2021高考理科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課標(biāo)通用版作業(yè)：第10章 計(jì)數(shù)原理 課時(shí)作業(yè)53

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1、 課時(shí)作業(yè)53　排列與組合 一、選擇題 　　　　　　　　　　　　　 1．(2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)模塊綜合檢測)方程C＝C的解集為 (　　) A．{4} B．{14} C．{4，6} D．{14，2} 解析：∵C＝C， ∴x＝2x－4或x＋2x－4＝14， ∴x＝4或x＝6， 經(jīng)檢驗(yàn)知x＝4或x＝6符合題意，故方程C＝C的解集為{4，6}．故選C. 答案：C 2．(2019年河北省武邑中學(xué)高三下學(xué)期期中考試)北京某大學(xué)為第十八屆四中全會(huì)招募了30名志愿者(編號(hào)分別是1，2，…，30號(hào))，現(xiàn)從中任意選取6人按編號(hào)大小分成兩組分配到江西廳、廣電廳工作，其中三個(gè)編

2、號(hào)較小的人在一組，三個(gè)編號(hào)較大的在另一組，那么確保6號(hào)、15號(hào)與24號(hào)同時(shí)入選并被分配到同一廳的選取種數(shù)是 (　　) A．25 B．32 C．60 D．100 解析：6號(hào)、15號(hào)與24號(hào)放在一組，則其余三個(gè)編號(hào)要么都比6小，要么都比24大，比6 小時(shí)，有C＝10種選法，都比24大時(shí)，有C＝20種選法，合計(jì)30種選法，6號(hào)、15號(hào)與24在選廳時(shí)有兩種選法，所以選取的種數(shù)共有(10＋20)2＝60種，故正確選項(xiàng)為C. 答案：C 3．(2019學(xué)年福建省廈門外國語學(xué)校高二下學(xué)期期中考試)將編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球放入A，B，C三個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且1號(hào)球和2號(hào)球不

3、能放在同一個(gè)盒子，則不同的放法種數(shù)為 (　　) A．30 B．24 C．48 D．72 解析：由題意知4個(gè)小球有2個(gè)放在一個(gè)盒子里的種數(shù)是C，把這兩個(gè)作為一個(gè)元素同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置排列，有A種結(jié)果，而①②號(hào)小球放在同一個(gè)盒子里有A＝6種結(jié)果，所以編號(hào)為①②的小球不放到同一個(gè)盒子里的種數(shù)是CA－6＝30，故選A. 答案：A 4．(2019學(xué)年福建省廈門第一中學(xué)高二下學(xué)期期中考試)將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)，則不同的放球方法有 (　　) A．10種 B．20種 C．36種 D．52種 解析：由

4、題意得，把4個(gè)顏色不相同的球分為兩類：一類是：一組1個(gè)，一組3個(gè)，共有CC＝4種，按要求放置在兩個(gè)盒子中，共有4種不同的放法； 另一類：兩組各兩個(gè)小球，共有＝3種不同的放法，按要求放置在兩個(gè)盒子中，共有3A＝6種，所以共有4＋6＝10種不同的放法，故選A. 答案：A 5．我市正在建設(shè)最具幸福感城市，原計(jì)劃沿渭河修建7個(gè)河灘主題公園，為提升城市品位、升級(jí)公園功能，打算減少2個(gè)河灘主題公園，兩端河灘主題公園不在調(diào)整計(jì)劃之列，相鄰的兩個(gè)河灘主題公園不能同時(shí)被調(diào)整，則調(diào)整方案的種數(shù)為 (　　) A．12 B．8 C．6 D．4 解析：從中間5個(gè)選2個(gè)共有10種方法，去掉相鄰的4種方法，共

