高中物理競賽輔導原子物理 運動定律

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1、 原 子 物 理 自1897年發(fā)現(xiàn)電子并確認電子是原子的組成粒子以后，物理學的中心問題就是探索原子內部的奧秘，經過眾多科學家的努力，逐步弄清了原子結構及其運動變化的規(guī)律并建立了描述分子、原子等微觀系統(tǒng)運動規(guī)律的理論體系——量子力學。本章簡單介紹一些關于原子和原子核的基本知識。 1.1 原子 1．1．1、原子的核式結構 1897年，湯姆生通過對陰極射線的分析研究發(fā)現(xiàn)了電子，由此認識到原子也應該具有內部結構，而不是不可分的。1909年，盧瑟福和他的同事以α粒子轟擊重金屬箔，即α粒子的散射實驗，發(fā)現(xiàn)絕大多數α粒子穿過金箔后仍沿原來的方向前進，但有少數發(fā)生偏轉，并且有極少數偏轉角超過了9

2、0，有的甚至被彈回，偏轉幾乎達到180。 1911年，盧瑟福為解釋上述實驗結果而提出了原子的核式結構學說，這個學說的內容是：在原子的中心有一個很小的核，叫原子核，原子的全部正電荷和幾乎全部質量都集中在原子核里，帶負電的電子在核外的空間里軟核旋轉，根據α粒子散射的實驗數據可估計出原子核的大小應在10-14nm以下。 1、1．2、氫原子的玻爾理論 1、核式結論模型的局限性 通過實驗建立起來的盧瑟福原子模型無疑是正確的，但它與經典論發(fā)生了嚴重的分歧。電子與核運動會產生與軌道旋轉頻率相同的電磁輻射，運動不停，輻射不止，原子能量單調減少，軌道半徑縮短，旋轉頻率加快。由此可得兩點結論： 高中物理

3、競賽光學原子物理學教程 第一講　原子物理 ①電子最終將落入核內，這表明原子是一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)； ②電子落入核內輻射頻率連續(xù)變化的電磁波。原子是一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)顯然與事實不符，實驗所得原子光譜又為波長不連續(xù)分布的離散光譜。如此尖銳的矛盾，揭示著原子的運動不服從經典理論所表述的規(guī)律。 為解釋原子的穩(wěn)定性和原子光譜的離經叛道的離散性，玻爾于1913年以氫原子為研究對象提出了他的原子理論，雖然這是一個過渡性的理論，但為建立近代量子理論邁出了意義重大的一步。 2、玻爾理論的內容： 一、原子只能處于一條列不連續(xù)的能量狀態(tài)中，在這些狀態(tài)中原子是穩(wěn)定的，電子雖做加速運動，但并不向外輻射能量，這些

4、狀態(tài)叫定態(tài)。 二、原子從一種定態(tài)（設能量為E2）躍遷到另一種定態(tài)（設能量為E1）時，它輻 高中物理競賽原子物理學教程 第一講原子物理 射或吸收一定頻率的光子，光子的能量由這種定態(tài)的能量差決定，即 =E2-E1 三、氫原子中電子軌道量子優(yōu)化條件：氫原子中，電子運動軌道的圓半徑r和運動初速率v需滿足下述關系： ，n=1、2…… 其中m為電子質量，h為普朗克常量，這一條件表明，電子繞核的軌道半徑是不連續(xù)的，或者說軌道是量子化的，每一可取的軌道對應一個能級。 定態(tài)假設意味著原子是穩(wěn)定的系統(tǒng)，躍遷假設解釋了原子光譜的離散性，最后由氫原子中電子軌道量子化條件，可導出氫原子能級和氫原子的

5、光譜結構。 氫原子的軌道能量即原子能量，為 因圓運動而有 由此可得 根據軌道量子化條件可得： ，n=1，2…… 因，便有 得量子化軌道半徑為： ，n=1，2…… 式中已將r改記為rn對應的量子化能量可表述為： ，n=1，2…… n=1對應基態(tài)，基態(tài)軌道半徑為 計算可得： =0.529 r1也稱為氫原子的玻爾半徑 基態(tài)能量為 計算可得： E1=eV。 對激發(fā)態(tài)，有： ，n=1，2… n

6、越大，rn越大，En也越大，電子離核無窮遠時，對應，因此氫原子的電離能為： 電子從高能態(tài)En躍遷到低能態(tài)Em輻射光子的能量為： 光子頻率為 ， 因此氫原子光譜中離散的譜線波長可表述為： ， 試求氫原子中的電子從第n軌道遷躍到n-1第軌道時輻射的光波頻率，進而證明當n很大時這一頻率近似等于電子在第n軌道上的轉動頻率。 輻射的光波頻率即為輻射的光子頻率，應有 將 代入可得 當n很大時，這一頻率近似為 電子在第n軌道上的轉動頻率為： 將 代入得

7、 因此，n很大時電子從n第軌道躍遷到第n-1軌道所輻射的光波頻率，近似等于電子在第n軌道上的轉動頻率，這與經典理論所得結要一致，據此，玻爾認為，經典輻射是量子輻射在時的極限情形。 1、1．3、氫原子光譜規(guī)律 1、巴耳末公式 研究原子的結構及其規(guī)律的一條重要途徑就是對光譜的研究。19世紀末，許多科學家對原子光譜已經做了大量的實驗工作。第一個發(fā)現(xiàn)氫原子線光譜可組成線系的是瑞士的中學教師巴耳末，他于1885年發(fā)現(xiàn)氫原子的線光譜在可見光部分的譜線，可歸納為如下的經驗公式 ，n=3，4，5，… 式中的為波長，R是一個常數，叫做里德伯恒量，實驗測得R的值為1.09677

8、6107。上面的公式叫做巴耳末公式。當n=3，4，5，6時，用該式計算出來的四條光譜線的波長跟從實驗測得的、、、四條譜線的波長符合得很好。氫光譜的這一系列譜線叫做巴耳末系。 2、里德伯公式 1896年，瑞典的里德伯把氫原子光譜的所有譜線的波長用一個普遍的經驗公式表示出來，即 n=1，2，3…，，… 上式稱為里德伯公式。對每一個，上是可構成一個譜線系： ，，3，4… 萊曼系（紫外區(qū)） ，，4，5… 巴耳末系（可見光區(qū)） ，，5，6… 帕邢系（紅外區(qū)） ，，6，7… 布拉開系（遠紅外區(qū)） ，，7，8… 普豐德系（遠紅外區(qū)） 以上是氫原子光譜的規(guī)律，通

