2021高考理科數(shù)學一輪總復習課標通用版作業(yè)：第9章 平面解析幾何 課時作業(yè)48

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1、 課時作業(yè)48　雙曲線 一、選擇題　　　　　　　　　　　　 1．(2019年福建省寧德市高三階段性測試)雙曲線－y2＝1的一個焦點坐標是(　　) A．(－，0) B．(－2，0) C．(，0) D．(1，0) 答案：A 2．(2019年云南省曲靖市第一中學質量監(jiān)測)有一類雙曲線E和橢圓C：x2＋2y2＝1有相同的焦點，在其中有一雙曲線E1且過點P，則在E中任取一條雙曲線其離心率不大于E1的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：由橢圓方程，易知雙曲線E1中，c＝1，b2＝1－a2，又－＝1，解得a＝，雙曲線E1的離心率為e1＝2，由題意，雙曲線E的離心

2、率為e＝，則1<≤2，即0，b>0)與直線y＝x有交點，則其離心率的取值范圍是(　　) A．(1，2) B．(1，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：雙曲線的焦點在x軸，一條漸近線方程為y＝－x，只需這條漸近線比直線y＝－x的斜率大，即>，e＝ >2，選C. 答案：C 5．(2

3、019年遼寧省朝陽市高三模擬)設中心在原點、焦點在x 軸上的雙曲線的焦距為12 ，圓(x－6)2＋y2＝20 與該雙曲線的漸近線相切，點P在雙曲線上，若點P到焦點F1的距離是9，則點P到F2的距離是(　　) A．17或1 B．13或5 C．13 D．17 解析：圓(x－6)2＋y2＝20恰為雙曲線右焦點，因為雙曲線右焦點到漸近線距離為b，所以b＝r＝2，因此a＝＝4，∵|PF2|－|PF1|＝2a，∴|PF2|＝17或1，又因為|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝17.選D. 答案：D 6．(2019年陜西省黃陵中學高新部高二下學期開學考試)設點P為雙曲線－＝1(a>0，b>0

4、)上一點， F1，F(xiàn)2分別是左右焦點， I是△PF1F2的內心，若△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面積S1，S2，S3滿足2(S1－S2)＝S3，則雙曲線的離心率為(　　) A．2 B. C．4 D. 解析：如圖1，設圓I與△PF1F2的三邊F1F2、PF1、PF2分別相切于點E，F(xiàn)，G，連接IE、IF、IG， 圖1 則IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2， 它們分別是△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高， ∴S1＝|PF1||IF|＝|PF1|r， S2＝|PF2||IG|＝|PF2|r， S3＝|F1F2||IE|＝|F1F2|r， 其中r是△I

5、F1F2的內切圓的半徑． ∵2(S1－S2)＝S3， ∴|PF1|r－|PF2|r＝|F1F2|r， 兩邊約去r得：|PF1|－|PF2|＝|F1F2|， 根據(jù)雙曲線定義，得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c， ∴2a＝c?離心率為e＝＝2.故選A. 答案：A 7．(2019年四川省外國語學校高二下學期入學考試)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－的左、右焦點，P為雙曲線右支上的任意一點，若的最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　) A．(1，3] B．(1，] C．[，3] D．[3，＋∞) 解析：＝＝＋|PF2|＋4a ≥8a. 當且僅當|PF

6、2|＝2a時取得最小值，此時|PF1|＝4a. 易知|PF2|≥c－a，即2a≥c－a，解得e＝≤3. 又因為雙曲線離心率e>1. 故選A. 答案：A 8．(2019年四川省外國語學校高二下學期入學考試)已知雙曲線x2－y2＝1的左、右頂點分別為A1、A2，動直線l：y＝kx＋m與圓x2＋y2＝1相切，且與雙曲線左、右兩支的交點分別為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則x2－x1的最小值為(　　) A．2 B．2 C．4 D．3 解析：∵l與圓相切， ∴1＝， ∴m2＝1＋k2. 由得(1－k2)x2－2mkx－(m2＋1)＝0， 1－k2≠0， ∴Δ＝4m2k