5、有6種方法，選C. 答案：C 6．將甲，乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)，清華大學(xué)，浙江大學(xué)三所大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送的方法數(shù)為 (　　) A．150種 B．180種 C．240種 D．540種 解析：先將5個(gè)人分成三組， (3，1，1)或(1，2，2)，分組方法有C＋＝25種，再將三組全排列有A＝6種，故總的方法數(shù)有256＝150種． 答案：A 7．將除顏色外完全相同的一個(gè)白球、一個(gè)黃球、兩個(gè)紅球分給三個(gè)小朋友，且每個(gè)小朋友至少分得一個(gè)球的分法種數(shù)為(　　) A．15 B．21 C．18 D．24 解析：將四個(gè)小球分成(2，1，1)組，其中2個(gè)球

6、分給一個(gè)小朋友的分法有(紅紅)，(紅白)，(紅黃)，(白黃)四種．若(紅紅)，(紅白)，(紅黃)分給其中一個(gè)小朋友，則剩下的分給其余兩個(gè)小朋友，共有33A＝18種；若(黃白)分給其中的一個(gè)小朋友，則剩下的分給其余兩個(gè)小朋友，只有一種分法，共有13＝3種．由分類計(jì)數(shù)原理可得所有分法種數(shù)為18＋3＝21，應(yīng)選B. 答案：B 8．旅游體驗(yàn)師小李受某旅游網(wǎng)站的邀約，決定對(duì)甲、乙、丙、丁這四個(gè)景區(qū)進(jìn)行體驗(yàn)式旅游，若甲景區(qū)不能最先旅游，乙景區(qū)和丁景區(qū)不能最后旅游，則小李旅游的方法數(shù)為 (　　) A．24 B．18 C．16 D．10 解析：第一類，甲在最后一個(gè)體驗(yàn)，則有A種方法；第二類，甲不

7、在最后一個(gè)體驗(yàn)，則有AA種方法，所以小李旅游的方法共有A＋AA＝10種．故選D. 答案：D 9．(2019年湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考)把7個(gè)字符a，a，a，b，b，α，β排成一排，要求三個(gè)“a”兩兩不相鄰，且兩個(gè)“b”也不相鄰，則這樣的排法共有 (　　) A．144種 B．96種 C．30種 D．12種 解析：現(xiàn)排列b，b，α，β，若α，β不相鄰，有CA＝6種，若α，β相鄰，有CA＝6種，共有6＋6＝12種，從所形成的5個(gè)空位中選3個(gè)插入a，a，a，共有12C＝120種，若b，b相鄰時(shí)，從所形成的4個(gè)空中選3個(gè)插入a，a，a，共有AC＝24種，所以三個(gè)“a”兩兩不相鄰，且兩個(gè)

8、“b”也不相鄰，這樣的排法共有120－24＝96種，故選B. 答案：B 10．(2019年安徽省宿州市高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測)將3名教師和3名學(xué)生共6人平均分成3個(gè)小組，分別安排到三個(gè)社區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，則每個(gè)小組恰好有1名教師和1名學(xué)生的概率為 (　　) A. B. C. D. 解析：由題意得將3名教師和3名學(xué)生共6人平均分成3組，安排到三個(gè)社區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的方法共有CC＝90種，其中每個(gè)小組恰好有1名教師和1名學(xué)生的安排方法有(CC)(CC)＝36種，故所求的概率為P＝＝.選B. 答案：B 11．(2019年寧夏吳忠市高三下學(xué)期聯(lián)考)一生產(chǎn)過程有4道工序，每道

9、工序需要安排一人照看．現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有 (　　) A．24種 B．36種 C．48種 D．72種 解析：此題的難度主要是來自分類，按“問題元素”優(yōu)先的原則，對(duì)甲進(jìn)行分類：甲照看第一道工序(甲1丙4)、甲照看第四道工序(甲4乙1)、甲“休息”(乙1丙4)三種．CCA＋CCA＋CCA＝36. 答案：B 12．(2019學(xué)年江西省撫州市臨川區(qū)第一中學(xué)期中)幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，它們均不慎失足下落．已知 (1)甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，

