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1、
判定等差數列的方法
本文介紹判定等差數列的方法，目的在于深刻理解等差數列的定義，靈活運用有關知識，為解有關數列的綜合題奠定基礎．那么怎樣判定等差數列呢？
一、定義法
如果一個數列{an}滿足an+1－an＝常數，則這個數列叫做等差數列．據此定義，要證數列是等差數列，只需證明an+1－an＝常數，這種方法叫做定義法．
例1 已知數列{an}是等差數列，而數列{bk}的通項公式為
證明 設數列{an}的公差為d，則有
二、通項公式法
大家知道，等差數列{an}的通項公式為an＝a1＋(n－1)d．反之如果數列{an}
2、的通項公式為an＝a1＋(n－1)d，則數列{an}是等差數列．這樣，數列{an}為等差數列的充分必要條件是an＝a1＋(n－1)d．因此通項公式也是判定等差數列的好方法．
求證：數列{bn}是等差數列．
證明 設等比數列{an}的公比是q，由an＞0知q＞0，于是
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三、等差中項法
三數a，A，b成等差數列，即2A＝a＋b，A叫a，b等差中項．反之，若2A＝a＋b，則a，A，b成差數列．因此，我們常用后一結論來判定等差數列．
例3 已知x，y，z成等差數列，求證x2(y＋z)，y2(x＋z)，z2(x＋y)也成等差
3、數列．
證明 ∵x2(y＋z)＋z2(x＋y)
?。絰2y＋x2z＋z2x＋z2y
＝x2y＋z2y＋xz(x＋z)
?。絰2y＋z2y＋2yxz(∵2y＝x＋z)
?。統(tǒng)(x2＋z2＋2xz)＝4y3．
而2y2(x＋z)＝2y2(2y)＝4y3，
∴x2(y＋z)＋y2(x＋y)＝2y2(z＋x)．
故x2(y＋x)、y2(z＋x)、z2(x＋y)也成等差數列．
有些數列題需要根據上面的方法證明所給數列是等差數列后，再求解．至于證明時選用哪個方法，應因題而異．
解 因為數列的第k項
大，必須前k項非負，而從第k＋1項起以后各項都是負數，因此k適合下列條件：
由①得k≤14.2，由②得k＞13.2，
所以，13.2＜k≤14.2．
由于k為自然數，故k＝14，即該數列前14項的和最大．
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