7、2＋4(1－k2)(m2＋1)＝4(m2＋1－k2) ＝8>0， x1x2＝<0， ∴k2<1，∴－1|PF2|，則|PF1|－|PF2|＝2， 又|PF1|＋|PF2|＝2， 所以|PF1|＝＋，|PF2|＝－，而|F1F2|＝4

8、， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即PF1⊥PF2， 所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝1. 答案：C 10．(2019年陜西省咸陽市高三模擬考試)已知雙曲線C的方程為－＝1，則下列說法正確的是(　　) A．焦點在x軸上 B．虛軸長為4 C．漸近線方程為2x3y＝0 D．離心率為 解析：利用雙曲線的幾何性質逐一判斷得解．對于選項A，由于雙曲線的焦點在y軸上，所以選項A是錯誤的；對于選項B，虛軸長為23＝6，所以選項B是錯誤的；對于選項C，由于雙曲線的漸近線方程為y＝x，所以選項C是正確的；對于選項D，由于雙曲線的離心率為，所以選項D是錯誤的．故答案為

9、C. 答案：C 11．(2019年浙江省溫州市十五校聯(lián)合體高二下學期期中)設A、B分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右頂點，P是雙曲線上不同于A、B的一點，直線AP、BP的斜率分別為m、n，則當＋取最小值時，雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：先根據(jù)點的關系確定mn，再根據(jù)基本不等式確定最小值，最后根據(jù)最小值取法確定雙曲線的離心率． 設P(x1，y1)，則 mn＝＝＝， 因此＋ ＝＋≥2 ＝4， 當且僅當a＝2b時取等號，此時c＝＝a， ∴e＝ 選D. 答案：D 12．已知F1，F(xiàn)2是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且|

10、PF1|>|PF2|，線段PF1的垂直平分線過F2，若橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，則＋的最小值為(　　) A．6 B．3 C. D. 解析：設橢圓與雙曲線的公共焦點在x軸上，可得點P在雙曲線的右支上． 令橢圓的長半軸長為a，雙曲線的半實軸長為a′，半焦距為c， 則 ∴2a＝2a′＋4c， ∴＋＝＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝6，當且僅當c＝2a′時等號成立．選A. 答案：A 二、填空題 13．(2019年河北省阜城中學高二上學期期末)橢圓＋＝1與雙曲線－＝1有相同的焦點，則a＝________. 解析：橢圓＋＝1與雙曲線－＝1有相同的焦點， 所以：解得a＝3

11、. 故答案為：3. 答案：3 14．(2019年四川省外國語學校高二下學期入學考試)過雙曲線x2－y2＝4的右焦點F作傾斜角為105的直線，交雙曲線于P，Q兩點，則|FP||FQ|的值為________． 解析：∵F(2，0)，k＝tan105＝tan(60＋45) ＝＝－(2＋)． ∴l(xiāng)：y＝－(2＋)(x－2)． 代入x2－y2＝4得： (6＋4)x2－4(7＋4)x＋60＋32＝0. 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1＋x2＝， x1x2＝. 又|FP|＝|x1－2|， |FQ|＝|x2－2|， ∴|FP||FQ|＝(1＋k2)|x1x2－2(x1＋x

12、2)＋8| ＝(8＋4) ＝＝. 答案： 15．(2019年湖南師范大學附屬中學高三月考)已知P是雙曲線－＝1右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，O為坐標原點，點M，N滿足＝λ(λ>0)，＝μ，＝0，若||＝3.則以O為圓心，ON為半徑的圓的面積為________． 解析：由＝μ，知PN是∠MPF2的角平分線， 又＝0，故延長F2N交PM于K， 則PN是△PF2K的角平分線， 所以△PF2K是等腰三角形，|PK|＝|PF2|＝3， 因為||＝3，故||＝11，所以||＝14， 注意到N還是F2K的中點， 所以ON是△F1F2K的中位線，||＝||＝7， 所以

13、以O為圓心，ON為半徑的圓的面積為49π. 答案：49π 16．(2019年河南省豫南九校下學期高二第二次聯(lián)考)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P為雙曲線C上一點，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，則b＝________． 解析：設F1，F(xiàn)2分別為左右焦點，點P在雙曲線的右支上， 則有|PF1|－|PF2|＝2a， ∴(|PF1|－|PF2|)2 ＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2， 又△PF1F2為直角三角形， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴4c2－2|PF1||PF2|＝4a2，

