電大【數學思想方法】期末考試復習專題

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1、 電大【數學思想方法】復習專題 一、考點，熱點分析： 深刻理解函數的圖象和性質是應用函數思想解題的基礎，運用方程思想解題可歸納為三個步驟：①將所面臨的問題轉化為方程問題；②解這個方程或討論這個方程，得出相關的結論；③將所得出的結論再返回到原問題中去。 分類討論的解題步驟一般是：（1）確定討論的對象以及被討論對象的全體；（2）合理分類，統一標準，做到既無遺漏又無重復 ；（3）逐步討論，分級進行；（4）歸納總結作出整個題目的結論。 常用的轉化策略有：已知與未知的轉化；正向與反向的轉化；數與形的轉化；一般于特殊的轉化；復雜與簡單的轉化。 二、知識點歸納： 常用的數學思想（數學中的四

2、大思想） 1.函數與方程的思想 用變量和函數來思考問題的方法就是函數思想，函數思想是函數概念、圖象和性質等知識更高層次的提煉和概括，是在知識和方法反復學習中抽象出的帶有觀念的指導方法。 2．數形結合思想 在中學數學里，我們不可能把“數”和“形”完全孤立地割裂開，也就是說，代數問題可以幾何化，幾何問題也可以代數化，“數”和“形 ”在一定條件下可以相互轉化、相互滲透。 3．分類討論思想 在數學中，我們常常需要根據研究對象性質的差異。分各種不同情況予以考察，這是一種重要數學思想方法和重要的解題策略 ，引起分類討論的因素較多，歸納起來主要有以下幾個方面：（1）由數學概念、性質、定理、公式的

3、限制條件引起的討論；（2）由數學變形所需要的限制條件所引起的分類討論；（3）由于圖形的不確定性引起的討論；（4）由于題目含有字母而引起的討論。 4.等價轉化思想 等價轉化是指同一命題的等價形式.可以通過變量問題的條件和結論，或通過適當的代換轉化問題的形式，或利用互為逆否命題的等價關系來實現。 常用的數學方法 主要有換元法、配方法和待定系數法三種。 三、例題解析 【例1】（2004年北京市東城區(qū)）解方程：(x+1)- -=2． 解：設x＋1＝y，則原方程化為y-=2 去分母，得y2-2y-3=0． 解這個方程，得y1=-1,y2=3． 當y＝－1時，x＋1＝－1，所以x＝

4、－2； 當y＝3時，x＋1＝3，所以x＝2． 經檢驗，x＝2和x＝－2均為原方程的解． 〖點撥〗解分式方程通常是采用去分母或還元法化為整式方程，并特別要注意驗根。 【例2】已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2，且經過點（1，4）和點（5，0），則 該拋物線的解析式為 。 80 60 40 20 0 6 5 4 3 2 1 x(元) y(萬件) 〖解析〗∵函數y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2,∴b=-4a …①將點（1，4）、（5，0）的坐標分別代入y=ax2+bx+c得:a+b+c=4…② 25a+5b+c=

5、0③.解①②③得a=-,b=2,c=.故拋物線的解析式為y=-x2+2x+. 〖點撥〗利用待定系數法可求函數的解析式、 代數式及多項式的因式分解等符合題設條件的數學式。 【例3】（05年長沙市）某通訊器材公司銷售一種市場需求較大的新型通訊產品．已知每件產品的進價為40元，每年銷售該種產品的總開支（不含進價）總計120 萬元．在銷售過程中發(fā)現，年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之問存在著如圖所示的一次函數關系． ⑴求y關于x的函數關系式； ⑵試寫出該公司銷售該種產品的年獲利z（萬元）關于銷售單價x（元）的函數關系式（年獲利＝年銷售額一年銷售產品總進價一年總開支）．當銷售單價x為何值時

