第七章 常微分方程數(shù)值解法

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1、1計(jì)算方法計(jì)算方法 吳筑筑編吳筑筑編2本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容：3引言：引言：可求出方程可求出方程y=1+ex的通解為的通解為 y=x+ex+c, 將初值條件將初值條件 x=0, y=2 代入得代入得 2=1+c, 故故 c=1,所以初值問(wèn)題的解為所以初值問(wèn)題的解為 y=x+ex+1 dxeyx)1 (求解初值問(wèn)題求解初值問(wèn)題 1(0)2xyey=+= 4引言：引言： 00)(,),(yxybaxyxfy本章解決的問(wèn)題：本章解決的問(wèn)題：一階常微分方程的初值問(wèn)題一階常微分方程的初值問(wèn)題5引言：引言：l若方程若方程 y=f(x,y)的右端函數(shù)的右端函數(shù)f(x,y)在閉矩形域在閉矩形域R：x0ax

2、 x0a， y0by y0b上滿足：上滿足：（1） f(x,y)在在R上連續(xù)上連續(xù),（2）在）在R上關(guān)于上關(guān)于y滿足滿足Lipschitz(李普希茲李普希茲)條件條件即存在常數(shù)即存在常數(shù)L，對(duì)，對(duì)R上任意點(diǎn)均有以下不等式成立：上任意點(diǎn)均有以下不等式成立： |f(x,y1 )f(x,y2 )|L|y1y2|, xa,b, y1,y2R 則上述初值問(wèn)題存在唯一的連續(xù)可微的則上述初值問(wèn)題存在唯一的連續(xù)可微的解函數(shù)解函數(shù) y = y(x)。6引言：引言：又如初值問(wèn)題又如初值問(wèn)題 12(0)0yxyy =-= 可求出它的解為可求出它的解為 220 xxtyee dt-=但要進(jìn)一步計(jì)算指定點(diǎn)的函數(shù)值，還需

3、要用數(shù)值但要進(jìn)一步計(jì)算指定點(diǎn)的函數(shù)值，還需要用數(shù)值積分方法。有些微分方程的解是隱函數(shù)，例如積分方法。有些微分方程的解是隱函數(shù)，例如要求函數(shù)值還需要解超越方程。應(yīng)用中所處理的要求函數(shù)值還需要解超越方程。應(yīng)用中所處理的微分方程往往很復(fù)雜且大都得不出一般解，所以微分方程往往很復(fù)雜且大都得不出一般解，所以一般用數(shù)值解法。一般用數(shù)值解法。1x yyex+=7引言：引言：數(shù)值解法：數(shù)值解法： 給定節(jié)點(diǎn)給定節(jié)點(diǎn)a=x0 x1xn=b, 將初值問(wèn)題離散將初值問(wèn)題離散化為差分方程化為差分方程,求出解函數(shù)求出解函數(shù) y(x) 在這些點(diǎn)的近似在這些點(diǎn)的近似值值y1 ,y2 ,yn 。 所求得的近似值稱為所求得的近似

4、值稱為數(shù)值解數(shù)值解。 本章中總假定步長(zhǎng)本章中總假定步長(zhǎng)h為定值，節(jié)點(diǎn)為定值，節(jié)點(diǎn)xi=x0+ihi=1，2，38l 7.1.1 歐拉法及其截?cái)嗾`差歐拉法及其截?cái)嗾`差l 7.1.2 改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測(cè)改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測(cè)-校正公式校正公式 7.1 歐拉法和改進(jìn)的歐拉法歐拉法和改進(jìn)的歐拉法97.1.1 歐拉法及其截?cái)嗾`差歐拉法及其截?cái)嗾`差 00)(),(yxyyxfy初值問(wèn)題：初值問(wèn)題：1、歐拉公式的構(gòu)造思想：用差商代替導(dǎo)數(shù)、歐拉公式的構(gòu)造思想：用差商代替導(dǎo)數(shù) 012,nx x xx鬃設(shè)設(shè) 等距，步長(zhǎng)為等距，步長(zhǎng)為1,0,1 , ,1iixxhin+- =鬃 ()( )( )( )()()( )(

