2021高考理科數學一輪總復習課標通用版作業(yè)：第9章 平面解析幾何 課時作業(yè)49

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1、 課時作業(yè)49　拋物線 一、選擇題 　　　　　　　　　　　　　 1．(2019年吉林省實驗中學高二上學期期中)拋物線x2＝－y的準線方程是(　　) A．y＝ B．y＝－ C．x＝ D．x＝－ 解析：由拋物線方程可知其準線方程為y＝. 答案：A 2．(2019年福建省八縣一中高二上學期期末)拋物線C：y＝4x2的焦點坐標為(　　) A．(0，1) B．(1，0) C. D. 解析：由所給拋物線的方程可以得出其標準方程為： x2＝y(tǒng)，所以拋物線的焦點坐標是. 答案：C 3．(2019年山東省德州市某中學高二1月月考(理))頂點為原點，焦點為F(0，

2、－1)的拋物線方程是(　　) A．y2＝－2x B. y2＝－4x C. x2＝－2y D. x2＝－4y 答案：D 4．(2019年山西省太原市高三模擬)拋物線y2＝8x的焦點為F，設A，B是拋物線上的兩個動點，|AF|＋|BF|＝|AB|，則∠AFB的最大值為(　　) A. B. C. D. 解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵拋物線y2＝8x的焦點為F ∴F(2，0)， ∵|AF|＋|BF|＝|AB| ∴由余弦定理得cos∠AFB＝ ＝ ＝－1＝ 又∵|AF|＋|BF|＝|AB|≥2 ∴|AF||BF|≤|AB|2， 當且僅當|AF|＝

3、|BF|取等號 ∴cos∠AFB≥－1＝－ ∴∠AFB的最大值為.故選D. 答案：D 5．(2019年四川省南充市高三考試)拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，連接PF并延長交拋物線C于點Q，若|PF|＝|PQ|，則|QF|＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：設Q到l的距離為d，則由拋物線的定義可得， |QF|＝d， 圖1 ∵|PF|＝|PQ|，∴＝4 ∴直線PF的斜率為－＝－2， ∵F(2，0)，∴直線PF的方程為y＝－2(x－2)， 與y2＝8x聯(lián)立可得x＝3，(由于Q的橫坐標大于2) ∴|QF|＝d＝3＋2＝5，故選：

4、C. 答案：C 6．(2019年陜西省漢中市漢臺中學西鄉(xiāng)中學高二上學期期末)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，A、B是拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB＝. 設線段AB的中點M在l上的投影為N，則的最大值是(　　) A. B．1 C. D. 解析：設|AF|＝a，|BF|＝b，連接AF、BF， 由拋物線定義，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|， 在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b. 由余弦定理得， |AB|2＝a2＋b2－2abcos60＝a2＋b2－ab， 配方得，|AB|2＝(a＋b)2－3ab， 又∵ab≤ ∴(a＋

5、b)2－3ab≥(a＋b)2－(a＋b)2＝(a＋b)2 得到|AB|≥(a＋b)． ∴≤1，即的最大值為1.故選B. 答案：B 7．(2019年廣東省高三第一次模擬考試)已知拋物線C：y2＝x，M為x軸負半軸上的動點， MA，MB為拋物線的切線， A，B分別為切點，則的最小值為 (　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：設切線MA的方程為x＝ty＋m，代入拋物線方程得y2－ty－m＝0，由直線與拋物線相切得Δ＝t2＋4m＝0, y>0時y′＝，根據導數的幾何意義可得＝，xA＝，則A，同理可得B， 將點A的坐標代入x＝ty＋m，得m＝－， ∴M，故＝－＝－，當t＝時

6、， 的最小值為－，故選A. 答案：A 8．(2019年河南省豫南九校下學期第二次聯(lián)考)已知點P是拋物線y2＝4x上的動點，點P在y軸上的射影是M，點A(2，3)，則|PA|＋|PM|的最小值是(　　) A.＋1 B.－1 C.＋2 D.－2 解析：過點M作拋物線準線的垂線，垂直為N， 則|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1， 當A，P，F三點共線時，|PA|＋|PF|最?。絴AF| ＝＝， 所以|PA|＋|PM|的最小值是－1.故選B. 答案：B 9．(2019年廣西南寧市高二下學期期中)拋物線y2＝2px與直線ax＋y－4＝0交于A，B