9、過進一步的研究，里德伯等人又證明在其他元素的原子光譜中，光譜線也具有如氫原子光譜相類似的規(guī)律性。這種規(guī)律性為原子結構理論的建立提供了條件。 1、1．4、玻爾理論的局限性： 玻爾原子理論滿意地解釋了氫原子和類氫原子的光譜；從理論上算出了里德伯恒量；但是也有一些缺陷。對于解釋具有兩個以上電子的比較復雜的原子光譜時卻遇到了困難，理論推導出來的結論與實驗事實出入很大。此外，對譜線的強度、寬度也無能為力；也不能說明原子是如何組成分子、構成液體個固體的。玻爾理論還存在邏輯上的缺點，他把微觀粒子看成是遵守經典力學的質點，同時，又給予它們量子化的觀念，失敗之處在于偶保留了過多的經典物理理論。到本世紀20年

10、代，薛定諤等物理學家在量子觀念的基礎上建立了量子力學。徹底摒棄了軌道概念，而代之以幾率和電子云概念。 例題1：設質子的半徑為，求質子的密度。如果在宇宙間有一個恒定的密度等于質子的密度。如不從相對論考慮，假定它表面的“第一宇宙速度”達到光速，試計算它的半徑是多少。它表面上的“重力加速度”等于多少？（1mol氣體的分子數是個；光速）；萬有引力常數G取為。只取一位數做近似計算。 解:的摩爾質量為2g/mol，分子的質量為 ∴質子的質量近似為 質子的密度 ρ== 設該星體表面的第一宇宙速度為v，由萬引力定律，得 ， 而 ∴ 由于

11、“重力速度” ∴ 【注】萬有引力恒量一般取6.67 例題2：與氫原子相似，可以假設氦的一價正離子（He）與鋰的二價正離子（L）核外的那一個電子也是繞核作圓周運動。試估算 （1）He、L的第一軌道半徑； （2）電離能量、第一激發(fā)能量； （3）賴曼系第一條譜線波長分別與氫原子的上述物理量之比值。 解：在估算時，不考慮原子核的運動所產生的影響，原子核可視為不動，其帶電量用+Ze表示，可列出下面的方程組： ， ① ， ② ，n=1，2，3，… ③ ， ④ 由此解得，，并可得出的表達式： ，

12、 ⑤ 其中米，為氫原子中電子的第度軌道半徑，對于He，Z=2，對于Li，Z=3． ， ⑥ 其中13.6電子伏特為氫原子的基態(tài)能． ． ⑦ ，2，3，… ，，… R是里德伯常數。 （1）由半徑公式⑤，可得到類氫離子與氫原子的第一軌道半徑之比： ，． （2）由能量公式⑥，可得到類氫離子與氫原子的電離能和第一激發(fā)能（即電子從第一軌道激發(fā)到第二軌道所需的能量）之比： 電離能： ， 第一激發(fā)能： ， 。 （其中：表示電子處在第二軌道上的能量，表示電子處在第一軌道上的能量） （3）由光譜公式⑦，氫原子賴曼系第一條譜線的波長有：

13、 相應地，對類氫離子有： ， ， 因此 ： ，。 例3：已知基態(tài)He的電離能為E=54.4Ev，（1）為使處于基態(tài)的He進人激發(fā)態(tài)，入射光子所需的最小能量應為多少？（2）He從上述最底激發(fā)態(tài)躍遷返回基態(tài)時，如考慮到該離子的反沖，則與不考慮反沖相比，它所發(fā)射的光子波長的百分變化有多大？（離子He的能級En與n的關系和氫原子能級公式類中，可采用合理的近似。） 分析:第（1）問應正確理解電離能概念。第（2）問中若考慮核的反沖，應用能量守恒和動量守恒，即可求出波長變化。 解:（1）電離能表示He的核外電子脫離氦核的束縛所需要的能量。而題問最小能量對應于核外電

14、子由基態(tài)能級躍遷到第一激發(fā)態(tài)，所以 54.440.8eV （2）如果不考慮離子的反沖，由第一激發(fā)態(tài)遷回基態(tài)發(fā)阜的光子有關系式： 現(xiàn)在考慮離子的反沖，光子的頻率將不是而是，為反沖離子的動能，則由能量守恒得 又由動量守恒得 式中是反沖離子動量的大小，而是發(fā)射光子的動量的大小，于是，波長的相對變化 = 由于 所以 代入數據 即百分變化為0.00000054% 1、2 原子核 原子核所帶電荷為+Ze，Z是整數，叫做原子序數。原子核是由質子和中子組成，兩者均稱為核子，核子數記為A，質子數記為Z，中子數便為A-Z。原子的元素符號記為X，原子

15、核可表述為，元素的化學性質由質子數Z決定，Z相同N不同的稱為同位素。 在原子物理中，常采用原子質量單位，一個中性碳原子質量的記作1個原子單位，即lu=。質子質量：中子質量：電子質量： 1．2．1、結合能 除氫核外，原子核中Z個質子與（A-Z）個中子靜質量之和都大于原子核的靜質量，其間之差： 稱為原子核的質量虧損。式中、分別為質子、中子的靜質量。造成質量虧損的原因是核子相互吸引結合成原子核時具有負的能量，這類似于電子與原子核相互吸引力結合成原子時具有負的能量（例如氫原子處于基態(tài)時電子軌道能量為-13.6eV）。據相對論質能關系，負能量對應質量虧損。質量虧損折合成的能量： 稱為原

16、子核的結合能，注意結合能取正值。結合能可理解成為了使原子核分裂成各個質子和中子所需要的外加你量。稱為核子的平均結合能。 1．2．2、天然放射現(xiàn)象 天然放射性元素的原子核，能自發(fā)地放出射線的現(xiàn)象，叫天然放射現(xiàn)象。這一發(fā)現(xiàn)揭示了原子核結構的復雜性。天然放射現(xiàn)象中有三種射線，它們是： α射線：速度約為光速的1/10的氦核流（），其電離本領很大。 β射線：速度約為光速的十分之幾的電子流（），其電離本領較弱，貫穿本領較弱。 γ射線：波長極短的電磁波，是伴隨著α射線、β射線射出的，其電離本領很小，貫穿本領最強。 1．2．3、原子核的衰變 放射性元素的原子核放出某種粒子后，變成另一種新核的現(xiàn)象