5、),y xhy xy xy xhy xh yxy xh f x yh+- +=+令令x=xi , x+h=xi+1 , y(xi )yi ，y(xi+1 ) yi+1 ,初值問(wèn)初值問(wèn)題離散化為題離散化為 )(, 2 , 1 , 0,),(001xyyiyxfhyyiiii(歐拉公式歐拉公式) 107.1.1 歐拉法及其截?cái)嗾`差歐拉法及其截?cái)嗾`差例例 取步長(zhǎng)取步長(zhǎng) h=0.1，用歐拉法求解初值問(wèn)題用歐拉法求解初值問(wèn)題 解解:00( , ),0,1f x yxyxy=+=(0)1yxyy=+= y1=y0+h f(x0 ,y0 )=1+0.1(0 + 1 )=1.1y2=y1+h f(x1 ,y1

6、 )=1.1 + 0.1(0.1 + 1.1 )=1.22y3=y2+hf(x2 ,y2 )=1.22+0.1 (0.2+1.22)=1.362y10=y9+h f(x9 ,y9 )=y9+0.1(x9 + y9 )=3.18748 )(, 2 , 1 , 0,),(001xyyiyxfhyyiiii117.1.1 歐拉法及其截?cái)嗾`差歐拉法及其截?cái)嗾`差 )(, 2 , 1 , 0,),(001xyyiyxfhyyiiii2、歐拉公式幾何意義、歐拉公式幾何意義:用折線代替曲線計(jì)算解函數(shù)的近似值。用折線代替曲線計(jì)算解函數(shù)的近似值。 1100( ,)(),0,1,2,()iiiiiiyyf x yx

7、xiyy x127.1.1 歐拉法及其截?cái)嗾`差歐拉法及其截?cái)嗾`差3、數(shù)值公式的誤差來(lái)源。、數(shù)值公式的誤差來(lái)源。 (1)局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差（簡(jiǎn)稱（簡(jiǎn)稱截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差）：假設(shè)）：假設(shè) yi=y(xi )是準(zhǔn)確的是準(zhǔn)確的 ，計(jì)算，計(jì)算yi+1所產(chǎn)生的誤差所產(chǎn)生的誤差 y(xi+1 ) - yi+1 若局部截?cái)嗾`差可以表示為若局部截?cái)嗾`差可以表示為O(hk+1), k為正整數(shù)，為正整數(shù)，則稱公式是則稱公式是k階公式階公式。（2）由于實(shí)際上）由于實(shí)際上yi不是準(zhǔn)確值，因此它的誤差會(huì)不是準(zhǔn)確值，因此它的誤差會(huì)傳播下去。傳播下去。 （3）實(shí)際計(jì)算時(shí)，每一步都可能產(chǎn)生舍入誤差。）實(shí)際計(jì)算時(shí)，每一步都可

8、能產(chǎn)生舍入誤差。 137.1.1 歐拉法及其截?cái)嗾`差歐拉法及其截?cái)嗾`差4、歐拉公式的截?cái)嗾`差是、歐拉公式的截?cái)嗾`差是O(h2)，公式是公式是1 階的。階的。 因?yàn)橐驗(yàn)?( ,)( )( )iiiiiiyyh f x yy xh yx+=+211()( ) ( ) ( )2iiiy xy xyx hyh（泰勒公式）（泰勒公式） 兩式相減，由設(shè)兩式相減，由設(shè) yi=y(xi ) ，有，有 221112iiy xyyhO h2( )11( )( ) ( ) ( )() ( )()2!nniiiiy xy xyxyxxyxxn147.1.2 改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測(cè)改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測(cè)-校正公式校正公式對(duì)微分

9、方程對(duì)微分方程y=f(x,y) 兩邊求兩邊求xi 到到xi+1 的定積分，有的定積分，有11()( )( , ( )iixiixy xy xf t y t dt+-=利用梯形公式計(jì)算積分，有利用梯形公式計(jì)算積分，有 1111()( ) ( , ( )(, ()2iiiiiiiixxy xy xf x y xf xy x+-+1、改進(jìn)的歐拉公式的構(gòu)造、改進(jìn)的歐拉公式的構(gòu)造157.1.2 改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測(cè)改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測(cè)-校正公式校正公式將將y(xi ) 、y(xi+1 )分別用分別用yi 、yi+1 代替，構(gòu)造相應(yīng)的代替，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)值公式：數(shù)值公式：（改進(jìn)的歐拉公式）（改進(jìn)的歐拉公式） )

