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1、第三章
1、 已知是n階正定Hermite矩陣，在n維線性空間中向量
定義內積為
（1） 證明在上述定義下，是酉空間；
（2） 寫出中的Canchy-Schwarz不等式。
2、 已知，求的標準正交基。
提示：即求方程的基礎解系再正交化單位化。
3、 已知
試求酉矩陣，使得是上三角矩陣。
提示：參見教材上的例子
4、 試證：在上的任何一個正交投影矩陣是半正定的Hermite矩陣。
5、 驗證下列矩陣是正規(guī)矩陣，并求酉矩陣，使為對角矩陣，已知
，
6、 試求正交矩陣，使為對角矩陣，已知
，
7、 試求矩陣，使（或），已知
，
8、 設n階酉矩陣的特征
2、根不等于，試證：矩陣滿秩，且是Hermite矩陣。反之，若是Hermite矩陣，則滿秩，且是酉矩陣。
證明：若，觀察知為的特征值，矛盾，所以矩陣滿秩。，要，只要
故
由知為H的特征值。由Hermite矩陣只能有實數特征值可得，即滿秩。
9、 若分別是實對稱和實反對稱矩陣，且，試證：
是酉矩陣。
證明：
10、 設均是實對稱矩陣，試證：與正交相似的充要條件是與的特征值相同。
證明：相似矩陣有相同的特征值。與正交相似與的特征值相同。
若與的特征值相同，又均是實對稱矩陣。所以存在正交陣Q，P使
其中為正交陣。
11、 設均是Hermite矩陣，試證：與酉相似的充要
3、條件是與的特征值相同。
證明：同上一題。
12、 設均是正規(guī)矩陣，試證：與酉相似的充要條件是與的特征值相同。
同上
13、 設A是Hermite矩陣，且，則存在酉矩陣，使得
14、 設A是Hermite矩陣，且，則存在酉矩陣，使得。
15、 設A為正定Hermite矩陣，B為反Hermite矩陣，試證：與的特征值實部為0。
證：A為正定Hermite矩陣，為滿秩的。
，
是反Hermite矩陣，反Hermite矩陣的特征值實部為0,所以的特征值實部為0。
16、 設均是Hermite矩陣，且A正定，試證：與的特征值都是實數。
證明：同上題。，
，是Hermite
4、矩陣，Hermite矩陣的特征值為實數,所以的特征值是實數。
17、 設A為半正定Hermite矩陣，且，試證：。
證明：A的特征值為，矩陣的行列式等于特征值之積。特征值為，
18、 設A為半正定Hermite矩陣，，B是正定Hermite矩陣，試證：。
證明：，為滿秩的。
為半正定Hermite矩陣，由上題，
19、 設A為正定Hermite矩陣，且，則。
證明：存在，。又，
20、 試證：（1）兩個半正定Hermite矩陣之和是半正定的；（2）半正定Hermite矩陣與正定Hermite矩陣之和是正定的。
提示：考查
21、 設A是正定Hermite
5、矩陣，B是反Hermite矩陣，試證：A＋B是可逆矩陣。
提示：A為正定Hermite矩陣，為滿秩的。
是反Hermite矩陣，特征值實部為0,，所以
22、 設A，B是n階正規(guī)矩陣，試證：A與B相似的充要條件是A與B酉相似。
證明：充分性，酉相似相似。
必要性，A，B是n階正規(guī)矩陣，，又A與B相似, 與的特征值相同,可設
，
23、 設，試證：總存在，使得是正定Hermite矩陣，是負定Hermite矩陣。
提示：A的特征值為，則的特征值為
24、 設A是正定Hermite矩陣，且A還是酉矩陣，則。
提示：
25、 設A、B均為正規(guī)矩陣。且，則與均為正規(guī)矩陣
6、。
提示：用Ｐ１５０定理，可以同時酉對角化。
26、 設，試證：是酉矩陣。
提示：
27、 設A為n階正規(guī)矩陣，為A的特征值，試證：的特征值為。
提示：，，所以的特征值為
28、 設，試證：（1）和都是半正定的Hermite矩陣；（2）和的非零特征值相同。
提示：（1）
（2），特征值的重數也相同，參見P191
29、 設A是正規(guī)矩陣，試證：（1）若（為自然數），則；（2）若，則；（3）若，則。
30、 設，求證以下三條件等價：
?。?）為正規(guī)矩陣
?。?）
?。?）
解：（1）（2）由。
（2）（3）,由
（2）（1）,由
31、設，則A可以唯一的寫為，其中為Hermite矩陣。且A可以唯一的寫為，其中B是Hermite矩陣，C是反Hermite矩陣。
解：設，其中為Hermite矩陣，則。。唯一性（略）
矩陣分析第3章習題答案