17、，叫做原子核的衰變，衰變過程遵循電荷守恒定律和質量守恒定律。用X表示某種放射性元素，z表示它的核電荷數，m表示它的質量數，Y表示產生的新元素，中衰變規(guī)律為： α衰變：通式 例如 β衰變：通式 例如 γ衰變：通式 （γ射線伴隨著α射線、β射線同時放出的。原子核放出γ射線，要引起核的能量發(fā)生變化，而電荷數和質量數都不改變） 1．2．4、衰變定律和半衰期 研究發(fā)現(xiàn)，任何放射性物質在單獨存在時，都遵守指數衰減規(guī)律 ① 這叫衰變定律。式中是t=0時的原子核數目，N（t）是經時間t后還沒有衰變的原子核的數目，λ叫衰變常數，對于不同的核素

18、衰變常數λ不同。由上式可得： ② 式中代表在時間內發(fā)生的衰變原子核數目。分母N代表t時刻的原子核總數目。λ表示一個原子核在單位時間內發(fā)生衰變的概率。不同的放射性元素具有不同的衰變常數，它是一個反映衰變快慢的物理量，λ越大，衰變越快。 半衰期表示放射性元素的原子核有半數發(fā)生衰變所需的時間。用T表示，由衰變定律可推得： ③ 半衰期T也是反映衰變快慢的物理量；它是由原子核的內部因素決定的，而跟原子所處的物理狀態(tài)或化學狀態(tài)無關；半衰期是對大量原子核衰變的統(tǒng)計規(guī)律，不表示某個原子核經過多長時間發(fā)生的衰變。由①、③式則可導出衰變定律的另一種形式，即 （

19、T為半衰期，t表示衰變的時間，表示衰變前原子核的總量，N表示t后未衰變的原子核數） 或（為衰變前放射性物質的質量，M為衰變時間t后剩余的質量）。 1、2、5、原子核的組成 用人工的方法使原子核發(fā)生變化，是研究原子核結構及變化規(guī)律的有力武器。確定原子核的組成有賴于質子和中子的發(fā)現(xiàn)。 1919年，盧瑟福用α粒子轟擊氮原子核而發(fā)現(xiàn)了質子，這個變化的核反應方程： 1932年，查德威克用α粒子轟擊鈹原子核而發(fā)現(xiàn)了中子，這個變化的核反應方程是： 通過以上實驗事實，從而確定了原子核是由質子和中子組成的，質子和中子統(tǒng)稱為核子。某種元素一個原子的原子核中質子與中子的數量關系為： 質子數=核

20、電荷數=原子序數 中子數=核質量數-質子數 具有相同質子數不同中子數的原子互稱為同位素，利用放射性同位素可作“示蹤原子”，用其射線可殺菌、探傷、消除靜電等。 1、2、6、核能 ①核能 原子核的半徑很小，其中質子間的庫侖力是很大的。然而通常的原子核卻是很穩(wěn)定的。這說明原子核里的核子之間一定存在著另一種和庫侖力相抗衡的吸引力，這種力叫核力。 從實驗知道，核力是一種強相互作用，強度約為庫侖力的確100倍。核力的作用距離很短，只在的短距離內起作用。超過這個距離，核力就迅速減小到零。質子和中子的半徑大約是，因此每個核子只跟它相鄰的核子間才有核力的作用。核力與電荷無關。質子和質子，質子和中子，

21、中子和中子之間的作用是一樣的。當兩核子之間的距離為時，核力表現(xiàn)為吸力，在小于時為斥力，在大于10fm時核力完全消失。 ②質能方程 愛因斯坦從相對論得出物體的能量跟它的質量存在正比關系，即 這個方程叫做愛因斯坦質能方程，式中c是真空中的光速，m是物體的質量，E是物體的能量。如果物體的能量增加了△E，物體的質量也相應地增加了△m，反過來也一樣?！鱁和△m之間的關系符合愛因斯坦的質能方程。 ③質量虧損 原子核由核子所組成，當質子和中子組合成原子核時，原子核的質量比組成核的核子的總質量小，其差值稱為質量虧損。用m表示由Z個質子、Y個中子組成的原子核的質量，用和分別表示質子和中子的質量

22、，則質量虧損為： ④原子核的結合能和平均結合能 由于核力將核子聚集在一起，所以要把一個核分解成單個的核子時必須反對核力做功，為此所需的能量叫做原子核的結合能。它也是單個核子結合成一個核時所能釋放的能量。根據質能關系式，結合能的大小為： 原子核中平均每個核子的結合能稱為平均結合能，用N表示核子數，則： 平均結合能= 平均結合能越大，原子核就越難拆開，平均結合能的大小反映了核的穩(wěn)定程度。從平均結合能曲線可以看出，質量數較小的輕核和質量數級大的重核，平均結合能都比較小。中等質量數的原子核，平均結合能大。質量數為50~60的原子核，平均結合能量大，約為8.6MeV。 1．2．7、核

23、反應 原子核之間或原子核與其他粒子之間通過碰撞可產生新的原子核，這種反應屬于原子核反應，原子核反應可用方程式表示，例如 即為氦核（α粒子）轟擊氮核后產生氧同位素和氫核的核反應，核反應可分為如下幾類 （1）彈性散射：這種過程，出射粒子就是入射粒子，同時在碰撞過程中動能保持不變，例如將中子與許多原子核碰撞會發(fā)生彈性散射。 （2）非彈性散射：這種過程中出射粒子也是原來的入射粒子，但在碰撞過程中粒子動能有了變化，即粒子和靶原子核發(fā)生能量轉移現(xiàn)象。例如能量較高的中子轟擊原子核使核激發(fā)的過程。 （3）產生新粒子：這時碰撞的結果不僅能量有變化，而且出射粒子與入射粒子不相同，對能量較大的入射粒子

24、，核反應后可能出現(xiàn)兩個以上的出射粒子，如合成101號新元素的過程。 （4）裂變和聚變：在碰撞過程中，使原子核分裂成兩個以上的元素原子核，稱為裂變，如鈾核裂變 裂變過程中，質量虧損0.2u，產生巨大能量，這就是原子彈中的核反應。 引起原子核聚合的反應稱為聚變反應，如 氫彈就是利用氘、氘化鋰等物質產生聚變后釋放出巨大能量發(fā)生爆炸的。 核反應中電荷守恒，即反應生成物電荷的代數和等于反應物電荷的代數和。核反應中質量守恒，即反應生成物總質量等于反應物總質量。這里的質量指相對論質量，相對論質量m與相對論能量E之間的關系是 因此質量守恒也意味著能量守恒。核反應中質量常采用原子質量