10、(, 2 , 1 , 0,),(),(200111xyyiyxfyxfhyyiiiiii167.1.2 改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測(cè)改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測(cè)-校正公式校正公式2、改進(jìn)的歐拉公式的截?cái)嗾`差為、改進(jìn)的歐拉公式的截?cái)嗾`差為O(h3)因而因而改進(jìn)的歐拉法改進(jìn)的歐拉法是二階的。是二階的。 177.1.2 改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測(cè)改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測(cè)-校正公式校正公式3、 改進(jìn)的歐拉法的具體使用格式。改進(jìn)的歐拉法的具體使用格式。 改進(jìn)的歐拉法是隱式公式改進(jìn)的歐拉法是隱式公式 ,計(jì)算時(shí)常用迭代法。一計(jì)算時(shí)常用迭代法。一般每一步先由歐拉公式計(jì)算出般每一步先由歐拉公式計(jì)算出yi+1 的初始值的初始值yi+1(0),再迭

11、代計(jì)算再迭代計(jì)算yi+1。 , 2 , 1 , 0),(),(2),()(11)1(1)0(1kyxfyxfhyyyxfhyykiiiiikiiiii當(dāng)滿足當(dāng)滿足 (1)( )11|kkiiyye+-時(shí)，取時(shí)，取 (1)11.kiiyy+=可證明當(dāng)可證明當(dāng)f(x,y)滿足一定條件時(shí)，迭代是收斂的。滿足一定條件時(shí)，迭代是收斂的。 )(, 2 , 1 , 0,),(),(200111xyyiyxfyxfhyyiiiiii187.1.2 改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測(cè)改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測(cè)-校正公式校正公式改進(jìn)的歐拉法的預(yù)測(cè)校正公式改進(jìn)的歐拉法的預(yù)測(cè)校正公式 ( )1( )111( ,) ( ,)(,)20,1,2

12、,piiiipiiiiiiyyh f x yhyyf x yf xyi可證明預(yù)測(cè)校正公式的截?cái)嗾`差也為可證明預(yù)測(cè)校正公式的截?cái)嗾`差也為 O(h3)。197.1.2 改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測(cè)改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測(cè)-校正公式校正公式例例 取步長(zhǎng)取步長(zhǎng)h=0.2,用改進(jìn)的歐拉法的預(yù)測(cè)校正公用改進(jìn)的歐拉法的預(yù)測(cè)校正公式求解初值問(wèn)題的數(shù)值解式求解初值問(wèn)題的數(shù)值解y1 , y2 .(0)1yxyy =+= 解解 00( , ),0,1f x yxy xy=+=( )1( )1110.2()0.21.20.1()()piiiiiipiiiiiiyyxyxyyyxyxy+=+=+=+預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)- -校正公式具體是校正公式

13、具體是 207.1.2 改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測(cè)改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測(cè)-校正公式校正公式( )1000.21.21.2pyxy=+=( )1000110.1()()10.1(010.21.2)1.24pyyxyxy=+=( )2110.21.20.20.21.2 1.241.528pyxy=+=+=11.24y =21.5768y =( )2111220.1()()1.240.1(0.21.240.41.528)1.5768pyyxyxy=+=+=21設(shè)：改用后差商設(shè)：改用后差商 替代方程中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)替代方程中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 7.1.2 向后向后 (隱式隱式)歐拉公式歐拉公式 111()iiiy xy xy x

14、h111,iiiiyyhf xy可以得到向后歐拉公式可以得到向后歐拉公式l這是隱式歐拉格式，也是一階方法，精度與歐拉這是隱式歐拉格式，也是一階方法，精度與歐拉公式相當(dāng)。計(jì)算公式相當(dāng)。計(jì)算yi+1通常用迭代法通常用迭代法:(0)1(1)( )111,0,1,2,iiiikkiiiiyyhf x yyyhf xyk227.1.2 兩步歐拉公式兩步歐拉公式設(shè)改用中心差商設(shè)改用中心差商 替代方程替代方程 中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ，再離散化，即可，再離散化，即可導(dǎo)出下列格式導(dǎo)出下列格式無(wú)論是顯式歐拉公式還是隱式歐拉公式，它們都無(wú)論是顯式歐拉公式還是隱式歐拉公式，它們都是單步法，其特點(diǎn)是計(jì)算時(shí)只用到前一步的