6、，年獲利最大？并求這個最大值； ⑶若公司希望該種產品一年的銷售獲利不低于40萬元，借助⑵中函數的圖象，請你幫助該公司確定銷售單價的范圍．在此情況下，要使產品銷售量最大，你認為銷售單價應定為多少元？ 〖解〗：⑴設y=kx+b ，它過點(60，5)，(80，4) ∴ 解得 ∴y=-x+8, ⑵z=yx-40y-120=（-x+8）（x-40）-120=-x2＋10x-440; ∴當x=100元時，最大年獲得為60萬元． O 40 60 100 120 80 x(元) y(萬元) ⑶令z=40，得40=-x2＋10x-440，整理得： x2-200x＋9

7、600=0 解得：x1=80,x2=120， 由圖象可知，要使年獲利不低于40萬元，銷售單價應在80元到120元之間．…(8分)又因為銷售單價越低，銷售量越大，所以要使銷售量最大，又要使年獲利不低于40萬元，銷售單價應定為80元． 〖點撥〗解此類問題，要仔細閱讀題目，理清思路，從而建立數學模型（函數模型） 【例4】（2007年福建漳州）如圖，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取兩點E、F（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點P在AD上，PE、PF分別交AC于點G、H． （1）求△PEF的邊長； （2）在不添加輔助線的情況下，當F與C不重合時，從圖中

8、找出一對相似三角形，并說明理由； （3）若△PEF的邊EF在線段BC上移動．試猜想：PH與BE有何數量關系？并證明你猜想的結論． [解] （1）過P作PQ⊥BC于Q　　 矩形ABCD ∴∠B=90，即AB⊥BC，又AD∥BC ∴PQ=AB=　　 ∵△PEF是等邊三角形 ∴∠ 1 2 3 4 PFQ=60 在Rt△PQF中 Sin60=,∴PF=2 ∴△PEF的邊長為2．　　 （2）正確找出一對相似三角形　　 1

9、2 3 4 5 6 7 8 正確說明理由　　 △ABC∽△CDA　　 理由：∵矩形ABCD,∴AB∥BC,∴∠1=∠2 ∴∠B=∠D ∴△ABC∽△CDA （3）猜想：PH與BE的數量關系是：PH-BE=1 證：在Rt△ABC中，AB=,BC=3 ∴tan∠1==,∴∠1=30∴△PEF是等邊三角形 ∴∠2=60,PF=PE=2,∵∠2=∠1+∠3 ∴∠3=30 ∴∠1=∠3 ∴FC=FH　　 ∵PH+FH=2, BE+EF+FC=3 ∴PH-BE=1　　 〖點評〗本題是一道很典型的幾何型探索題，在近幾年的中考壓軸題中穩(wěn)占一席之地，預計2008年仍會保

10、持這一趨勢。在本題中，第1小題較簡單，第2小題則需學生仔細觀察圖形，做出準確猜想后再驗證，第3小題對學生的探究能力的要求更高一些，但由于解法較多，入題的通道較寬，因此難度并非十分大，體現數學聯系的轉化思想。 四、【能力測試】 (一)、選擇題 ．若a的值使得x2+4x+a=（x+2）2-1成立，則a的值為……………………………………（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 ．（2005.杭州市）在右圖的幾何體中,上下底面都是平行四邊形,各個側面都是梯形,那么圖中和下底面平行的直線有: ………………（ ） (A)1條 (B)2條 (C)4條 (D

11、)8條 ．方程2x-x2=的正根的個數為……………………………（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 ．以下四個圖案中,既是軸對稱又是中心對稱圖形的有……………………………………（ ） A．４個　　　　B．３個　　　　C．２個　　　　　D．１個 ．（2005. 河南?。┫铝懈鲾抵校m合方程的一個近似值（精確到0.1）是 …………………（ ） A． 1.5 B． 1.6 C．1 D．1.8 ．若點p（m,n）在第二象限，則點Q（-m,-n）在…………………………………（

