分式方程、無(wú)理方程及應(yīng)用題解析訓(xùn)練

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1、 分式方程、無(wú)理方程及應(yīng)用題解析訓(xùn)練 【例題精選】 例1：解方程1、 2、 分析：第一個(gè)方程是分式方程，要先化為整式方程去解，因此可以用去分母的一般解法去解，特別注意，方程兩邊各項(xiàng)都要乘以公分母．第二個(gè)方程是個(gè)無(wú)理方程，也要變?yōu)橛欣矸匠倘ソ?，可以將含根?hào)的式子留在一邊，其它移到另一邊，用兩邊平方的方法去掉根號(hào)． 解：1、 兩邊同乘以(x+ 1)(x－1) 解得： 解：2、 變形為 兩邊平方 解得 經(jīng)檢驗(yàn)：x = 1是增根，原方程解為x = 0． 說(shuō)明：分式方程與無(wú)理方程的解法中，驗(yàn)根是必不可少的步驟之一，驗(yàn)根不是寫一下的形

2、式，而要實(shí)實(shí)在在的帶入去檢驗(yàn)，如方程（2）中，當(dāng)x = 1時(shí)，右邊為－2，而左邊是算術(shù)根，應(yīng)大于等于零，因此是增根，檢驗(yàn)分式方程時(shí)，只有分母不為零就可以了． 例2：用換元法解方程： 分析：若用兩邊平方去根號(hào)有兩個(gè)根號(hào)很煩，題目又指定了用換元法，因此要考慮如何換元，將根式內(nèi)化簡(jiǎn)，．而另一根號(hào)為，是互為倒數(shù)關(guān)系，因此可以找出如何換元的方法了． 解： 原方程變形為 設(shè) 原方程變形為 經(jīng)檢驗(yàn)x = 3是原方程的根． 說(shuō)明：特別注意求出y值后沒(méi)有求完，而要再求x值． 例3：用換元法解方程： 分析：用換元法解無(wú)理方程時(shí)，一般設(shè)根號(hào)內(nèi)整體為一個(gè)新的未知數(shù)，這樣可變?yōu)橛?/p>

3、理方程，再去解． 解：原方程中設(shè) 　　原方程變形為 經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解． 例4：甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)勻速相向而行，在距A地7千米的地方相遇，相遇后各自以原來(lái)的速度按原方向繼續(xù)前進(jìn)，甲到B地，乙到A地后，立即返回，兩人又在距B地4千米的地方相遇，求A、B兩地間距離． 分析：這個(gè)題目中已知數(shù)據(jù)比較少，可以用圖示法先表示出數(shù)量間關(guān)系，由兩次相遇可得出它們每次同時(shí)出發(fā)到相遇，所用時(shí)間相同，因此可以用時(shí)間相同列等量關(guān)系，而題中又沒(méi)表示出速度，可以設(shè)速度為一個(gè)中間變量，列方程就簡(jiǎn)單多了，因此引進(jìn)輔助未知數(shù)也是常用的方法之一，它可以使數(shù)量間關(guān)系變得更為簡(jiǎn)明． 解

4、：設(shè)A、B兩地距離為x千米，甲速為a千米/小時(shí)，乙速為b千米/小時(shí)． 6 由題意 整理為 經(jīng)檢驗(yàn)x = 0不合題意舍去，x = 17是原方程的解． 答：A、B兩地間距離為17米． 例5：一容器裝滿純藥液20升，第一次倒出若干升后用水加滿，第二次又倒出同樣多液體，又用水加滿，此時(shí)，桶內(nèi)藥液濃度為25%，求每次倒出多少藥液？ 分析：可設(shè)每次倒出藥液為x升，將兩次的倒出藥液剩藥及濃度進(jìn)行分析，如第一次倒出藥x升，剩藥20－x，濃度為，第二次倒出藥，剩藥，此時(shí)濃度為，這樣就找到了等量關(guān)系． 解：由題意 　　　　　　 經(jīng)檢驗(yàn)x1 = 30不合題意舍去，

5、∴ x = 10是原方程的解． 答：每次倒出藥液為10升． 說(shuō)明：分析兩次倒藥液情況，可以列出表格來(lái)，將所列各項(xiàng)填入，這樣使等量關(guān)系更加清楚了． 例6：小明將勤工儉學(xué)掙得的100元錢按一年定期存入少兒銀行，到期后取出50元用來(lái)購(gòu)買學(xué)習(xí)用品，剩下的50元和應(yīng)得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不變，這樣到期后可以得到本金加利息共6元，求這種存款的年利率． 分析：近些年來(lái)，由于商品經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，不少聯(lián)系實(shí)際的應(yīng)用題，其中存款利率就是其中的一種，利率與本金利息之間存在一定的固定關(guān)系，本金利率 = 利息，要按照題意，找到相應(yīng)的等量關(guān)系． 解：設(shè)這種存款的年利率為x， 由