25、單位，記為u.lu相當于931.5MeV。 核反應中相對論質量守恒，但靜質量可以不守恒。一般來說，反應生成物總的靜質量少于反應物總的靜質量，或者說反應物總的靜質量有虧損。虧損的靜質量記為△m，反應后它將以能量形式釋放出來，稱之為反應能，記為△E，有 需要注意的是反應物若有動能，其相對論質量可大于靜質量，但在算反應能時只計靜質量。反應能可以以光子形式向外輻射，也可以部分轉化為生成物的動能，但生成物的動能中還可以包含反應物原有的動能。 下面討論原子核反應能的問題： 在所有原子核反應中，下列物理量在反應前后是守恒的：①電荷；②核子數；③動量；④總質量和聯(lián)系的總能量等（包括靜止質量和聯(lián)系的

26、靜止能量），這是原子核反應的守恒定律。下面就質量和能量守恒問題進行分析。 設有原子核A被p粒子撞擊，變?yōu)锽和q。其核反應方程如下： A+p→B+q 上列各核和各粒子的靜質量M和動能E為 反應前 反應后 根據總質量守恒和總能量守恒可得 由此可得反應過程中釋放的能量Q為： Pp Pp Pb A Pq 此式表示，反應能Q定義為反應后粒子的動能超出反應前粒子的動能的差值。這也等于反應前粒子靜質量超過反應后粒子的靜質量的差值乘以。所以反應能Q可以通過粒子動能的測量求出，也可以由已知的粒子的靜質量來計算求出。 下面來討論怎

27、樣由動能來求出Q。設A原子核是靜止的。由能量守恒可得 根據反應前后動量守恒得 式中為反應前撞擊粒子的動量，和是反應后新生二粒子的動量。上式可改為標量 由于，上式可改為 從上式求出，代入中得 從上式中的質量改為質量數之比可得： 如果事先測知，再測出和β，即可算得Q。 例1 已知某放射源在t=0時，包含個原子，此種原子的半衰期為30天． （1）計算時，已發(fā)生衰變的原子數； （2）確定這種原子只剩下個的時刻。 解: 衰變系數λ與半衰期T的關系為 衰變規(guī)律可表述為：。 （1）時刻未衰變的原子數為： 已發(fā)生衰變的原子數便為：

28、 （2）時刻未發(fā)生衰變的原子數為： 由此可解得： =399天 例2 在大氣和有生命的植物中，大約每個碳原子中有一個原子，其半衰期為t=5700年，其余的均為穩(wěn)定的原子。在考古工作中，常常通過測定古物中的含量來推算這一古物年代。如果在實驗中測出：有一古木碳樣品，在m克的碳原子中，在△t（年）時間內有△n個原子發(fā)生衰變。設燒成木炭的樹是在T年前死亡的，試列出能求出T的有關方程式（不要求解方程）。 解: m克碳中原有的原子數為，式中為阿伏加德羅常數。 經過T年，現(xiàn)存原子數為 （1） 在△T內衰變的原子數為 （2） 在（1）、（2）二式中，m、、τ、△T和

29、均為已知，只有n和T為未知的，聯(lián)立二式便可求出T。 例3.當質量為m，速度為的微粒與靜止的氫核碰撞，被氫核捕獲（完全非彈性碰撞）后，速度變?yōu)?；當這個質量為m，速度為的微粒與靜止的碳核做對心完全彈性碰撞時，碰撞后碳核速度為，今測出，已知，求此微粒質量m與氫核質量之比為多少？ 解: 根據題意有，即有 （1） 又因 （2） （3） 由（2）式得 （4） 由（3）式得 （5） 由（4）、（5）式得 （6） （6）m（4）得 所以。此微粒的

30、質量等于氫核的質量。 　 運動定律 3.1牛頓定律 3．1．1、牛頓第一定律 任何物體都保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)，直到其他物體所作用的力迫使它改變這種狀態(tài)為止。這是牛頓第一定律的內容。牛頓第一定律是質點動力學的出發(fā)點。 物體保持靜止狀態(tài)或勻速直線運動狀態(tài)的性質稱為慣性。牛頓第一定律又稱為慣性定律，慣性定律是物體的固有屬性，可用質量來量度。 無論是靜止還是勻速直線運動狀態(tài)，其速度都是不變的。速度不變的運動也就是沒有加速度的運動，所以物體如果不受到其他物體的作用，就作沒有加速度的運動，牛頓第一定律指出了力是改變物體運動狀態(tài)的原因。 牛頓第一定律只在一類特殊的參照系

31、中成立，此參照系稱為慣性參照系。簡稱慣性系。相對某一慣性系作勻速運動的參照系必定也是慣性系，牛頓第一定律不成立的參照系稱為非慣性參照系，簡稱非慣性系，非慣性系相對慣性系必作變速運動，地球是較好的慣性系，太陽是精度更高的慣性系。 3．1．2．牛頓第二定律 (1)定律內容：物體的加速度跟所受外力的合力成正比，跟物體的質量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同 (2)數學表達式： (3)理解要點 ①牛頓第二定律不僅揭示了物體的加速度跟它所受的合外力之間的數量關系，而且揭示了加速度方向總與合外力的方向一致的矢量關系。在應用該定律處理物體在二維平面或三維空間中運動的問題，往往需要選擇適當的坐標

32、系，把它寫成分量形式 ②牛頓第二定律反映了力的瞬時作用規(guī)律。物體的加速度與它所受的合外力是時刻對應的，即物體所受合外力不論在大小還是方向上一旦發(fā)生變化，其加速度也一定同時發(fā)生相應的變化。 F1 F2 圖3-1-1 ③當物體受到幾個力的作用時，每個力各自獨立地使物體產生一個加速度，就如同其他力不存在—樣；物體受幾個力共同作用時，產生的加速度等于每個力單獨作用時產生的加速度的矢量和，如圖3-1-1示。這個結論稱為力的獨立作用原理。 ④牛頓第二定律闡述了物體的質量是慣性大小的量度，公式反映了對同—物體，其所受合外跟它的加速度之比值

33、是個常數，而對不同物體其比值不同，這個比值的大小就是物體的質量，它是物體慣性大小量度，當合外力不變時，物體加速度跟其質量成反比，即質量越大，物體加速度越小，運動狀態(tài)越難改變，慣性也就越大。 ⑤牛頓第二定律的數學表達式定義了力的基本單位；牛頓（N）。因為，，故，當定義使質量為1kg的物體產生加速度的作用力為1N時，即1N=時，k=1。由于力的單位1N的規(guī)定使牛頓第二定律公式 中的k=1，由此所產生的單位制即我們最常用的國際單位制。 ⑥在慣性參考系中，公式中的ma不是一個單獨的力，更不能稱它是什么“加速力”，它是一個效果力，只是在數值上等于物體所受的合外力。 F 圖3

