北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊全冊教案 第三章 分式

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1、 第三章 分式 3.1 分式 一、教學(xué)目標(biāo) 1.在現(xiàn)實情境中進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義，發(fā)展符號感. 2.了解分式產(chǎn)生的背景和分式的概念，了解分式與整式概念的區(qū)別與聯(lián)系. 3.掌握分式有意義的條件，認(rèn)識事物間的聯(lián)系與制約關(guān)系. 二、教學(xué)過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 面對日益嚴(yán)重的土地沙化問題，某縣決定分期分批固沙造林，一期工程計劃在一定期限固沙造林2400公頃，實際每月固沙造林的面積比原計劃多30公頃，結(jié)果提前4個月完成任務(wù).原計劃每月固沙造林多少公頃？ 這一問題中有哪些等量關(guān)系？ 如果原計劃每月固沙造林x公頃，那么原計劃完成一期工程需要____________個

2、月，實際完成一期工程用了____________個月. 根據(jù)題意，可得方程____________. 根據(jù)題意，我認(rèn)為這個問題的等量關(guān)系是：實際固沙造林所用的時間+4=原計劃固沙造林所用的時間.（1） 這個問題的等量關(guān)系也可以是：原計劃每月固沙造林的公頃數(shù)+30=實際每月固沙造林的公頃數(shù).（2） 在這個問題中，涉及到了三個基本量：工作量、工作效率、工作時間.工作量=工作效率工作時間. 如果用第（1）個等量關(guān)系列方程，應(yīng)如何設(shè)出未知數(shù)呢？ 因為第（1）個等量關(guān)系是工作時間的關(guān)系，因此需用已知條件和未知數(shù)表示出工作時間.題中的工作量是已知的.因此需設(shè)出工作效率即原計劃每月固沙造林x公頃

3、. 原計劃完成一期工程需個月， 實際完成一期工程需c個月， 根據(jù)等量關(guān)系（1）可列出方程： +4=. 用等量關(guān)系（2）設(shè)未知數(shù)，列方程呢？ 因為等量關(guān)系（2）是工作效率之間的關(guān)系，根據(jù)題意，應(yīng)設(shè)出工作時間.不妨設(shè)原計劃x個月完成一期工程，實際上完成一期工程用了（x－4）個月，那么原計劃每月固沙造林的公頃數(shù)為公頃，實際每月固沙造林公頃，根據(jù)題意可得方程. 同學(xué)們觀察我們列出的兩個方程，有什么新的發(fā)現(xiàn)？ 我們設(shè)出未知數(shù)后，用字母表示數(shù)的方法，列出幾個代數(shù)式，表示出我們需要的基本量.如，,.這些代數(shù)式和整式不同.我們雖然列出了方程，但分母中含有字母，要求出它的解，好像很不容易. 2

4、 / 15 像這樣的代數(shù)式同整式有很大的不同，而且它是以分?jǐn)?shù)的形式出現(xiàn)的，它們是不同于整式的一個很大的家族，我們把它們叫做分式. 2.例題講解 （1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ 5x－7,3x2－1,,,－5,,,. （2）①當(dāng)a=1，2時，分別求分式的值. ②當(dāng)a為何值時，分式有意義？ ③當(dāng)a為何值時，分式的值為零？ （1）中5x－7,3x2－1, ,－5, 是整式；,,是分式. （2）解：①當(dāng)a=1時，==1; 當(dāng)a=2時，==. ②當(dāng)分母的值等于零時，分式?jīng)]有意義，除此以外，分式都有意義. 由分母2a=0，得a=0. 所以，當(dāng)a取零以外的任何實數(shù)時

