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1、
用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種類型
求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，則以的切點(diǎn)的切線方程為：．若曲線在點(diǎn)的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知，切線方程為．
下面例析四種常見的類型及解法．
類型一：已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程
此類題較為簡單，只須求出曲線的導(dǎo)數(shù)，并代入點(diǎn)斜式方程即可．
例1 曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ?。?
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：由則在點(diǎn)處斜率，故所求的切線方程為，即，因而選Ｂ．
類型二：已知斜率，求曲線的切線方程
此類題可利用斜率求出切點(diǎn)，再用點(diǎn)斜式方程加以解決．
2、
例2 與直線的平行的拋物線的切線方程是（ ?。?
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：設(shè)為切點(diǎn)，則切點(diǎn)的斜率為．
．
由此得到切點(diǎn)．故切線方程為，即，故選Ｄ．
評注：此題所給的曲線是拋物線，故也可利用法加以解決，即設(shè)切線方程為，代入，得，又因?yàn)?，得，故選Ｄ．
類型三：已知過曲線上一點(diǎn)，求切線方程
過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法．
例3 求過曲線上的點(diǎn)的切線方程．
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解：設(shè)想為切點(diǎn)，則切線的斜率為．
切線方程為．
．
又知切線過點(diǎn)，把它代入上述方程，得．
解得，或．
故所求切線方程為，或，即，或．
3、
評注：可以發(fā)現(xiàn)直線并不以為切點(diǎn)，實(shí)際上是經(jīng)過了點(diǎn)且以為切點(diǎn)的直線．這說明過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，解決此類問題可用待定切點(diǎn)法．
類型四：已知過曲線外一點(diǎn)，求切線方程
此類題可先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法來求解．
例4 求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程．
解：設(shè)為切點(diǎn)，則切線的斜率為．
切線方程為，即．
又已知切線過點(diǎn)，把它代入上述方程，得．
解得，即．
評注：點(diǎn)實(shí)際上是曲線外的一點(diǎn)，但在解答過程中卻無需判斷它的確切位置，充分反映出待定切點(diǎn)法的高效性．
例5 已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程．
解：曲線方程為，點(diǎn)不在曲線上．
設(shè)切點(diǎn)為，
則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足．
因，
故切線的方程為．
點(diǎn)在切線上，則有．
化簡得，解得．
所以，切點(diǎn)為，切線方程為．
評注：此類題的解題思路是，先判斷點(diǎn)A是否在曲線上，若點(diǎn)A在曲線上，化為類型一或類型三；若點(diǎn)A不在曲線上，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)并求出切點(diǎn)．
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高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修2-2教案：第2章 拓展資料：用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種類型