34、-2-1 ⑦對一個質點系而言，同樣可以應用牛頓第二定律。 如果這個質量系在任意的x方向上受的合外力為，質點系中的n個物體（質量分別為）在x方向上的加速度分別為，那么有 這就是質點系的牛頓第二定律。 3．1．3、牛頓第三定律 （1）定律內容：兩個物體之間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，作用在一條直線上。 （2）數學表達式： （3）理解要點 ①牛頓第三定律揭示了物體相互作用的規(guī)律，自然界中的力的作用都是相互的，任何一個物體既為受力體，則它一定就是施力體。 ②相互作用力必定是同一性質的力，即如果其中一個力是摩擦力，則它的反作用力也一定是摩擦力。 ③兩個相互作用力

35、要與一對平衡力區(qū)分清楚。 ④這個相互作用力是指的性質力。對于效果力不一定能找到“整體”的反作用力，如有人說向心力的反作用力就是離心力。這是錯誤的，因為向心力往往是由多個力作用是共同效果，其中每個力都有其各自的反作用力，故向心力這個合力就不一定有一個所謂反作用力。 3．1．4、關于參照系的問題 （1）慣性參照系：牛頓第一定律實際上又定義了一種參照系，在這個參照系中觀察，一個不受力作用的物體將保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)，這樣的參照系就叫做慣性參照系，簡稱慣性系。由于地球在自轉的同時又繞太陽公轉，所以嚴格地講，地面不是一個慣性系。在一般情況下，我們可不考慮地球的轉動，且在研究較短時間內物體的運

36、動，我們可以把地面參照系看作一個足夠精確的慣性系。 （2）非慣性參照系：凡牛頓第一定律不成立的參照系統(tǒng)稱為非慣性參性系，一切相對于慣性參照系做加速運動的參照系都是非慣性參照系。在考慮地球轉動時，地球就是非慣性系。在非慣性系中，物體運動不遵循牛頓第二定律，但在引入“慣性力”的概念以后，就可以利用牛頓第二定律的形式來解決動力學問題了。（關于慣性力的應用在后邊將到）。 3.2牛頓定律在曲線運動中的應用 3．2．1、物體做曲線運動的條件 物體做曲線運動的條件是，物體的初速度不為零，受到的合外力與初速度不共線，指向曲線的“凹側”，如圖3-2-1，該時刻物體受到的合外力F與速度的夾角滿足的條件是0

37、<<180。 3．2．2、圓周運動 物體做勻速圓周運動的條件是，物體受到始終與速度方向垂直，沿半徑指向圓心，大小恒定的力的作用。由牛頓第二定律可知，其大小為 。 在變速圓周運動中，合外力在法線方向和切線方向都有分量，法向分量產生向心加速度。 切向分量產生切向加速度。 3．2．3、一般曲線運動 與變速圓周運動類似，在一般曲線運動中，合外力在法線方向和切線方向都有分量，法向分量的大小為 R為曲線在該處的曲率半徑，切向分量的大小為 3.3 慣性力 應用牛頓定律時，選用的參照系應該是慣性系。在非慣性系中，為了能得

38、到形式上與牛頓第二定律一致的動力學方程，引入慣性力的概念，引入的慣性力必須滿足 式中是質點受到的真實合力，是質點相對非慣性系的加速度。 真實力與參照系的選取無關，慣性力是虛構的力，不是真實力。慣性力不是自然界中物質間的相互作用，因此不屬于牛頓第三定律涉及的范圍之內，它沒有施力物體，不存在與之對應的反作用力． 3．3．1．平動加速系統(tǒng)中的慣性力 設平動非慣性系相對于慣性系的加速度為。質點相對于慣性系加速度，由相對運動知識可知，質點相對于平動非慣性系的加速度 質點受到的真實力對慣性系有 對非慣性系 得 平動非慣性系中，慣性力

39、由非慣性系相對慣性系的加速度及質點的質量確定，與質點的位置及質點相對于非慣性系速度無關。 3．3．2、勻速轉動系中的慣性力 O m 圖3—3—1 ω 如圖3—3—1，圓盤以角速度繞豎直軸勻速轉動，在圓盤上用長為r的細線把質量為m的點系于盤心且質點相對圓盤靜止，即隨盤一起作勻速圓周運動，以慣性系觀察，質點在線拉力作用下做勻速圓周運動，符合牛頓第二定律．以圓盤為參照系觀察，質點受力拉到作用而保持靜止，不符合牛頓定律．要在這種非慣性系中保持牛頓第二定律形式不變，在質點靜止于此參照系的情況下，引入慣性力 為轉軸向質點所引矢量，與轉軸垂直，由于這個慣

40、性力的方向沿半徑背離圓心，通常稱為慣性離心力．由此得出：若質點靜于勻速轉動的非慣性參照系中，則作用于此質點的真實力與慣性離心力的合力等于零． 慣性離心力的大小，除與轉動系統(tǒng)的角速度和質點的質量有關外，還與質點的位置有關（半徑）， 必須指出的是，如果質點相對于勻速轉動的系統(tǒng)在運動，則若想在形式上用牛頓第二定律來分析質點的運動，僅加慣性離心力是不夠的，還須加其他慣性力。如科里奧里力，科里奧利力是以地球這個轉動物體為參照系所加入的慣性力，它的水平分量總是指向運動的右側，即指向相對速度的右側。例如速度自北向南，科里奧利力則指向西方。這種長年累月的作用，使得北半球河流右岸的沖刷甚于左岸，因而比較陡峭

41、。雙軌鐵路的情形也是這樣。在北半球，由于右軌所受壓力大于左軌，因而磨損較甚。南半球的情況與此相反，河流左岸沖刷較甚，而雙線鐵路的左軌磨損較甚。由于這個過程極為復雜，涉及微分知識及坐標系建立，這里就不進一步討論了。 3．3．3、用實驗方法證明在非慣性系中加入慣性力的必要性。 圖3－3－2 在一列以加速度做直線運動的車廂里，有一個質量為m的小球，放在光滑的桌面上，如圖3-3-2所示，相對于地面慣性系來觀測，小球保持靜止狀態(tài)，小球所受合外力為零，符合牛頓運動定律，相對于非慣性系的車廂來觀測，小球以加速度向后運動，而小球沒有受到其它物體對他的力的作用，牛頓運動定律不再成立。 不

