiàn)與拋物線(xiàn):相切，則消去得
即
由（1）（2）解得
所以直線(xiàn)的方程.
9.（2012陜西高考文科Ｔ20）與（2012陜西高考理科Ｔ19）相同
已知橢圓:，橢圓以的長(zhǎng)軸為短軸，且與有相同的離心率.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓和上，，求直線(xiàn)的方程.
【解題指南】（1）根據(jù)已知橢圓方程求出長(zhǎng)軸、短軸、焦距等值即可求C2的方程；（2）設(shè)而不求的方法表示A、B的坐標(biāo)，分析向量的關(guān)系，確定直線(xiàn)AB的特殊性，然后求直線(xiàn)AB的斜率是關(guān)鍵.
【解析】（Ⅰ）由已知可設(shè)橢圓C2的方程為（），其離心率為，
故，則，故橢圓C2的方程為.
（Ⅱ）（解法一）A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為，，由及（Ⅰ）知，O，A，B三點(diǎn)共線(xiàn)且點(diǎn)A，B不在軸上，因此可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，
將代入橢圓方程得，所以，
將代入中，得，所以，
又由得，即，解得，
故直線(xiàn)AB的方程為或.
（解法二）A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為，，由及（Ⅰ）知，O，A，B三點(diǎn)共線(xiàn)且點(diǎn)A，B不在軸上，因此可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，
將代入橢圓方程得，所以，
由得，，
將代入橢圓C2的方程中，得，即，
解得，
故直線(xiàn)AB的方程為或.
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2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)40 橢圓