5、，分式有意義. ③分式的值為零，包含兩層意思：首先分式有意義，其次，它的值為零.因此a的取值有兩個要求： 所以，當(dāng)a=－1時，分母不為零，分子為零，分式為零. 三、隨堂練習(xí) 1.當(dāng)x取什么值時，下列分式有意義？ （1）；（2）;（3） 分析：當(dāng)分母的值為零時，分式?jīng)]有意義，除此以外，分式都有意義. 解：（1）由分母x－1=0，得x=1. 所以，當(dāng)x取除1以外的任何實數(shù)時，分式都有意義. （2）由分母x2－9=0，得x=3. 所以，當(dāng)x取除3和－3以外的任何實數(shù)時，分式都有意義. （3）由分母x2+1可知，x取任何實數(shù)時，x2是一個非負(fù)數(shù)，所以x2+1不管x取何實數(shù)

6、時，x2+1都不會為零.即x取任何實數(shù)，都有意義. 2.把甲、乙兩種飲料按質(zhì)量比x∶y混合在一起，可以調(diào)制成一種混合飲料，調(diào)制1 kg這種混合飲料需多少甲種飲料？ 解：根據(jù)題意，調(diào)制1 kg這種混合飲料需 kg甲種飲料. 3.2 分式的乘除法 一、教學(xué)目標(biāo) 1.分式乘除法的運(yùn)算法則， 2.會進(jìn)行分式的乘除法的運(yùn)算. 二、教學(xué)過程 探索、交流——觀察下列算式： =,=, ==,==. 猜一猜=? =? 觀察上面運(yùn)算，可知： 兩個分?jǐn)?shù)相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母； 兩個分?jǐn)?shù)相除，把除數(shù)的分子和分母顛倒位置后，再與被除數(shù)相乘. 即=;

7、 ==. 這里字母a,b,c,d都是整數(shù)，但a,c,d不為零. 1.分式的乘除法法則 兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母； 兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘. 2.例題講解 ［例1］計算： （1）;（2）. 分析：（1）將算式對照乘除法運(yùn)算法則，進(jìn)行運(yùn)算；（2）強(qiáng)調(diào)運(yùn)算結(jié)果如不是最簡分式時，一定要進(jìn)行約分，使運(yùn)算結(jié)果化為最簡分式. 解：（1）= ==; （2） ==. ［例2］計算： （1）3xy2;（2） 分析：（1）將算式對照分式的除法運(yùn)算法則，進(jìn)行運(yùn)算；（2）當(dāng)分子、分母是多項式時，一般應(yīng)先分

8、解因式，并在運(yùn)算過程中約分，可以使運(yùn)算簡化，避免走彎路. 解：（1）3xy2=3xy2 ==x2; （2） = = = = 3.做一做 通常購買同一品種的西瓜時，西瓜的質(zhì)量越大，花費(fèi)的錢越多.因此人們希望西瓜瓤占整個西瓜的比例越大越好.假如我們把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均勻的，西瓜的皮厚都是d，已知球的體積公式為V=πR3（其中R為球的半徑），那么 （1）西瓜瓤與整個西瓜的體積各是多少？ （2）西瓜瓤與整個西瓜的體積比是多少？ （3）買大西瓜合算還是買小西瓜合算？ 我們不妨設(shè)西瓜的半徑為R,根據(jù)題意，可得： （1）整個西瓜的體積為V1=πR3;

9、 西瓜瓤的體積為V2=π（R－d）3. （2）西瓜瓤與整個西瓜的體積比為： == =（）3=（1－）3. （3）我認(rèn)為買大西瓜合算. 由=（1－）3可知，R越大，即西瓜越大，的值越小，（1－）的值越大，（1－）3也越大，則的值也越大，即西瓜瓤占整個西瓜的體積比也越大，因此，買大西瓜更合算. 三、隨堂練習(xí) 1.計算：（1）;（2）（a2－a）;（3） 2.化簡： （1）; （2）（ab－b2） 解：1.（1）===; （2）（a2－a）=（a2－a） ==（a－1）2 =a2－2a+1 （3）= ==（x－1）y=xy－y. 2.（1） = =