10、C； (2)乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)； (3)丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C； (4)丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H； (5)戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E. 則這9根樹枝從高到低不同的次序有(　　) A．23種 B．24種 C．32種 D．33種 解析：不妨設(shè)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，I代表樹枝的高度，五根樹枝從上至下共九個(gè)位置，根據(jù)甲依次撞擊到樹枝A，B，C；乙依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；丙依次撞擊到樹枝G，A，C；丁依次撞擊到樹枝B，D，H；戊依次撞擊到樹枝I，C，E.可得G>A＞B，且在前四個(gè)位置，C>E>F，D>E

11、>F，且E，F(xiàn)一定排在后四個(gè)位置，(1)若I排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置，前四個(gè)位置有4種排法，若第五個(gè)位置排C，則第六個(gè)位置一定排D，后三個(gè)位置共有3種排法，若第五個(gè)位置排D，則后四個(gè)位置共有4種排法，所以I排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置時(shí)，共有4(3＋4)＝28種排法；(2)若I不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置，則G，A，B，D按順序排在前四個(gè)位置，由于I>C>E＞F，所以后五個(gè)位置的排法就是H的不同排法，共5種排法，即若不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置共有5種排法，由分類計(jì)數(shù)原理可得，這9根樹枝從高到低不同的次序有28＋5＝33種，故選D. 答案：D 二、填空題 13．(2019年福建省廈門外國

12、語學(xué)校高二下學(xué)期期中考試)現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加廈門市華僑博物院志愿者服務(wù)活動(dòng)，每人從事禮儀、導(dǎo)游、翻譯、講解四項(xiàng)工作之一，每項(xiàng)工作至少有一人參加. 甲、乙不會(huì)導(dǎo)游但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是________(用數(shù)字作答)． 解析：根據(jù)題意，分情況討論：①甲乙一起參加除了導(dǎo)游的三項(xiàng)工作之一，有CA＝18種； ②甲乙不同時(shí)參加一項(xiàng)工作，進(jìn)而又分為2種小情況： a．丙、丁、戌三人中有兩人承擔(dān)同一份工作，有ACA＝3232＝36種； b．甲或乙與丙、丁、戌三人中的一人承擔(dān)同一份工作，有ACCA＝72種． 由分類計(jì)數(shù)原理，可得共有18

13、＋36＋72＝126種． 答案：126 14．(2019年福建省三明市三地三校聯(lián)考)將5名報(bào)名參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的同學(xué)分別安排到跳繩、接力，投籃三項(xiàng)比賽中(假設(shè)這些比賽都不設(shè)人數(shù)上限)，每人只參加一項(xiàng)，則共有x種不同的方案；若每項(xiàng)比賽至少要安排一人時(shí)，則共有y種不同的方案，其中x＋y的值為________． 解析：5名同學(xué)報(bào)名參加跳繩、接力，投籃三項(xiàng)比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，每人有3種報(bào)名方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，x＝35＝243種， 當(dāng)每項(xiàng)比賽至少要安排一人時(shí)，先分組有＋＝25種，再排列有A＝6種，所以y＝256＝150種，所以x＋y＝ 393. 答案：393 15．(2019年福建省廈門第一中

14、學(xué)期中考試)《中國詩詞大會(huì)》亮點(diǎn)頗多，十場比賽每場都有一首特別設(shè)計(jì)的開場詩詞，在聲光舞美的配合下，百人團(tuán)齊聲朗誦，別有韻味．若《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩詞排在后六場，且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面(可以不相鄰)，《山居秋暝》 與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后，則后六場的排法有________． 解析：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：將《將進(jìn)酒》《望岳》和另兩首詩詞的四首詩詞全排列，共有A＝24種順序，由于《將進(jìn)酒》排在《望岳》前面，則這四首詩詞的排法有＝12種，這四首詩詞排好后，不含最后有四個(gè)空位，在四個(gè)空位中任選兩個(gè)，安排《山居秋暝》與《送杜少府

