陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列的概念知識總結(jié)及例題講解素材 北師大版必修

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1、 1.1.1 數(shù)列的概念 本小節(jié)重點(diǎn)：了解數(shù)列概念、分類、通項(xiàng)公式；及通項(xiàng)公式的求法。 一、 基本概念 1. 數(shù)列的概念 按一定次序排列的一列數(shù)叫數(shù)列。 注：數(shù)列的另一定義：數(shù)列也可以看做是一個定義域?yàn)檎麛?shù)集N*，當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值。 數(shù)列中的每一個數(shù)按順序1，2，3，…，都有一個序號，叫作項(xiàng)數(shù)，每一個序號也對應(yīng)著一個數(shù)，這個數(shù)叫作數(shù)列中的項(xiàng)，例如第4個數(shù)，叫作第4項(xiàng)，第n個數(shù)，叫作第n項(xiàng)，記作an; 數(shù)列的一般形式為a1，a2，a3，…，an，…簡單記為an，其中an表示數(shù)列an的通項(xiàng). 通項(xiàng)公式：如果一個數(shù)列的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n之間的函

2、數(shù)關(guān)系可以用一個公式an=fn表示時，我們稱這個公式為這個數(shù)列的通項(xiàng)公式。 特別提示：a) 數(shù)列的通項(xiàng)公式不是唯一的，例如：-1，1，-1，1，…通項(xiàng)公式可表示為an=(-1)n或an=cosnπ; b) 不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，例如：3，3.1，3.14，3.141，3.1415，…就沒有通項(xiàng)公式. 遞推公式：如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系式可以用一個公式來表示，則這個公式就叫作遞推公式。 2. 數(shù)列的表示方法 列表法，指列出表格來表示數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系. 圖像

3、法，指在坐標(biāo)平面中用點(diǎn)(n,an)表示. 解析法，指用一數(shù)學(xué)式子表示來。例如：常用的通項(xiàng)公式. 3. 數(shù)列的分類 1 / 5 按數(shù)列中項(xiàng)數(shù)的多少來分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列. 按數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)間的大小關(guān)系來分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列. 按照任何一項(xiàng)的絕對值是否都大于某一正數(shù)來分：有界數(shù)列和無界數(shù)列. 二、 例題講解 例1. 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個通項(xiàng)公式： (1) 45，12，411，27，… an=43n+2 (2) 1,3,6,10,15,…an=n(n+1)2 (3) 12, 14,-58, 1316,… an=

4、(-1)n2n-32n (4) 6,66,666,… (5)-12, 16, -112, 120,… an=(-1)n1nn-1 (6) -1, 32,- 13, 34,- 15, 36,… an=(-1)n2+(-1)nn或 an=-1n（n為正奇數(shù)）3n(n為正偶數(shù)） 特別提示：在此種題型當(dāng)中一些常用的數(shù)列為： 1) 1，0，1，0，…; 2)-1,1,-1,1,…; 3)1,11,111,1111,… 例2. 已知數(shù)列9n2-9n+29n2, (1) 求數(shù)列的第10項(xiàng) (2) 98101是否為該數(shù)列的項(xiàng)，為什么？ (3) 求證：數(shù)列中各項(xiàng)

5、都在區(qū)間0，1內(nèi)； (4) 在區(qū)間13，23內(nèi)有無數(shù)列中的項(xiàng)？ 例3. 利用遞推公式寫出下列各題通項(xiàng)公式 (1)a1=3,an=34an-1(可用兩種方法) (2)已知數(shù)列 an滿足a1+2a2+3a3+…+nan=n+1n+2,求an (3) a1=1,an=an-1+1n(n-1)(插項(xiàng)法和疊加法組合) (4)在數(shù)列an中,已知a1=12,an+1-an=12n-1(2n+1), (5)設(shè)an是首項(xiàng)為1的正數(shù)數(shù)列，且n+1an+12-nan2+an+1an=0(n∈N+),求它的通項(xiàng)公式an.（累乘法） (6)已知數(shù)列an中，a1=1，數(shù)列bn中，b1=0

6、,當(dāng)n≥2時，an=2an-1+bn-13,bn=an-1+2bn-13,求an，bn 例4. 求下列數(shù)列中某一項(xiàng) (1) 已知數(shù)列an滿足a1=0,an+1=an-33an+1(n∈N+),求a20 (2) 已知數(shù)列an對任意p,q∈N+,有ap+aq=ap+q,若a1=19，求a36 (3) 在數(shù)列an中，a1=13，an=-1n?2an-1n≥2,求a5 (4) 已知數(shù)列an滿足a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,求a2008 例5. 利用數(shù)列的單調(diào)性解答 (1)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=5(25)2n-2-4(25)n-1,數(shù)列an的最大項(xiàng)為第x項(xiàng)

7、，最小項(xiàng)為第y項(xiàng)，則x+y= (2)設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2+knn∈N+,若數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的取值范圍. (3)設(shè)yx=log2x-2log2x(0

8、Sn的相互關(guān)系是：Sn=a1+a2+…+an; an=S1, (n=1)Sn-Sn-1,(n≥2) (1) 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n2+n+1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (2) 已知Sn=2n2-3n-1求an (3) 已知fx=x+22x≥0,又?jǐn)?shù)列an(an>0)中，a1=2，這個數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式Sn，對所有大于1的自然數(shù)n都有Sn=f(Sn-1). 1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. 2) 若bn=an+12+an22an+1an, 求b1+b2+…+bn-n的值 特別提示：請同學(xué)自行歸納出求通項(xiàng)公式的基本方法. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！