15、信息是單步法，其特點(diǎn)是計(jì)算時(shí)只用到前一步的信息yi，而該格式卻調(diào)用了前面兩步的信息而該格式卻調(diào)用了前面兩步的信息yi-1,yi ，兩步歐，兩步歐拉格式因此而得名。拉格式因此而得名。兩步歐拉格式具有更高的精度，它是二階方法。兩步歐拉格式具有更高的精度，它是二階方法。1112iiy xy xh,nnnyxf xy x112,iiiiyyhf x y23引言：引言：（回顧）（回顧） 00)(,),(yxybaxyxfy本章解決的問(wèn)題：本章解決的問(wèn)題：一階常微分方程的初值問(wèn)題一階常微分方程的初值問(wèn)題247.1 歐拉法和改進(jìn)的歐拉法歐拉法和改進(jìn)的歐拉法預(yù)測(cè)校正公式預(yù)測(cè)校正公式 ()1()111( ,)

16、( ,)(,)20,1,2,piiiipiiiiiiyyh f x yhyyf x yf xyi改進(jìn)的歐拉公式改進(jìn)的歐拉公式 )(, 2 , 1 , 0,),(),(200111xyyiyxfyxfhyyiiiiii )(, 2 , 1 , 0,),(001xyyiyxfhyyiiii歐拉公式歐拉公式 257.1 歐拉法和改進(jìn)的歐拉法歐拉法和改進(jìn)的歐拉法兩步歐拉公式兩步歐拉公式112,nnnnyyhfxy向后歐拉公式向后歐拉公式111,nnnnyyhfxy267.2 龍格龍格-庫(kù)塔法庫(kù)塔法(R-K法法)l7.2.1 二階龍格二階龍格-庫(kù)塔公式庫(kù)塔公式l7.2.2 四階龍格四階龍格-庫(kù)塔公式庫(kù)塔

17、公式27引言：引言：公式構(gòu)造思想公式構(gòu)造思想：從泰勒公式出發(fā)，尋找更高階的：從泰勒公式出發(fā)，尋找更高階的數(shù)值公式。數(shù)值公式。 例如，泰勒公式計(jì)算到二階可得例如，泰勒公式計(jì)算到二階可得 231()( )( )( )()2!y xhy xy x hyx hO h+=+( )( , ( )( , ( )( )( , ( )( , ( )( , ( )xyy xf x y xdf x y xyxfx y xfx y xf x y xdx = =+令令ixx=則則1ixhx+=略去余項(xiàng)，得出一個(gè)二階的數(shù)值公式為略去余項(xiàng)，得出一個(gè)二階的數(shù)值公式為21( ,)( ,)( ,)( ,)2iiiixiiyiii

18、ihyyf x y hfx yfx yf x y+=+因因28引言：引言：理論上按此方式可以得到更高階的公式。但需理論上按此方式可以得到更高階的公式。但需要計(jì)算復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，使算法復(fù)雜而不實(shí)要計(jì)算復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，使算法復(fù)雜而不實(shí)用。用。 龍格龍格庫(kù)塔的思想（間接地運(yùn)用泰勒公式）：庫(kù)塔的思想（間接地運(yùn)用泰勒公式）：利用利用y(x)在若干個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值，作出一在若干個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值，作出一個(gè)適當(dāng)?shù)木€性組合，使這個(gè)線性組合按個(gè)適當(dāng)?shù)木€性組合，使這個(gè)線性組合按h展開后的展開后的泰勒公式與泰勒公式與y(x+h)的泰勒公式有較多的項(xiàng)達(dá)到一致，的泰勒公式有較多的項(xiàng)達(dá)到一致，從而得出較