42、過，車廂里的人可以認為小球受到一向后的力，把牛頓定律寫為。這樣的力不是其它物體的作用，而是參照系是非慣性系所引起的，稱為慣性力．如果一非慣性系以加速度相對慣性系而運動，則在此非慣性系里，任一質量為m的物體都受到一慣性力，把慣性力計入在內，在非慣性里也可以應用牛頓定律．當汽車拐彎做圓周運動時，相對于地面出現(xiàn)向心加速度，相對于車廂人感覺向外傾倒，常說受到了離心力，正確地說應是慣性離心力，這就是非慣性系中出現(xiàn)的慣性力。 A B N 圖3-3-3 如圖3-3-3，一物塊A放在傾角為的光滑斜面B上，問斜面B必須以多大的加速度運動，才能保持A、B相

43、對靜上？ 可取B作為參照系，A在此參照系中靜止。因為B是相對地面有加速度的非慣性參照系，所以要加一個慣性力f=ma，方向水平向右，a的大小等于B相對地面的加速度。由受力分析圖可知 f=ma=mg ∴ 3.4應用牛頓運動定律解題的方法和步驟 應用牛頓運動定律的基本方法是隔離法，再配合正交坐標運用分量形式求解。 解題的基本步驟如下： (1)選取隔離體，即確定研究對象 一般在求某力時，就以此力的受力體為研究對象，在求某物體的運動情況時，就以此物體為研究對象。有幾個物體相互作用，要求它們之間的相互作用力，則必須將相互作用的物體隔離開來，取其中一物體作研究對象。有時，某些力不能直

44、接用受力體作研究對象求出，這時可以考慮選取施力物體作為研究對象，如求人在變速運動的升降機內地板的壓力，因為地板受力較為復雜，故采用人作為研究對象為好。 在選取隔離體時，采用整體法還是隔離法要靈活運用。如圖3-4-1要求質量分別為M和m的兩物體組成的系統(tǒng)的加速度a，有兩種方法，一種是將兩物體隔離，得方程為 m M 圖3-4-1 另—種方法是將整個系統(tǒng)作為研究對象，得方程為 顯然，如果只求系統(tǒng)的加速度，則第二種方法好；如果還要求繩的張力，則需采用前一種方法。 (2)分析物體受力情況：分析物體受力是解動力學問題的一個關鍵，必須牢牢掌握。 ①一般順序：在

45、一般情況下，分析物體受力的順序是先場力，如重力、電場力等，再彈力，如壓力、張力等，然后是摩擦力。并配合作物體的受力示意圖。 大小和方向不受其它力和物體運動狀態(tài)影響的力叫主動力，如重力、庫侖力；大小和主向與主動力和物體運動狀態(tài)有密切聯(lián)系的力叫被動力或約束力，如支持力、摩擦力。這就決定了分析受力的順序。如物體在地球附近不論是靜止還是加速運動，它受的重力總是不變的；放在水平桌面上的物體對桌面的壓力就與它們在豎直方向上有無加速度有關，而滑動摩擦力總是與壓力成正比。 A FX FY 圖3-4-2 ②關于合力與分力：分析物體受力時，只在合力或兩個分力中取其一，不能同時取而說它受

46、到三個力的作用。一般情況下選取合力，如物體在斜面上受到重力，一般不說它受到下滑力和垂直面的兩個力。在—些特殊情況下，物體其合力不能先確定，則可用兩分力來代替它，如圖3-4-2橫桿左端所接鉸鏈對它的力方向不能明確之前，可用水平和豎直方向上的兩個分力來表示，最后再求出這兩個分力的合力來。 ③關于內力與外力：在運用牛頓第二定律時，內力是不可能對整個物體產生加速度的，選取幾個物體的組合為研究對象時，這幾個物體之間的相互作用力不能列入方程中。要求它們之間的相互作用，必須將它們隔離分析才行，此時內力轉化成外力。 ④關于作用力與反作用力：物體之間的相互作用力總是成對出現(xiàn)，我們要分清受力體與施力體。在列方

47、程解題時，對一對相互作用力一般采用同一字線表示。在不考慮繩的質量時，由同一根繩拉兩個物體的力經常作為一對相互作用力處理，經過不計摩擦的定滑輪改變了方向后，我們一般仍將繩對兩個物體的拉力當作一對相互作用力處理。 (3)分析物體運動狀態(tài)及其變化 ①運用牛頓定律解題主要是分析物體運動的加速度a，加速度是運動學和動力學聯(lián)系的紐帶，經常遇到的問題是已知物體運動情況通過求a而求物體所受的力。 圖3－4－3 m1 ɑ F ②針對不同的運動形式和運用不同的公式，在分析物體運動狀態(tài)時有不同的要求。對于靜力學的問題，其加速度為零，速度為零或常量；對于牛頓運動定律問題，主要是分析加速度，要注意其瞬

48、時性，勻變速運動可任取一點分析，變加速運動則必須找到對應點分析；如果是運用動量定理或動能定理，則必須分析物體所受的力的沖量或所做的功，還要分析運動始末兩態(tài)的動量或動能。 ③要注意物體運動的加速度與速度的大小方向的關系，也要注意兩者大小不一定同時為零，如豎直上拋的最高點，速度為零加速度不為零，在振動的平衡位置速度最大加速度為零；兩者的方向也不一定相同，如加速上升，兩者方向相同，減速上升，兩者方向相反。 圖3-4-4 ④對于由幾個物體組成的連接體的運動，要分析各個物體的加速度。各個物體的加速度之間的關系的求法是：一般假設各物體初速為零，由公式，再由各物體的位移的比

49、值找出它們加速度之間的關系來。 如圖3-4-3，顯然有，故有 ， 所以 圖3-4-4， 故有 如圖3-4-5設，我們以地球為參照物，三者的加速度如圖所示，為了找出三個加速度大小的關系，我們設由于和的運動，使繩有沿動滑輪邊沿的加速度，根據有關的相對運動規(guī)律有 m1 m2 m3 圖3-4-5 兩式相減消去得到三個加速度之間的關系式為 ⑤若不知加速度a的方向，則可事先假設加速度的方向，按假設算出來的加速度若為正，則說明假設正確；若計算出來的加速度為負，則不能簡單地認為加速度的方向