12、 ）象限 A．第一 B．第二 C．第三 D．第四 ．（2005. 山西?。?拋物線 的對稱軸是x=2，且經過點P(3,0)。則 的值為……………………………（ ） A、-1 B、0 C、1 D、2 ．在直角坐標系中，O為坐標原點，A(1，1)，在x軸上確定一點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P共有( ) (A)4個 　　　 (B)3個 　　 (C)2個 　　　 (D)1個 ．某商店把一商品按標價的九折出售（即優(yōu)惠10%），仍可獲利20%，若該商品的標價為每件28元，則該

13、商品的進價為…………………………………………………………………（ ）. （A）21元 （B）19.8元（C）22.4元 （D）25.2元 ．（2005.武漢市）已知⊙O的半徑為8cm，如果一條直線和圓心O的距離為8cm ，那么這條直線和這個圓的位置關系為………………………………………………………………（ ） A．相離 B．相切 C．相交 D．相交或相離 (二)、填空題 ．已知關于x的方程x2-3x+m=0的一個根是另一個根的2倍，則m的值為 。 y ．如圖，在△ABC中，∠ACB=90，AC=2，斜邊在x軸上，點A的坐標為（2

14、，0），則直角邊BC所在的直線解析式為 。 C x ．把拋物線向上平移2個單位，那么所得拋物線與x軸 A O B 的兩個交點之間的距離是 . ．如圖，用長度相等的火柴棒拼成由三角形組成的圖形，第n個圖形需要火柴棒的根數是 。 ．把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為的矩形，接著把面積為1/2的矩形等分成兩個面積為1/4的矩形，再把面積為1/4的矩形等分成兩個面積為1/8的矩形，如此進行下去，試利用如下圖揭示的規(guī)律計算 + + + + + + + =。

15、 圖1 圖2 ．（2006年河南?。┮闯龊蛨D1 中的菱形相似的較長對角線為88cm的大菱形（如圖2）需要圖1中的菱形的個數為___________． (三)、計算題: ．如圖，線段AB＝4，點O是線段AB上的點，點C、D是線段OA、OB的中點，小明很輕松地求得CD=2．他在反思過程中突發(fā)奇想：若點O運動到線段AB的延長線上或直線AB外，原有的結論“CD=2”是仍然成立呢？請幫小明畫出圖形分析，并說明理由． ．（2005年梅州市）東海體育用品商場為了推銷某一運動服，先做了市場調查，得到

16、 p（件） 500 490 480 470 50 51 52 53 x（元/件） 數據如下表： 賣出價格x（元/件） 50 51 52 53 …… 銷售量p（件） 500 490 480 470 …… （1）以x作為點的橫坐標，p作為縱坐標，把表中的 數據，在圖8中的直角坐標系中描出相應的點，觀察連結 各點所得的圖形，判斷p與x的函數關系式； （2）如果這種運動服的買入件為每件40元，試求銷售 利潤y（元）與賣出價格x（元/件）的函數關系式 （銷售利潤=銷售收入－買入支出）； （3）在（2）的條件下，當

17、賣出價為多少時，能獲得最大利潤？ ．如圖，為正方形邊上的任意一點（不與A、B兩點重合），是延長線上的一點，，且交的平分線所在直線于． （1）求證：； （2）若將上述條件中的“為邊上的任意一點（不與A、B兩點重合）”改為“為直線上任意一點（不與A、B兩點重合）”，其余條件不變，則結論“”成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由． ．如圖1，在平面直角坐標系中，兩個全等的直角三角形的直角頂點及一條直角邊重合，點在第二象限內，點，點在軸的負半軸上，． （1）求點的坐標；（2）如圖2，將繞點按順時針方向旋轉到的位置，其中交直線于點，分別交直線于點

18、，則除外，還有哪幾對全等的三角形，請直接寫出答案；（不再另外添加輔助線）（3）在（2）的基礎上，將繞點按順時針方向繼續(xù)旋轉，當的面積為時，求直線的函數表達式． A B C O 1 1 x y 圖1 A C O 1 1 x y G F E 圖2 ．如圖，正方形ABCD的各邊都平行于坐標軸，A、C分別在 直線和上. 若點A在直線上運動，求B點所在直線的解析式. ．已知：半徑為1的⊙O1與軸交于兩點，圓心的坐標為，二次函數Ｂ Ａ Ｏ 的圖象經過兩點，其頂點為． （1）求的值及

