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1、
導數學習需注意的幾個關系
導數是研究函數的有利工具，是高考的重要內容。在導數的學習中理解好下幾個關系，將對導數概念的和本質的掌握有極其重要的作用。
1、“過某點”和“在某點處“的關系
例1過點（--1，0）作拋物線y=x2+x+1的切線，則其中一條切線為（ ）
A 2x+y+2=0 B 3x--y+3=0 C x+y+1=0 D x--y+1=0
錯解：=2x+1 所以切線的斜率K=故切線方程為即x+y+1=0
點評“在某點處”的切線表明此點是切點，而“過某點”的切線不一定是切點。這里就忽視了二者的區(qū)別。
正解：設切點坐標是，則切線斜率為k=2x0+
2、1
因為切線過點（--1，0）所以即所以
所以切點坐標為（0，1）或(--2,3)故切線方程為x—y+1=0或3x+y—12=0所以應選D
2、的關系
例2 已知f(x)=,求。
錯解：因為f(x)=所以f(2)=故=0
點評：是導函數，是函數的一個函數值，所以要求應先求
正解：因為f(x)=，所以故=
3、（）與函數單調性的關系
- 2 - / 6
例3（05年湖北）已知向量a=(，x+1)，b= (1-x，t)若函數=ab在區(qū)間（-1，1）上是增函數，求t的取值范圍
錯解：依定義，
若在（-1，1）上是增函數，則在（-1，1）上可設>0
∵的圖象是開口向下
3、的拋物線，
∴當且僅當，且時，
在（-1，1）上滿足>0，即在（-1，1）上是增函數
故t的取值范圍是t>5
點評：若>0，則在R上是增函數反之不成立。如在R上單調遞增，但≥0所以>0是為增函數的充分不必要條件。若為增函數，則≥0，反之不成立。因為≥0，即>0或=0。當函數在某區(qū)間內恒有=0時，為常數，函數不具有單調性。所以，≥0是為增函數的必要不充分條件。一般地，使=0的離散的點不影響函數在該區(qū)上的單調性。如=x+sinx.
正解：依定義，
若在（-1，1）上是增函數，則在（-1，1）上可設≥0
∵的圖象是開口向下的拋物線，
∴當且僅當，且時，
在（-1，1）上滿足>0
4、，即在（-1，1）上是增函數
故t的取值范圍是t≥5
4、與極值點的關系
例4 已知函數f(x)=x(x—c)2在x=2處有極大值。求c的值。
錯解：由題意所以=
因為函數f(x)=x(x—c)2在x=2處有極大值，所以所以c=2或c=6
故c的值為2或6。
點評：是為極值的必要但不充分條件。判斷是不是極值點需要檢查根兩側 的符號。如果左正右負，那么是函數的一個極大值；如果左負右正，那么是函數的一個極小值；如果符號相同，那么不是函數的極值。
正解：由題意所以==
當即或時函數f(x)=x(x—c)2可能有極值。
當x=2時函數f(x)=x(x—c)2有極大值，所以c
5、>0.故
所以時 >0，當時< 0,當時>0。
所以當時，函數f(x)=x(x—c)2有極大值，所以即c=6.
5、極值與最值的關系
例5 求函數f(x)=sin2x—x在上的最大值和最小值。
錯解：=，令，得=0。解得或
當時，<0,所以f(x)在是減函數；當時＞0，所以f(x)是增函數；當時＜0，所以
f(x)是減函數。
所以當時，f(x)取最大值；當時，f(x)取最小值。
點評：極值是比較極值點附近函數值得出的，并不意味著它在函數的某個區(qū)間上最大（?。Ｒ虼?，同一函數在某一點的極大（?。┲担梢员攘硪稽c的極?。ù螅┲敌。ù螅?；而最值是指閉區(qū)間上所有函數值的比較，所以極大（小）值不一定是最大（?。┲担钪狄膊灰欢ㄊ菢O值。對閉區(qū)間上的連續(xù)函數，如果在相應的開區(qū)間內可導求上最值可簡化過程。即直接將極值點與端點的函數值比較，就可判定最大（或最小）的函數值就是最大（或最?。┲怠?
正解：=，令，得=0。解得或
所以， 又，
所以函數f(x) 在上的最大值和最小值分別為。
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