50、與假設的方向相反，一般情況下，應該換一個方向重新計算，因為運動方向不同時，物體所受的力有可能不同，特別是有摩擦力的時候。 (4)建立坐標系 ①通常我們采用慣性坐標系，一般不加申明就以地球為參照物，有時為了方便，采用非慣性坐標系。 ②坐標也有瞬時性，如圓錐擺所建立的坐標就是指某一瞬間的。 ③通常采用直角坐標系，對曲線運動常用自然坐標，即取切向和法向為兩坐標軸的方向，切向加速度反映了速度大小的變化，法向加速度反映了速度方向的變化。 ④選取坐標軸，最好能以加速度方向為一軸的方向，這樣可以使方程較為簡潔；如果由于解題需要而兩軸都不與加速度同向，則要注意將加速度依坐標分解列入方程。 (5)列

51、方程和解方程 ①根據物理意義列出方程，對于正交坐標，一般是對每一個隔離體列出一組坐標數的方程。 ②出于解題的需要，一般是方程數與未知數的個數相等，若方程數少于未知數的個數，則要注意題目的隱含條件，或者用特殊方法可以解出。 ③不同的題型要注意有不同的解法，有些題目可以一次性的列出方程，有些題目必須走一步看一步，逐步推出結論。 (6)驗算作答 ①驗算是必不可少的一步，要根據物理意義和題設條件剔除多余的根。 ②為了快速檢驗，可以采用檢驗答案的量綱的方法。 ③正負符號在物理問題中有廣泛的應用，要特別注意正負號的物理意義。 3.5力和運動的關系 判斷一個物體做什么運動，一要看它受到

52、什么外力，二要看它的初速與外力方向的關系。物體運動某時刻的加速度總與該時刻所受的合外力相對應，而某時刻的速度沿軌跡切線方向，與該時刻所受的力沒有直接對應關系。 (1)物體受平衡力的作用：。當時，物體靜止：當時，物體以作勻速直線運動。 (2)物體作直線運動：=恒量，恒量，物體作勻變速運動。當時，作初速為零的勻加速直線運動；當時，如果與同向，物體作勻加速直線運動，如果和反向，物體作勻減速直線運動。 =變量，=變量，物體將做變加速運動。如果方向不變大小變，物體作如有空氣阻力的豎直上拋運動；若大小和方向都變，物體的運動更要具體分析。 (3)物體作曲線運動 ①物體作曲線運動的條件：當物體所受的

53、合外力的方向與物體運動的速度方向不在一條直線上時，物體將作曲線運動。在運動過程中，物體的速度方向是在曲線某點的切線方向上，合力在切線方向的分量產生切向加速度，它描述速度大小改變的快慢；合力在法線方向（徑向）的分量產生法向加速度，它描述速度方向改變的快慢。 ②拋物線運動：當物體所受的合外力大小和方向都不變，而速度與合外力方向不在同一直線上時，物體作軌跡為拋物線的運動。如物體只受重力作用的拋體運動和帶電粒子在勻強電場中的運動。當合力與初速的方向垂直時，物體做類平拋運動；當合力與初速的夾角小于90時，物體作類下拋運動；當合力與初速的夾角大于90時，物體作類上拋運動。 ③圓周運動：當物體所受的合外

54、力的大小保持不變，而速度與合外力保持垂直，則物體做勻速圓周運動。 在勻速圓周運動中，切向加速度為零，法向加速度即向心加速度，故此時合外力就叫向心力 或 m1 m2 m3 圖3-5-1 向心力是從力的作用效果命名的力，任何一個力或幾個力的合力，只要它的作用效果是使質點產生向心加速度，這個力或這幾力的合力就叫向心力。不要在分析物體所受的重力、彈力、摩擦力之外再無中生有地受到一個向心力。 做非勻速圓周運動的質點所受到的合外力，一定在法向上有一個分量，這一分量即為向心力；在切向上也有一個分量，這一分量使速度大小有變化。 所謂離心

55、力是對作圓周運動的物體給提供它的向心力的另一物體的作用力，如果做圓周運動的物體的向心力是由兩個或兩個以上的物體共同提供的，則離心力必作用在這兩個或兩個以上的相應的物體上，所以，除了只有一個物體提供向心力的情況外，一般不能把離心力說成是向心力的反作用力。當合外力提供的向心力小于物體所需的向心力時，物體將遠離原來的軌道作離心運動；當合力提供的向心力在某時刻消失時，物體將沿該時刻的速度方向飛出，這些現(xiàn)象的實質是物體的慣性所致，而不是所謂離心力的作用。在非慣性系中提出的慣性離心力這一虛擬力，也與上述離心力根本不同，決不能混淆。 如下是一些實際應用問題： 兩個或兩個以上的物體在某一種力（一般是彈力或

56、摩擦力）作用下一起運動，叫做聯(lián)接體，解聯(lián)接體的問題一般要用隔離法，即把某一個物體隔離出來進行分析，有時聯(lián)接體中的各個物體具有不同的加速度，必須確定它們的加速度之間的關系。 如圖3-5-1所示的裝置，細繩不可伸長，三個物體的加速度方向如圖所示，那么它們的加速度之間有什么關系呢？ 先設物體不動，那么當物體下降時物體將上升；再設物體不動，當物體下降物體將上升。當上述兩種運動結合起來，則實際上物體下降物體下降物體應是上升。它們對時間的變化率（即速度）之間也有上述關聯(lián)，即 它們的加速度之間的關系也同樣是 A B P Q K

57、圖3-5-2 再如圖3-5-2所示的物體系，由于B球受重力作用，使B球向下做加速運動，同時三角形劈A向左做加速運動，設球和劈在原來的K點接觸，經過時間之后，球上的K點移動到了P點處，劈上的K點移到了Q點處，顯然△KPQ和劈的剖面三角形是相似的，即∠KQP等于劈的底角θ，因此 同樣，任何時刻都有 mg N h 圖3-5-3 如圖3-5-3所示，一個質量為m的小球沿著拋物線型的軌道從h米高處由靜止開始滑下，試求小球到達軌道底部時對軌道的壓力。小球到達底部時的速度 根據第二講的討論可知，拋物線底部的曲率半徑 小球在底部時受到二個力：重力m

58、g和軌道彈力N，因此 F m m x y 圖3-5-4 兩個質量均為m的小球，用細繩連接起來，置于光滑平面上，繩恰好被拉直。用一個恒力F作用在連繩中點，F(xiàn)的方向水平且垂直于繩的初始位置（圖3-5-4），F(xiàn)力拉動原來處于靜止狀態(tài)的小球。問：在兩小球第一次相撞前的一瞬間，小球在垂直于F的作用線方向（設為y方向）上的分速度多大？ 由于繩的張力和方向都在不斷改變，因此兩小球的運動是比較復雜的，我們應用兩種手段使復雜的問題簡化。 一是先研究小球在某一方向即F作用的線方向（設為x方向）上的運動：當繩與作用線成角時繩上的張力，這個張力使小球產生的