10、=（x－2）（x+2）=x2－4. （2）（ab－b2） =（ab－b2）= =b. 3.3 分式的加減法 一、教學(xué)目標(biāo) 1.同分母的分式的加減法的運(yùn)算法則及其應(yīng)用. 2.簡單的異分母的分式相加減的運(yùn)算. 二、教學(xué)過程 問題一：從甲地到乙地有兩條路，每條路都是3 km，其中第一條是平路，第二條有1 km的上坡路、2 km的下坡路.小麗在上坡路上的騎車速度為v km/h,在平路上的騎車速度為2 v km/h,在下坡路上的騎車速度為3v km/h,那么 （1）當(dāng)走第二條路時，她從甲地到乙地需多長時間? （2）她走哪條路花費(fèi)的時間少？少用多長時間？ 問題二：某人用電腦錄入漢

11、字文稿的效率相當(dāng)于手抄的3倍，設(shè)他手抄的速度為a字/時，那么他錄入3000字文稿比手抄少用多少時間？ 答案：問題一，根據(jù)題意可得下列線段圖： （1）當(dāng)走第二條路時，她從甲地到乙地需要的時間為（+）h. （2）走第一條路，小麗從甲地到乙地需要的時間為h.但要求出小麗走哪條路花費(fèi)的時間少.就需要比較（+）與的大小，少用多少時間，就需要用它們中的較大者減去較小者，便可求出. 如果要比較（+）與的大小，就比較難了，因為它們的分母中都含有字母. 比較兩個數(shù)的大小，我們可以用作差法.例如有兩個數(shù)a,b. 如果a－b＞0，則a＞b; 如果a－b=0,則a=b； 如果a－b＜0,則

12、a＜b. 顯然（+）和中含有字母，但它們也是用來表示數(shù)的，所以我認(rèn)為可以用實數(shù)比較大小的方法來做. 如果用作差的方法，例如（+）－，如何判斷它大于零，等于零，小于零呢？ 做一做 （1）+=____________. （2）－=____________. （3）－+=____________. 同分母的分?jǐn)?shù)的加減是分母不變，把分子相加減，例如+－==－. 我認(rèn)為分母相同的分式相加減與同分母的分?jǐn)?shù)相加減一樣，應(yīng)該是分母不變，把分子相加減. 解：（1）+==; 解：（2）－=; 解：（3）－+ = = = 異分母的分?jǐn)?shù)加減時，可利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)通分，把異分母的

13、分?jǐn)?shù)加減法化成同分母的分?jǐn)?shù)加減法 ［例1］計算： （1）+;（2）+ ［例1］中的第（1）題，一個分母是a,另一個分母是5a，利用分式的基本性質(zhì)，只需將第一個分式化成=即可. 解：（1）+=+ ===; （2）+=+ == 三、計算： （1）－; （2）+; （3）－ 解：（1）－==; （2）+=+==; （3）－=－ ==. 3.4 分式方程 一、教學(xué)目標(biāo) 1.了解分式方程的一般步驟. 2.了解解分式方程驗根的必要性. 二、教學(xué)過程 解方程+=2－ （1）去分母，方程兩邊同乘以分母的最小公倍數(shù)6，得 3（3x－1）+2（5x+2）=62－（4

14、x－2）. （2）去括號，得9x－3+10x+4=12－4x+2, （3）移項，得9x+10x+4x=12+2+3－4, （4）合并同類項，得23x=13, （5）使x的系數(shù)化為1，兩邊同除以23，x=. 例1 解方程：－=4 解：方程兩邊同乘以2x，得 600－480=8x 解這個方程，得x=15 檢驗：將x=15代入原方程，得 左邊=4，右邊=4，左邊=右邊,所以x=15是原方程的根. 例2 .解方程： （1）=;（2）+=2. ［分析］先總結(jié)解分式方程的幾個步驟，然后解題. 解：（1）= 去分母，方程兩邊同乘以x（x－1），得 3x=4（x－1） 解這個方程，得x=4 檢驗：把x=4代入x（x－1）=43=12≠0， 所以原方程的根為x=4. （2）+=2 去分母，方程兩邊同乘以（2x－1），得 10－5=2（2x－1） 解這個方程，得x= 檢驗：把x=代入原方程分母2x－1=2－1=≠0. 所以原方程的根為x=. l 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！