14、 又△PF1F2的面積為9， ∴|PF1||PF2|＝29＝18， ∴4c2－218＝4a2， ∴b2＝c2－a2＝9，∴b＝3. 答案：3 三、解答題 17．(2019年福建省莆田市第二十四中學高二上學期第二次月考)已知A(－5，0)，B(5，0)，動點P滿足||，||，8成等差數(shù)列． (1)求點P的軌跡方程； (2)對于x軸上的點M，若滿足||||＝2，則稱點M為點P對應的“比例點”，問：對任意一個確定的點P，它總能對應幾個“比例點”？ 解：(1)由已知得||－||＝8， ∴P點的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的右支， 且a＝4，b＝3，c＝5， ∴P點的軌跡方程為

15、－＝1(x≥4) (2)設P(x0，y0)(x0≥4)，M(m，0)． ∵－＝1， ∴y＝9. 又＝(－5－x0，－y0)，＝(5－x0，－y0)， 則|||| ＝ ＝ ＝x－16 又2＝||2＝(x0－m)2＋(y0)2 ＝x－2mx0＋m2－9， 由||||＝2得m2－2mx0＋7＝0，(*) ∵Δ＝4x－28≥36>0， ∴方程(*)恒有兩個不等實根 ∴對任意一個確定的點P，它總能對應2個“比例點” 18．(2019學年四川省雅安中學高二上學期期中)F1、F2分別為等軸雙曲線C的左、右焦點，且F2到雙曲線C的一條漸近線的距離為1， (1)求雙曲線C的標準方程

16、； (2)P是雙曲線C上一點，若＝0，求△PF1F2的面積． 解：(1)設等軸雙曲線C：－＝1， F2到雙曲線C的一條漸近線的距離為b＝1＝a， 雙曲線C的標準方程為：x2－y2＝1. (2)P是雙曲線C上一點，若＝0， 即PF1⊥PF2 ||PF1|－|PF2||＝2， 且|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝8. 解得(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2| ＝4＋2|PF1||PF2|＝8，解得|PF1||PF2|＝2 S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝1. 19．(2019年江蘇省揚州樹人學校高三模擬)某市為改善市民出行，準備規(guī)劃道路建設，規(guī)劃

17、中的道路M－N－P如圖2所示，已知A，B是東西方向主干道邊兩個景點，且它們距離城市中心O的距離均為8 km，C是正北方向主干道邊上的一個景點，且距離城市中心O的距離為4 km，線段MN段上的任意一點到景點A的距離比到景點B的距離都多16 km，其中道路起點M到東西方向主干道的距離為6 km，線段NP段上的任意一點到O的距離都相等．以O為原點、線段AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系xOy. 圖2 (1)求道路M－N－P的曲線方程； (2)現(xiàn)要在道路M－N－P上建一站點Q，使得Q到景點C的距離最近，問如何設置站點Q的位置(即確定點Q的坐標)? 解：(1)因為線路MN段上的任意一點到景

18、點A的距離比到景點B的距離都多16 km， 所以線路MN段所在曲線是以點A，B為左、右焦點的雙曲線的右上支， 則其方程為x2－y2＝64(8≤x≤10，0≤y≤6)． 因為線路NP段上的任意一點到O的距離都相等， 所以線路NP段所在曲線是以O為圓心、以ON長為半徑的圓， 由線路MN段所在曲線方程可求得N(8，0)， 則其方程為x2＋y2＝64(y≤0)， 綜上得線路示意圖所在曲線的方程為： MN段：x2－y2＝64(8≤x≤10，0≤y≤6)， NP段：x2＋y2＝64(－8≤x≤8，y≤0)． (2)①當點Q在MN段上時，設Q(x0，y0)，又C(0，4)， 則|CQ|＝， 由(1)得x－y＝64， 即|CQ|＝＝， 故當y0＝2時，|CQ|min＝6 km. ②當點Q在NP段上時，設Q(x1，y1)，又C(0，4)， 則|CQ|＝， 由(1)得x＋y＝64，即|CQ|＝， 故當y1＝0時，|CQ|min＝4 km. 因為6<4， 所以當Q的坐標為(2，2)時，可使Q到景點C的距離最近．