59、在x方向上的加速度為 F T 圖3-5-5 可見，無關，即小球在x方向上做勻加速運動（圖3-5-5） 二是只考慮小球運動的初、末兩個狀態(tài)：設F的作用點共移動了s距離，則小球在x方向上運動了的距離，小球碰撞前在x方向上的速度為 在這段過程中，F(xiàn)力做的功為，根據動能定理 應該說明的是，因為動能定理是從牛頓第二定律推導出來的，因此只適用于慣性系。雖然相對不同的慣性系，F(xiàn)做功的位移和物體的速度都是不一樣的，但動能定理卻仍然成立。 3.6 萬有引力 天體的運動 3．6．1、萬有引力 任何兩個物體間存在一種稱為萬

60、有引力的相互作用力。萬有引力是自然界中已發(fā)現(xiàn)的四種相互作用（萬有引力相互作用、電磁相互作用、弱相互作用和強相互作用）之一。兩個質點間的萬有引力，其大小與兩質點的質量乘積成正比，與兩質點距離的平方成反比，方向沿兩質點的連線方向，其表示式為 式中G稱為萬有引力常量，其值為 萬有引力公式只適用于質點，當物體的幾何線度不能忽略時，可以把它們分割成線度可略的小部分，兩物體間每一小部分之間的萬有引力的合力便就是兩物體間的萬有引力?？梢宰C明兩個質量均勻的球體之間的引力?？梢杂萌f有引力定律計算，只是計算式中的r為兩球心間的距離。質量為m的均勻分布的球殼對球殼外任一質點的萬有引力，等于質量為m的質點處于

61、球心處與該質點間的萬有引力，它對球殼內的任一質點的萬有引力則為零。 測得的地球表面上物體所受到的重力，是地球對物體引力的一個分量，由于地球并不嚴格是個球體，質量分布也不均勻，加之地球的自轉運動，使得同一物體，在地球表面不同位置處受到的重力略有不同。 萬有引力定律的應用 ①天體表面的重力加速度g：設天體質量為M且均勻分布，天體為圓球體且半徑為R，物體質量為m，則 故 ②關于天體質量和平均密度的計算：設質量為m的行星繞質量為M的恒星作勻速圓周運動的公轉，公轉的半徑為r，周期為T，由牛頓定律，恒星對行星的萬有引力就是行星繞恒星作勻速圓周運動的向心力，故有 由此可得

62、恒星的質量為 圖3-6-1 設恒星的球半徑為R，則它的平均密度為 這個公式也適用于衛(wèi)星繞行星作圓周運動的情況。如設近地人造衛(wèi)星的周期為T，因有，上式就可以寫成 這就很容易求出地球的平均密度了。 3．6．2、天體的運動 開普勒根據前人積累的行星運動觀察資料。總結出關于行星運動的三定律——開普勒三定律。 第一定律：行星圍繞太陽的運動軌道為橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上。 第二定律：行星與太陽的連線在相等時間內掃過相等的面積。 下面舉一個例子詳加說明： 為用數學式子表述第二定律，設徑矢r在時間內掃過的面積為，則面積速度為，由圖3-6-

63、1可知， 故面積速度為 常量 式中v為行星運動的線速度，為徑矢r與速度v方向之間的夾角。當行星位于橢圓軌道的近日點或遠日點時，速度v的方向與徑矢r的方向垂直，即=90，故 第三定律：各行星繞太陽運動的周期平方與軌道半長軸立方的比值相同，即 開普勒定律不僅適用于行星繞太陽的運動。也適用于衛(wèi)星繞行星的運動。 當半長軸a與半短軸b相等時，橢圓成為圓。由開普勒第二定律可知，圓軌道運動必為勻速圓周運動，萬有引力提供向心力。 對于繞地球作半徑為r的勻速圓周運動的衛(wèi)星，由牛頓第二定律和萬有引力定律可得 根據地球表面物體重力與引力的關系

64、 R為地球半徑衛(wèi)星速率為 對于貼著地球表面運行的衛(wèi)星。 這就是第一宇宙速度，也就是發(fā)射衛(wèi)星必須具有的最小速度 利用能量關系，可求出從地球表面發(fā)射的宇宙飛般，為能掙脫地球引力的束縛，其發(fā)射速度必須滿足 稱為第二宇宙速度。 下面舉一個例子詳加說明： 新發(fā)現(xiàn)一行星，其星球半徑為6400km，且由通常的水形成的海洋覆蓋著它的所有表面，海洋的深度為10km。學者們對該行星進行探查時發(fā)現(xiàn)。當把試驗用的樣品浸入行星海洋的不同深度時，各處的自由落體加速度以相當高的精確度保持不變，試求這個行星表面處的自由落體加速度。已知萬有引力常數為 。 解1：如圖3-6-2以R表示

65、此星球（包括水層）的半徑，M表示其質量，h表示其表層海洋的深度，r表示海洋內任一點A到星球中心O的距離，表示除表層海洋外星球內層的半徑。則有，且，以表示水的密度，則此星球表層海洋中水的總質量為 ① 由于，故①式可略去其中h的高次項面是近似寫為 ② 根據均勻球體表面處重力加速度的公式，R0 R r A O h 圖3-6-2 可得此星球表層海洋的底面和表面處的重力加速度分別為 依題述有,即 整理上式可解得 ③ 由于，故近似取2Rh-,則③式可寫為 ④ 由④和②式得此

66、星球表面的重力加速度為 ⑤ 以G=、、代入⑤式，得 解2：設行星的內層（即半徑為的球體部分）的平均密度為，則可將該半徑為的球體視為由一個均勻的水球（密度為、半徑為）和一個密度為半徑為的球疊加而成。則在水球殼層內的重力加速度應由這兩個球分別產生的加速度疊加而成。 如圖3-6-2，對于水球殼層中的任一點A，以表示上述水球在該處形成的重力加速度，則有 由上式可見，隨r的增加而增加，當r增加為r+△r時，的增加量為 又以表示上述的密度為的球在A點產生的重力加速度，則有 由上式可見，隨r的增加而減少，當r增加為r+△r時，的增加量（為一負值，表明其實際上是減少）為 上式演算中利用了近似關系。由于要求在水層內重力加速度g為恒量，即不隨r變化而變化，故應有 即 近似取r=，乃得 則行星內層密度為 由上可得此行星內外兩層分界面處的重力加速度（亦即行星表面處的重力加速度）為