19、高階的數(shù)值公式。從而得出較高階的數(shù)值公式。 29引言：引言：R階龍格階龍格庫(kù)塔（庫(kù)塔（ Runge-Kutta)法的一般形式：法的一般形式：11122111()( ,)(,),(2,3, ),(1,2, ),(2,3, ),(2,3, ,2,3,1)iirriissisisjjjsssjyyh cKc Kc KKf x yKf xa h yhb Ksrcsr asrb sr js其中都是待定系數(shù)307.2.1 二階龍格二階龍格-庫(kù)塔公式庫(kù)塔公式設(shè)想一個(gè)有二階精度的數(shù)值公式形狀為設(shè)想一個(gè)有二階精度的數(shù)值公式形狀為 a, b為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。1(, ()iiiiyybhf xah y xah

20、+=+仍令仍令x=xi，則，則x+h=xi+1。如果能找出。如果能找出a,b,使得使得 3()( ) ()()y xhy xbh yxahO h略去余項(xiàng)就可得到上面所希望的近似計(jì)算公式了。略去余項(xiàng)就可得到上面所希望的近似計(jì)算公式了。 因此考慮因此考慮 )( )()(haxyhbxyhxyhT 在在h=0處求泰勒公式得處求泰勒公式得 ( )23(0)(0)(0)()2TT hTThhO h=+由于由于(0)0T=317.2.1 二階龍格二階龍格-庫(kù)塔公式庫(kù)塔公式( )2()()()()Thyxhabyxaha bhyxahabyxah =+-+-+-+( )()()()Thy xhby xaha

21、bhyxah=+-+-+ )( )()(haxyhbxyhxyhT (0)( )( )Ty xby x =-(0)(12)( )Tab yx=-由由T(h)的泰勒公式的泰勒公式( )23(0)(0)(0)()2TT hTThhO h=+327.2.1 二階龍格二階龍格-庫(kù)塔公式庫(kù)塔公式( )231(1)( )()( )()2T hb yx hab yx hO h=-+-+為使為使T(h)=O(h3),令令 101 20bab-=-=，解出解出 1 2,1ab=，得，得 32,2hOhxyhxfhxyhxyhT 整理得整理得337.2.1 二階龍格二階龍格-庫(kù)塔公式庫(kù)塔公式利用利用( )( )(

22、 )2,2222hhhhf xy xyxyxyxO h驏驏驏琪瓏+=+=+鼢瓏鼢瓏桫桫桫3()( )(,( )( , ( )()22hhy xhy xh f xy xf x y xO h+=+可以推出可以推出 取取x=xi并略去并略去O(h3)便得到二階龍格庫(kù)塔公式便得到二階龍格庫(kù)塔公式 1(,( ,)22iiiiiihhyyh f xyf x y+=+或或12112( ,),(,)22iiiiiihhkf x ykf xykyyhk+=+=+347.2.1 二階龍格二階龍格-庫(kù)塔公式庫(kù)塔公式3()( )(,( )( , ( )()22hhy xhy xh f xy xf x y xO h+=

23、+可以推出可以推出 取取x=xi并略去并略去O(h3)便得到二階龍格庫(kù)塔公式便得到二階龍格庫(kù)塔公式 1(,( ,)22iiiiiihhyyh f xyf x y+=+或或12112( ,),(,)22iiiiiihhkf x ykf xykyyhk+=+=+ 32,2hOhxyhxfhxyhxyhT 357.2.2 四階龍格四階龍格-庫(kù)塔公式庫(kù)塔公式仿照上述的討論，可導(dǎo)出仿照上述的討論，可導(dǎo)出四階龍格庫(kù)塔公式四階龍格庫(kù)塔公式: : 121324311234( ,),(,)22(,),(,)22(22)6iiiiiiiiiihhkf x ykf xykhhkf xykkf xh yhkhyykk

24、kk+=+=+=+=+ 36例例 取步長(zhǎng)取步長(zhǎng)h=0.2，用四階龍格庫(kù)塔公式求下面，用四階龍格庫(kù)塔公式求下面初值問(wèn)題的數(shù)值解。初值問(wèn)題的數(shù)值解。 7.2.2 四階龍格四階龍格-庫(kù)塔公式庫(kù)塔公式 2,(01)(0)1yyx yxy =-= 21(,)22iihhkf xyk=+解解 00( , )2,0,1,0.2f x yyx yxyh=-=由公式得由公式得 2001(2,2)(0.1,1.1)0.91818kf xhyhkf=+=100(,)1kf xy=1(,)iikf xy=377.2.2 四階龍格四階龍格-庫(kù)塔公式庫(kù)塔公式11234(22)6iihyykkkk+=+3002(2,2)(

