高考數(shù)學(xué)試題匯編：第4章 三角函數(shù)第3節(jié) 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

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1、 第四章 三角函數(shù) 三 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì) 【考點(diǎn)闡述】 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)．周期函數(shù)．函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像．正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)．已知三角函數(shù)值求角． 【考試要求】 （5）理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡(jiǎn)圖，理解A、ω、φ的物理意義． （6）會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx arccosx arctanx表示． 【考題分類】 (一)選擇題（共15題） 1.（安徽卷理9）動(dòng)點(diǎn)在圓上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周。已知時(shí)間時(shí)，點(diǎn)的坐

2、標(biāo)是，則當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 A、 B、 C、 D、和 【答案】D 【解析】畫出圖形，設(shè)動(dòng)點(diǎn)A與軸正方向夾角為，則時(shí)，每秒鐘旋轉(zhuǎn)，在上，在上，動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于都是單調(diào)遞增的。 【方法技巧】由動(dòng)點(diǎn)在圓上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，可知與三角函數(shù)的定義類似，由12秒旋轉(zhuǎn)一周能求每秒鐘所轉(zhuǎn)的弧度，畫出單位圓，很容易看出，當(dāng)t在變化時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)性的變化，從而得單調(diào)遞增區(qū)間. 2.（福建卷文10）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位。若所得圖象與原圖象重合，則的值不可能等于 A.4 B.6

3、 C.8 D.12 【答案】B 【解析】因?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖像向左平移個(gè)單位。若所得圖象與原圖象重合，所以 - 2 - / 17 是已知函數(shù)周期的整數(shù)倍，即，解得，故選B。 【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的周期、圖象變換等基礎(chǔ)知識(shí)。 3.（湖北卷文2）函數(shù)f(x)= 的最小正周期為 A. B. C.2 D.4 【答案】D 【解析】由T=||=4π，故D正確. 4.（江西卷文6）函數(shù)的值域?yàn)? A． B． C． D． 【答案】C 【解析】考查二次函數(shù)型值域問題。通過函數(shù)形狀發(fā)現(xiàn)此函數(shù)很像二次函數(shù)，故令 可得從而

4、求解出二次函數(shù)值域 5.（江西卷文12）如圖，四位同學(xué)在同一個(gè)坐標(biāo)系中分別選定了一個(gè)適當(dāng)?shù)膮^(qū)間，各自作出三個(gè)函數(shù)， ，的圖像如下。結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中有一位同學(xué)作出的圖像有錯(cuò)誤，那么有錯(cuò)誤的圖像是 【答案】C 【解析】考查三角函數(shù)圖像，通過三個(gè)圖像比較不難得出答案C 6.（遼寧卷理5文6）設(shè)>0,函數(shù)y=sin(x+)+2的圖像向右平移個(gè)單位后與原圖像重合，則的最小值是 （A） (B) (C) (D)3 7.（全國(guó)Ⅰ新卷理4文6）如圖，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為P0（，-），角速度為1，那么

5、點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖像大致為 【答案】C 解析：顯然，當(dāng)時(shí)，由已知得，故排除A、D，又因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)是按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，隨時(shí)間的變化質(zhì)點(diǎn)P到軸的距離先減小，再排除B，即得C． 另解：根據(jù)已知條件得，再結(jié)合已知得質(zhì)點(diǎn)P到軸的距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為，畫圖得C． 8.（全國(guó)Ⅱ卷理7）為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像 （A）向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 （B）向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 （C）向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 （D）向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 【答案】B 【命題意圖】本試題主要考查三角函數(shù)圖像的平移. 【解析】=，=，所以將

6、的圖像向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到的圖像，故選B. 9.（陜西卷理3）對(duì)于函數(shù)，下列選項(xiàng)中正確的是 （ ） （A）f（x）在（，）上是遞增的 （B）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 （C）的最小正周期為2 （D）的最大值為2 【答案】B 【解析】∵，∴易知在上是遞減的，∴選項(xiàng)錯(cuò)誤. ∵，∴易知為奇函數(shù)，∴的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴選項(xiàng)正確. ∵，∴，∴選項(xiàng)錯(cuò)誤. ∵，∴的最大值為，∴選項(xiàng)錯(cuò)誤. 故綜上知，本題應(yīng)選. 10. （陜西卷文3）函數(shù)f (x)=2sinxcosx是 [ ] (A)最小正周期為2π的奇函數(shù)