7、兩點，其中A點的坐標是(1，2)．該拋物線的焦點為F，則|FA|＋|FB|＝(　　) A．7 B．3 C．6 D．5 解析：將點A(1，2)的坐標代入拋物線y2＝2px與直線ax＋y－4＝0，得a＝p＝2， 所以得拋物線y2＝4x與直線2x＋y－4＝0， 由得或 所以得B(4，－4)， 又拋物線的準線是x＝－1， 再結合拋物線的定義得|FA|＋|FB|＝[1－(－1)]＋[4－(－1)]＝7，故選A. 答案：A 10．(2019年廣西河池市高級中學高二下學期第二次月考)已知拋物線x2＝2py和－y2＝1的公切線PQ (P是PQ與拋物線的切點，未必是PQ與雙曲線的切點)，

8、與拋物線的準線交于Q，F為拋物線的焦點，若|PQ|＝|PF|，則拋物線的方程是(　　) 圖2 A．x2＝4y B．x2＝2y C．x2＝6y D．x2＝2y 解析：如圖3過P作PE⊥拋物線的準線于E，根據拋物線的定義可知，PE＝PF 圖3 ∵|PQ|＝|PF|，在Rt△PQE中，sin∠PQE＝， ∴tan∠PQE＝， 即直線PQ的斜率為，故設PQ的方程為： y＝x＋m(m＜0) 由消去y得3x2＋4mx＋2m2＋2＝0. 則Δ1＝8m2－24＝0，解得m＝－， 即PQ：y＝x－ 由得x2－2px＋2p＝0， Δ2＝8p2－8p＝0，得p＝. 則拋物線

9、的方程是x2＝2y.故選：B. 答案：B 11．(2019年東北三省三校(哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學)高三第一次模擬考試)已知拋物線C：y2＝2x，直線l：y＝－x＋b與拋物線C交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓與x軸相切，則b的值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：由題意，可設交點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立直線與拋物線方程消去y得x2－(b＋2)x＋b2＝0，則x1＋x2＝4(b＋2)，x1x2＝4b2，y1＋y2＝－4，由|AB|＝，即＝2，解得b＝－.故選C. 答案：C 圖4 12．(2019年四川省德陽市高

10、三二診考試)如圖4，過拋物線y2＝4x的焦點F作傾斜角為α的直線l，l與拋物線及其準線從上到下依次交于A、B、C點，令＝λ1，＝λ2，則當α＝時，λ1＋λ2的值為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2) ，則由過拋物線y2＝4x的焦點的直線的性質可得|AB|＝x1＋x2＋2＝＝，∴x1＋x2＝. 又x1x2＝＝1 ，可得x1＝3，x2＝， 圖5 分別過點A，B作準線的垂線，分別交準線于點E，D，則 ＝λ1＝＝3， 同理可得＝λ2＝2，λ1＋λ2＝5故選C. 答案：C 二、填空題 13．(2019年陜西省漢中市漢臺中學西

11、鄉(xiāng)中學高二上學期期末)若拋物線y2＝2px(p>0)上橫坐標為6的點到焦點的距離等于8，則焦點到準線的距離是________． 解析：由題得6－＝8， ∴p＝4，所以焦點到準線的距離是p＝4.故填4. 答案：4 14．(2019年四川省外國語學校高二下學期入學考試)已知點A是拋物線y＝x2的對稱軸與準線的交點，點F為該拋物線的焦點，點P在拋物線上且滿足|PF|＝m|PA|，則m的最小值為________． 解析： 解法1：F(0，1)，A(0，－1)，設P(x，y)， 由|PF|＝m|PA|得 m＝，＝， ＝，≥＝＝， ∴m的最小值為. 解法2：設直線PA的傾斜角為α，則s

12、inα＝m，當m取得最小值時， sinα最小，此時直線PA與拋物線相切．設直線的方程為y＝kx－1，代入拋物線方程，化簡得x2－4kx＋4＝0，Δ＝16k2－16＝0，k＝1，α＝， 故m的最小值為. 答案： 15．(2019年甘肅省高三第一次高考診斷性考試)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過準線上一點N作NF的垂線交y軸于點M，若拋物線C上存在點E，滿足2＝＋，則△MNF的面積為________． 解析：由2＝＋可得E為MF的中點，準線方程x＝－1，焦點F(1，0)， 不妨設點N在第三象限，因為∠MNF為直角， 所以|NE|＝|MF|＝|EF|， 由拋物線的定義得NE∥x軸，則可