25、0.1,1.09182)0.90864kf xhyhkf=+=4003(,)(0.2,1.18173)0.84324kf xh yhkf=+=18323. 16)22(2 . 0432101 kkkkyy32(,)22iihhkf xyk=+43(,)iikf xh yhk=+21yx=+數(shù)值解數(shù)值解yi與準(zhǔn)確解與準(zhǔn)確解y(xi)的對(duì)照見(jiàn)表的對(duì)照見(jiàn)表 準(zhǔn)確解是準(zhǔn)確解是00.20.40.60.81.011.183231.341671.483281.612511.7321411.183221.341641.483241.612451.73205xiyiy(xi)387.3 線性多步法線性多步法7.

26、3.1 四階阿達(dá)姆斯四階阿達(dá)姆斯(Adams)外插公式外插公式7.3.2 四階阿達(dá)姆斯四階阿達(dá)姆斯(Adams)內(nèi)插公式內(nèi)插公式7.3.0 多步法的概念多步法的概念7.3.3 初始出發(fā)值的計(jì)算初始出發(fā)值的計(jì)算7.3.4 阿達(dá)姆斯預(yù)測(cè)阿達(dá)姆斯預(yù)測(cè)-校正公式校正公式397.3.0 多步法的概念多步法的概念單步法單步法-計(jì)算計(jì)算yi+1時(shí)只使用時(shí)只使用yi的值。的值。多步法多步法-計(jì)算計(jì)算yi+1時(shí)使用前面的時(shí)使用前面的k個(gè)個(gè)y值，即由值，即由yi-k+1 , yi-k+2 , ,yi-1, yi計(jì)算計(jì)算yi+1。(k=1,2,)線性多步法線性多步法-計(jì)算計(jì)算yi+1的公式由的公式由yi-k+1 ,

27、 yi-k+2 , ,yi-1, yi 的線的線性組合表達(dá)。性組合表達(dá)。407.3.1 四階阿達(dá)姆斯外插公式四階阿達(dá)姆斯外插公式設(shè)想用設(shè)想用yi-3 ,yi-2 ,yi-1 ,yi 的值計(jì)算的值計(jì)算yi+1。為方便討論由。為方便討論由 (3 ), (2 ), (), ( )y xhy xhy xhy x-出發(fā)計(jì)算出發(fā)計(jì)算y(x+h), 由初值問(wèn)題的方程由初值問(wèn)題的方程y=f(x,y(x)兩兩邊從邊從x到到x+h積分積分, 可得到等價(jià)的積分方程可得到等價(jià)的積分方程 hxxdssysfxyhxy)(,()()(417.3.1 四階阿達(dá)姆斯外插公式四階阿達(dá)姆斯外插公式設(shè)想運(yùn)用數(shù)值積分方法，取設(shè)想運(yùn)用

28、數(shù)值積分方法，取 x-3h, x-2h, x- h, x 為插值基點(diǎn)，做為插值基點(diǎn)，做 f(s,y(s) 的三次拉格朗日插值，的三次拉格朗日插值，用它近似計(jì)算上式的積分用它近似計(jì)算上式的積分 。這樣得到的數(shù)值積分公式是這樣得到的數(shù)值積分公式是f(s,y(s)在在4個(gè)插值基個(gè)插值基點(diǎn)處的函數(shù)值的線性組合。點(diǎn)處的函數(shù)值的線性組合。 3)2()()()()(3210hxybhxybhxybxybhxyhxy 由于由于 f(x-ih,y(x-ih)= y(x-ih)，所得到的計(jì)算所得到的計(jì)算 y(x+h) 的近似公式形為：的近似公式形為：427.3.1 四階阿達(dá)姆斯外插公式四階阿達(dá)姆斯外插公式( )(