15、之任蜀州》，有A＝12種安排方法，則后六場的排法有1212＝144種． 答案：144 16．(2019年北京東城二中高二下學(xué)期期末)學(xué)校安排6名同學(xué)參加兩項(xiàng)不同的志愿活動(dòng)，每位同學(xué)必須參加一項(xiàng)活動(dòng)且不能同時(shí)參加兩項(xiàng)，每項(xiàng)活動(dòng)最多安排4人，則不同的安排方法有________種．(用數(shù)字作答) 解析：由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，∵每項(xiàng)活動(dòng)最多安排4人，∴可以有三種安排方法，即(4，2)，(3，3)，(2，4)，當(dāng)安排(4，2)時(shí)，共有C＝15種結(jié)果，當(dāng)安排(3，3)時(shí)，共有C＝20種結(jié)果，當(dāng)安排(2，4)時(shí)，共有C＝15種結(jié)果，∴根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有15＋20＋15＝50種結(jié)果，故答案

16、為50. 答案：50 三、解答題 17．(2019學(xué)年江蘇省南通市啟東中學(xué)中考試)在班級(jí)活動(dòng)中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目．(寫出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答) (1)三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？ (2)四名男生相鄰有多少種不同的排法？ (3)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？ (4)甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？(甲乙丙三位同學(xué)身高互不相等) 解：(1)AA＝1 440；(2)AA＝576； (3)A＋AAA＝3 720；(4)AA＝840. 18．(2019年陜西省咸陽市高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測)求滿足下列條件

17、的方法種數(shù)： (1)將4個(gè)不同的小球，放進(jìn)4個(gè)不同的盒子，且沒有空盒子，共有多少種放法？ (2)將4個(gè)不同的小球，放進(jìn)3個(gè)不同的盒子，且沒有空盒子，共有多少種放法？ (最后結(jié)果用數(shù)字作答) 解：(1)沒有空盒子的放法有：A＝24種． (2)放進(jìn)3個(gè)盒子的放法有：CA＝36種． 19．(2019年黑龍江省伊春市第二中學(xué)期中考試)(1)由數(shù)字1、2、3、4、5、6、7組成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，求三個(gè)偶數(shù)必相鄰的七位數(shù)的個(gè)數(shù)及三個(gè)偶數(shù)互不相鄰的七位數(shù)的個(gè)數(shù)． (2)六本不同的書，分為三組，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？ ①每組2本； ②一組1本，一組2本，一組3本． 解：

18、(1)將三個(gè)偶數(shù)捆綁和4個(gè)奇數(shù)排列有A種；再將有三個(gè)偶數(shù)松綁有A種，所以共有AA＝720個(gè)；4個(gè)奇數(shù)全排列有A種，在5個(gè)空中插入3個(gè)偶數(shù)，每空插入一個(gè)有A種，所以共有AA＝1 440個(gè)． (2)①分組與順序無關(guān)，是組合問題．分組數(shù)是CCC＝90(種)，這90種分組實(shí)際上重復(fù)了6次．我們不妨把六本不同的書寫上1、2、3、4、5、6六個(gè)號(hào)碼，考察以下兩種分法：(1，2)，(3，4)，(5，6)與(3，4)，(1，2)，(5，6)，由于書是均勻分組的，三組的本數(shù)一樣，又與順序無關(guān)，所以這兩種分法是同一種分法．以上的分組方法實(shí)際上加入了組的順序，因此還應(yīng)取消分組的順序，即除以組數(shù)的全排列數(shù)A，所以分法是＝15(種)．②先分組，方法是CCC，那么還要不要除以A？我們發(fā)現(xiàn)，由于每組的書的本數(shù)是不一樣的，因此不會(huì)出現(xiàn)相同的分法，即共有CCC＝60(種)分法．