19、二次函數頂點的坐標； （2）寫出將二次函數的圖象向下平移1個單位，再向左平移2個單位的圖象的函數表達式； （3）若經過原點的直線與⊙O1相切，求直線的函數表達式． ．如圖,以O為原點的直角坐標系中，A點的坐標為（0，1），直線x=1交x軸于點B. P為線段AB上一動點，作直線PC⊥PO,交直線x=1于點C. 過P點作直線MN平行于x軸，交y軸于點M，交直線x=1于點N. （1） 當點C在第一象限時，設AP長為m，四邊形POBC的面積為S，請求出S與m間的函數關系式； （2） S是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由. 附加題：當點P

20、在線段AB上移動時，點C也隨之在直線x=1上移動，△PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成為等腰三角形的點P的坐標；如果不可能，請說明理由. 參考答案： 一、 選擇題 1.C 2.C 3.A 4.B 5.C 6.D 7.B 8.A 9.A 10.B 二、填空題 11．2 12.y=x+4 13. ；14.2n+1 15. 16.121 三、計算題：17（略） 18．解：（1）p與x成一次函數關系。 設函數關系式為p=kx+b ，則 解得：k=－10，b=

21、1000 ， ∴ p=－10x+1000 經檢驗可知：當x=52，p=480，當x=53，p=470時也適合這一關系式 ∴所求的函數關系為p=－10x+1000 （2）依題意得：y=px－40p=(－10x+1000)x－40(－10x+1000) ∴ y=－10x2+1400x－40000 (3)由y=－10x2+1400x－40000 可知，當時，y有最大值 ∴ 賣出價格為70元時，能花得最大利潤。 19．證明：（1）在上截取，連結． ， ． ． 又， ． ． （2）分兩種情況 ①點M在射線BE上. 延長AD到點P，使DP=

22、BM，連接PM. ②點M在線段BA的延長線上. 延長DA到點P， 使AP=AM，連接PM. 綜上可知，“為直線上任意一點（不與A、B兩點重合）”，其余條件不變，結論“”仍成立. 20．解：（1）在中，， ． 點的坐標為． （2），，． A C O 1 1 x y G F 圖1 M （3）如圖1，過點作于點． ， ． 在中，， ，． A C O 1 x y F 圖2 點的坐標為． 設直線的函數表達式為，則 解得 ． 同理，如圖2所示，點的坐標為． 設直

23、線的函數表達式為，則 解得 ． 21．解：設點A的橫坐標為a. ∵ 點A在直線上， 設點C的橫坐標為b 22．解：（1）由已知得： 由題意： 解得： ，頂點． （2）． （3）設經過原點的直線與⊙O1相切于點. 則，，， 設點的坐標為． 則 ，得， ． 由圓的對稱性，另一條直線的解析式是． 23．解：（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=900， ∴四邊形OBNM為矩形。 ∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900 ∵，AO=BO=1， ∴AM=PM ∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=

24、1-PM ∴OM=PN ∵∠OPC=900 ∴∠OPM+CPN=900 又∵∠OPM+∠POM=900 ∴∠CPN=∠POM ∴△OPM≌△PCN ∵AM=PM=APsin450= ∴NC=PM= ∴BN=OM=PN=1- ∴BC=BN-NC=1--= （2）存在最大值. 附加題：解：△PBC可能為等腰三角形 ①當P與A重合時，PC=BC=1，此時P（0，1） ②當點C在第四象限，且PB=CB時，有BN=PN=1－ ∴BC=PB=PN=-m ∴NC=BN+BC=1－+-m 由⑵知：NC=PM= ∴1－+-m= ∴m=1 ∴PM==，BN=1－=1－ ∴P（,1－） ∴使△PBC為等腰三角形的的點P的坐標為（0，1）或（,1－）