29、4)2345(0)(0)(0)(0)(0)()2!3!4!TTTT hTThhhhO h=+( )(0)ThT=LL為達(dá)到四階精度，希望確定參數(shù)為達(dá)到四階精度，希望確定參數(shù)b0 ,b1 ,b2 ,b3使?jié)M足使?jié)M足 )(3)2()()()()(53210hOhxybhxybhxybxybhxyhxy 運(yùn)用在運(yùn)用在 h=0 處的泰勒公式得處的泰勒公式得 0123( )()( )( ) () (2 ) (3 )T hy xhy xh b yxb yxhb yxhb yxh(0)0T=( )(0)T hT =LL( )(0)ThT =LL(4)(4)( )(0)ThT=LL437.3.1 四階阿達(dá)姆斯

30、外插公式四階阿達(dá)姆斯外插公式為達(dá)到四階精度，希望確定參數(shù)為達(dá)到四階精度，希望確定參數(shù)b0 ,b1 ,b2 ,b3使?jié)M足使?jié)M足 )(3)2()()()()(53210hOhxybhxybhxybxybhxyhxy 運(yùn)用在運(yùn)用在 h=0 處的泰勒公式得處的泰勒公式得 3(4)4533112299411(2) ( )()( )()62224632bbbbbbyx hyx hO h+-+ )3( )2( )( )()()(3210hxybhxybhxybxybhxyhxy 201231231(1) ( )(23 ) ( )2bbbbyx hbbbyx h=-+447.3.1 四階阿達(dá)姆斯外插公式四階阿

31、達(dá)姆斯外插公式0123123331122110,23029941120 ,062224632bbbbbbbbbbbbb-=+=-=+= 01235559373,2424248bbbb= -= -)( )3( 9)2( 37)( 59)( 5524)()(5hOhxyhxyhxyxyhxyhxy 為使誤差等于為使誤差等于O(h5)，令令h, h2,h3,h4 的系數(shù)為的系數(shù)為0，得方程組：得方程組：求得求得代入前面的公式得代入前面的公式得457.3.1 四階阿達(dá)姆斯外插公式四階阿達(dá)姆斯外插公式令令x=xi 并記并記 2222 (2 )(2 , (2 )(2 ,)(,)iiiiiiiiyxhf x

32、h y xhf xh yf xyf-=-= ( )( , ( )( ,)iiiiiiyxf x y xf x yf=1111 ()(, ()(,)(,)iiiiiiiiyxhf xh y xhf xh yf xyf-=-=3333 (3 )(3 , (3 )(3 ,)(,)iiiiiiiiyxhf xh y xhf xh yf xyf-=-=1( ),(),iiiy xyy xhy+467.3.1 四階阿達(dá)姆斯外插公式四階阿達(dá)姆斯外插公式略去余項(xiàng)，得到略去余項(xiàng)，得到四階阿達(dá)姆斯外插公式四階阿達(dá)姆斯外插公式 ：1123(5559379)24iiiiiihyyffff+-=+-+-這是顯式公式。公

33、式的截?cái)嗾`差為這是顯式公式。公式的截?cái)嗾`差為O(h5)。 477.3.2 四階阿達(dá)姆斯內(nèi)插公式四階阿達(dá)姆斯內(nèi)插公式把四階阿達(dá)姆斯外插公式中使用的把四階阿達(dá)姆斯外插公式中使用的yi-3 ,yi-2 ,yi-1 ,yi改為改為 ：yi-2 ,yi-1 ,yi ,yi+1 ,經(jīng)類似的推導(dǎo)可得近似公式：經(jīng)類似的推導(dǎo)可得近似公式： )( )2( )( )( )()(3210hxybhxybhxybxybhxyhxy 0123123331122110,20241120,062224636bbbbbbbbbbbbb-=+-=-=+-= 確定待定系數(shù)的方程組為確定待定系數(shù)的方程組為487.3.2 四階阿達(dá)姆斯