6、題意 　　　　　　　　 答：這種存款的年利率為10%． 說(shuō)明：聯(lián)系生產(chǎn)實(shí)際的問(wèn)題還有很多類型，比如出售商品，若按九折出售，即按原價(jià)的90%出售，只有將這些名詞的含義弄清楚了，才會(huì)正確解決這類問(wèn)題． 例7：甲、乙兩人分別從相距20千米的A、B兩地以相同的速度同時(shí)相向而行，相遇后，二人繼續(xù)前進(jìn)，乙的速度不變，甲每小時(shí)比原來(lái)我走1千米，結(jié)果甲到達(dá)B地后乙還需30分鐘才能到達(dá)A地，求乙每小時(shí)走多少千米． 分析：這是北京市1996年考試題，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力問(wèn)題，甲、乙兩人從相距20千米的A、B兩地以相同的速度同時(shí)相向而行到相遇，隱含了剛好在A、B中點(diǎn)相遇的條件．即在

7、10千米地方相遇，題中甲到B地后乙還需30分鐘才能到A就是等量關(guān)系，這樣就可以列出方程了． 解：設(shè)乙每小時(shí)走x千米，則甲每小時(shí)走(x + 1)千米． 由題意 　　　　　　　　 解得： 經(jīng)檢驗(yàn)都是原來(lái)分式方程的解，但x =－5不合題意舍去． ∴ x = 4是原方程的解． 答：乙每小時(shí)走4千米． 【綜合練習(xí)】 一、選擇題： 1．下列方程中有解的是（ ）． A． B． C． D． 2．的解的情況為（ ）． A．無(wú)解 　B．x = －3或x = 2 　　　C．x = 3 D．x = －2 3．用換元法解方程，若設(shè)，則原方程

8、可化為（ ）． A． B． C． D． 4．方程根的個(gè)數(shù)是（ ）． A．0 B．1 C．2 D．4 5．無(wú)理方程的解為（ ）． A．無(wú)實(shí)根 　B．x1 = －1, x2 = 3　　 C．+3　　 D．－1 二、解答題： 1．解分式方程． 2．求當(dāng)產(chǎn)生增根時(shí)，m的值． 3．解方程． 4．用換元法解分式方程． 5．解方程． 6．解方程． 7．用換元法解方程． 8．要完成一件工程，甲獨(dú)作比甲、乙、丙三人合干多用5天，乙獨(dú)作比三個(gè)合干多用15到，丙獨(dú)作所需時(shí)間是三人合干所需時(shí)間的4倍，求三人單干各需多少時(shí)間完成．

9、 9．甲、乙兩人分別從相距36千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向是行，甲行至1千米時(shí)，發(fā)現(xiàn)有東西遺忘在A地，立即返回，取物后又立即從A向B前進(jìn)，結(jié)果兩人恰在AB中點(diǎn)處相遇，已知甲比乙每小時(shí)多走0.5千米，求兩人速度各多少？ 10．甲步行上午6時(shí)從A出發(fā)于下午5時(shí)到達(dá)B地，乙騎自行車上午10時(shí)從A地出發(fā)，于下午3時(shí)到達(dá)B地，問(wèn)乙在什么時(shí)間追上甲的？ 11．某工程隊(duì)按計(jì)劃挖土方200立方米，如果每天超額完成5立方米，則工程提前2天完成，求原計(jì)劃的天數(shù)及每天超額的百分?jǐn)?shù)． 【答案及提示】 一、選擇題： 1．C 2．D 3．C 4．C 5．C 二、解答題 1．x = 2 提示

10、，用去分母的方法解分式方程． 2．m = 8 分式方程產(chǎn)生增根，原因在于方程兩邊乘了數(shù)值為0的代數(shù)式，去分母后 ，將x = 4代入后，得m = 8，因此當(dāng)方程產(chǎn)生增根時(shí)，m = 8． 3．解：原方程變形為 兩邊同乘 x1 = 1, x2 = 2 經(jīng)檢驗(yàn)x = 2是增根，x = 1是原方程的根． 4．提示：設(shè) 5．提示：可先將根號(hào)中的一個(gè)移到另一邊，兩邊平方后再平方一次，即可化為有理方程， 解得是增根，舍去，所以x = 5 是原方程的根． 6．提示：將分母的因式進(jìn)行分解，找到最簡(jiǎn)公分母后，再用去分母的方法

11、去解，解得x = 2是增根，x = 3是原方程的根． 7．提示：設(shè)，解得x = 6是原方程的解．中不右償4747 8．設(shè)三人合干x天完成，則甲獨(dú)作(x + 5)天，乙獨(dú)作(x + 15)天，丙獨(dú)作4x天完成． 由題意 解得x = 5，∴ 甲獨(dú)作10天，乙獨(dú)作20天，丙獨(dú)作20天． 9．甲速5千米/小時(shí)，乙速4.5千米/小時(shí)． 10．提示：甲從上午6點(diǎn)到下午5時(shí)，走了11小時(shí)，乙從上午10點(diǎn)到下午3點(diǎn)，走了5 小時(shí)，設(shè)乙x小時(shí)追上甲，甲走了(x + 4)小時(shí)，設(shè)距離為a，則，解 得小時(shí)追上，即，即乙在下午1點(diǎn)20分追上． 11．提示：設(shè)原計(jì)劃x天，每天完成，由題意，，解得x = 10，每天超額的百分?jǐn)?shù)為25%．