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1、
平面向量數(shù)量積的應(yīng)用
平面向量的數(shù)量積及其性質(zhì)是平面向量的重點(diǎn)內(nèi)容，在平面向量中占重要的地位.利用平面向量的數(shù)量積及其性質(zhì)可以處理向量的許多問題.下面舉例歸納說明.
一、求向量的長(zhǎng)度（模）
求向量的長(zhǎng)度的依據(jù)是：①；②設(shè)，則．
例1 已知，向量與的夾角為，求，．
解：依題意，得，，．
．
同理，.
二、求解兩向量的夾角問題
求兩非零向量與的夾角的依據(jù)是：①；②設(shè)，，則．
例2 已知是兩個(gè)非零向量，且，求與的夾角．
解：設(shè)與的夾角為，由，得．
又由，．
而，，
，
，．
三、判斷兩向量的垂直問題
判斷兩向量垂直的依據(jù)是：①若與為非零向量，則；②設(shè)非零
2、向量，，則．
1 / 4
例3 已知，則當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，向量與垂直．
解：，
．
，
．
若，則，
．
四、判斷多邊形的形狀
例4在平面四邊形中，，，，，
，問該四邊形是什么圖形？
解：，
，即；同理，．
由題意，顯然有；同理，．
四邊形是平行四邊形．
又．
四邊形是矩形．
五、求解最值問題
例5 如圖1，在中，已知，若長(zhǎng)為的線段以點(diǎn)為中點(diǎn)，問與的夾角取何值時(shí)，的值最大？并求出這個(gè)最大值．
解法一：如圖2，，．
，
．
故當(dāng)，即（與方向相同）時(shí)，的值最大，其最大值為0．
解法二：以直角頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖3所示的平面
直角坐標(biāo)系．
設(shè)，，則，
且，．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．
．
．
，
．
．
故當(dāng)，即（與方向相同）時(shí)，的值最大，其最大值為0．
六、求解探索性問題
例6 已知點(diǎn)和，問能否在軸上找到一點(diǎn)，使，若不能，請(qǐng)說明理由；若能，求出點(diǎn)坐標(biāo)．
解：假設(shè)存在點(diǎn)使，則．
，
，
．
而在方程中，，
方程無實(shí)數(shù)解，
故不存在滿足條件的點(diǎn)．
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