13、求得E，M(0，－2)，N(－1，－)， 即|NF|＝，|MN|＝，所以S△MNF＝. 故答案為：. 答案： 16．(2019年河北省唐山一中高二下學期期中考試)如圖6，拋物線C1：y2＝2x和圓C2：＋y2＝，直線l經過C1的焦點，依次交C1，C2于A，B，C，D四點，則的值為________． 圖6 解析：拋物線C1：y2＝2x的焦點為F， ∵直線l經過C1的焦點F， 設直線l的方程為y＝k， 聯(lián)立得k2x2－(k2＋2)x＋＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則|AB|＝|AF|－|BF＝x1＋－＝x1， 同理|CD|＝x2， ∴＝||||cos

14、〈，〉＝x1x2＝. 答案： 三、解答題 17．(2019年廣西桂林市高二上學期期末考試)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l：y＝k(x＋2)＋1. (1)若拋物線C和直線l沒有公共點，求k的取值范圍； (2)若k<0，且拋物線C和直線l只有一個公共點M時，求|MF|的值． 解：(1)聯(lián)立方程 整理得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0， 由拋物線C和直線l沒有公共點，則Δ<0， 即－16(2k2＋k－1)<0，解得k<－1或k>. (2)當拋物線C和直線l只有一個公共點時，記公共點坐標為M(x0，y0)， 由Δ＝0，即－16(2k2＋k－1)＝0，解得k＝－1或k＝

15、，因為k<0，故k＝－1，將y＝－x－1代入y2＝4x得x2－2x＋1＝0，解得x0＝1， 由拋物線的定義知：|MF|＝＋x0＝1＋1＝2. 18．(2019年貴州省貴陽市普通高中高三摸底考試)過拋物線C：y2＝4x的焦點F且斜率為k的直線l交拋物線C于兩點A，B，且|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)若A關于x軸的對稱點為D，求證：直線BD恒過定點并求出該點的坐標． 解：(1)F的坐標為(1，0)，設l的方程為y＝k(x－1)代入拋物線y2＝4x得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 由題意知k≠0，且[－(2k2＋4)]2－4k2k2 ＝16(k2＋1)>0，

16、設A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝1， 由拋物線的定義知|AB|＝x1＋x2＋2＝8， ∴＝6，∴k2＝1，即k＝1， ∴直線l的方程為y＝(x－1)． (2)直線BD的斜率為kBD＝＝ ＝， ∴直線BD的方程為y＋y1＝(x－x1)， 即(y2－y1)y＋y2y1－y＝4x－4x1， ∵y2＝4x，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16， 即y1y2＝－4(因為y1，y2異號)， ∴BD的方程為4(x＋1)＋(y1－y2)y＝0，恒過(－1，0)． 19．(2019年陜西省西安市第一中學高二上學期期中)已知拋物線C：y2＝2px

17、(p>0)，直線l交此拋物線于不同的兩個點A(x1，y1)、B(x2，y2)． (1)當直線l過點M(－p，0)時，證明y1y2為定值． (2)當y1y2＝－p時，直線l是否過定點？若過定點，求出定點坐標；反之，請說明理由． (3)記N(p，0)，如果直線l過點M(－p，0)，設線段AB的中點為P，線段PN的中點為Q.問是否存在一條直線和一個定點，使得點Q到它們的距離相等？若存在，求出這條直線和這個定點；若不存在，請說明理由． 解：(1)證明：l過點M(－p，0)與拋物線有兩個交點，可知其斜率一定存在， 設l：y＝k(x＋p)，其中k≠0(若k＝0時不合題意)， 由得ky2－2py

18、＋2p2k＝0， ∴y1y2＝2p2. (2)①當直線l的斜率存在時，設l：y＝kx＋b，其中k≠0(若k＝0時不合題意)． 由得ky2－2py＋2pb＝0， ∴y1y2＝＝－p，從而b＝－. 假設直線l過定點(x0，y0)，則y0＝kx0＋b， 從而y0＝kx0－，得k－y0＝0， 即即過定點. ②當直線l的斜率不存在，設l：x＝x0， 代入y2＝2px得y2＝2px0，y＝， ∴y1y2＝(－)＝－2px0＝－p， 解得x0＝，即l：x＝，也過. 綜上所述，當y1y2＝－p時，直線l過定點. (3)依題意直線l的斜率存在且不為零． 由(1)得，點P的縱坐標為yP＝(y1＋y2)＝， 代入l：y＝k(x＋p)得xp＝－p，即P. 設Q(x，y)，則消k得y2＝x， 由拋物線的定義知，存在直線x＝－，點，點Q到它們的距離相等．