34、內(nèi)插公式四階阿達(dá)姆斯內(nèi)插公式012319 24,5 24,1 24,3 8bbbb= -=解得解得得到四階阿達(dá)姆斯內(nèi)插公式得到四階阿達(dá)姆斯內(nèi)插公式 1112(9195)24iiiiiihyyffff+-=+-+這是一個(gè)隱式公式，截?cái)嗾`差也是這是一個(gè)隱式公式，截?cái)嗾`差也是O(h5)。 497.3.3 初始出發(fā)值的計(jì)算初始出發(fā)值的計(jì)算 阿達(dá)姆斯公式的特點(diǎn)是計(jì)算公式簡(jiǎn)單，只需簡(jiǎn)單阿達(dá)姆斯公式的特點(diǎn)是計(jì)算公式簡(jiǎn)單，只需簡(jiǎn)單的算術(shù)運(yùn)算，計(jì)算量少，結(jié)果的精度較高。但需的算術(shù)運(yùn)算，計(jì)算量少，結(jié)果的精度較高。但需要要4個(gè)初始出發(fā)值。個(gè)初始出發(fā)值。 （1）使用單步法，例如龍格庫(kù)塔法求出發(fā)值。）使用單步法，例如龍

35、格庫(kù)塔法求出發(fā)值。 （2）使用）使用y(x)在在x=x0 處的泰勒公式處的泰勒公式 ( )00000()( )() ()()()!kkyxy xy xyxxxxxk-+ 鬃 -其中泰勒公式的階數(shù)其中泰勒公式的階數(shù)k按需要選取，各導(dǎo)數(shù)值由復(fù)按需要選取，各導(dǎo)數(shù)值由復(fù)合函數(shù)合函數(shù) f(x,y(x)的求導(dǎo)得出。的求導(dǎo)得出。 507.3.4 阿達(dá)姆斯預(yù)測(cè)阿達(dá)姆斯預(yù)測(cè)-校正公式校正公式阿達(dá)姆斯內(nèi)插公式是隱式公式，與改進(jìn)的歐拉公阿達(dá)姆斯內(nèi)插公式是隱式公式，與改進(jìn)的歐拉公式用法類似需要用迭代法計(jì)算式用法類似需要用迭代法計(jì)算yi+1 。為了減小迭代次數(shù)，可與阿達(dá)姆斯外插公式聯(lián)合為了減小迭代次數(shù)，可與阿達(dá)姆斯外插

36、公式聯(lián)合使用，構(gòu)造只迭代使用，構(gòu)造只迭代 1 次的預(yù)測(cè)次的預(yù)測(cè)-校正格式，即校正格式，即阿達(dá)姆斯預(yù)測(cè)-校正公式 ()()()()()()()()( )1112233( )( )1111122( )1155,59,37,9,249,19,5,24piiiiiiiiiicpiiiiiiiiiiciihyyf x yf xyf xyf xyhyyf xyf x yf xyf xyyy+-+-+輊=+-+-臌輊=+-+犏臌= 公式仍有四階精度。公式仍有四階精度。 517.3.4 阿達(dá)姆斯預(yù)測(cè)阿達(dá)姆斯預(yù)測(cè)-校正公式校正公式例例 用阿達(dá)姆斯預(yù)測(cè)用阿達(dá)姆斯預(yù)測(cè)-校正公式求初值問(wèn)題校正公式求初值問(wèn)題 2 (0

37、)0,01,0.1yxyyxh=-= 的數(shù)值解。的數(shù)值解。 解解 2( , ),f x yxy=-000,0 xy=使用四階龍格庫(kù)塔公式求出發(fā)值使用四階龍格庫(kù)塔公式求出發(fā)值 ，計(jì)算得，計(jì)算得 1122330.1,0.00500,0.2,0.01998,0.3,0.04488xyxyxy=527.3.4 阿達(dá)姆斯預(yù)測(cè)阿達(dá)姆斯預(yù)測(cè)-校正公式校正公式再用阿達(dá)姆斯預(yù)測(cè)校正公式，再用阿達(dá)姆斯預(yù)測(cè)校正公式， ()()()()()()()()()4333221100( )()4434433221155,59,37,9,240.079519,19,5,240.07949pcphyyfxyfxyfxyfxyhyyyfxyfxyfxyfxy輊=+-+-臌=輊=+-+犏臌= ( )( )( )55661010,.,.pppyyyyyy計(jì)算結(jié)果如表：計(jì)算結(jié)果如表：0.40.50.60.70.80.91.00.07950.12350.17620.23690.30460.37790.4555類似可計(jì)算類似可計(jì)算