7、（B）最小正周期為2π的偶函數(shù) (C)最小正周期為π的奇函數(shù) （D）最小正周期為π的偶函數(shù) 【答案】C 【解析】因?yàn)閒 (x)=2sinxcosx=sin2x，所以它的最小正周期為π，且為奇函數(shù)，選C。 11.（四川卷理6文7）將函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像的函數(shù)解析式是 （A） （B） （C） （D） 解析：將函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖象的解析式為y＝sin(x－) 再把所得各點(diǎn)的

8、橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像的函數(shù)解析式是. 答案：C 12.（天津卷文8） 為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象，只要將的圖象上所有的點(diǎn) (A)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變 (B) 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變 (C) 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變 (D) 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變 【答案】A 【解析】由給出的三角函數(shù)圖象知，A=1，，解得，又， 所以，即原函數(shù)解析式為，所以只要將的圖象上所有的點(diǎn)先向左平移個(gè)單

9、位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變即可得到函數(shù)的圖象，選A。 【命題意圖】本題考查正弦型三角函數(shù)的圖象變換、考查正弦型三角函數(shù)解析式的求法，考查識(shí)圖能力。 13.（浙江卷理9）設(shè)函數(shù)，則在下列區(qū)間中函數(shù)不存在零點(diǎn)的是 （A） （B） （C） （D） 解析：將的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知答案選A，本題主要考察了三角函數(shù)圖像的平移和函數(shù)與方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，突出了對(duì)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的考察，對(duì)能力要求較高，屬較難題 14． （重慶卷理6）已知函數(shù) 的部分圖象如題（6）圖所示，則 A. =1 = B.

10、 =1 =- C. =2 = D. =2 = - 【答案】D 解析： 由五點(diǎn)作圖法知，= -. 15．（重慶卷文6）下列函數(shù)中，周期為，且在上為減函數(shù)的是 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】C、D中函數(shù)周期為2，所以錯(cuò)誤 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù) 而函數(shù)為增函數(shù)，所以選A （二）填空題（共5題） 1.（福建卷理14）已知函數(shù)和的圖象的對(duì)稱軸完全相同。若，則的取值范圍是 。 【答案】 【解析】由題意知，，

11、因?yàn)椋?，由三角函?shù)圖象知： 的最小值為，最大值為，所以的取值范圍是。 【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 2.（江蘇卷10）定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PP1⊥x軸于點(diǎn)P1，直線PP1與y=sinx的圖像交于點(diǎn)P2,則線段P1P2的長(zhǎng)為_____。 【答案】 [解析] 考查三角函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合思想。線段P1P2的長(zhǎng)即為sinx的值， 且其中的x滿足6cosx=5tanx，解得sinx=。線段P1P2的長(zhǎng)為 3.（浙江卷理11）函數(shù)的最小正周期是_________ . 解析：故最小正周

12、期為π，本題主要考察了三角恒等變換及相關(guān)公式，屬中檔題 4.（浙江卷文12）函數(shù)的最小正周期是 。 解析：對(duì)解析式進(jìn)行降冪擴(kuò)角，轉(zhuǎn)化為，可知其最小正周期為 ，本題主要考察了二倍角余弦公式的靈活運(yùn)用，屬容易題。 5.（上海春卷1）函數(shù)的最小正周期T=_______________。 答案： 解析：由周期公式得。 （三）解答題（共13題） 1.（北京卷理15）已知函數(shù)。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最大值和最小值。 解析：（I） （2） 因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，取最大值6；當(dāng)時(shí)，取最小值。 2.（北京卷文15）已知函數(shù) （Ⅰ）求的值

13、； （Ⅱ）求的最大值和最小值 3.（廣東卷理16）已知函數(shù)在時(shí)取得最大值4．　 (1)求的最小正周期； (2)求的解析式； (3)若(α+)=,求sinα． ，，，，． 4.（廣東卷文16）設(shè)函數(shù)，，，且以為最小正周期． （1）求； （2）求的解析式； （3）已知，求的值．w_w 5.（湖北卷理16）已知函數(shù)，． （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期； （Ⅱ）求函數(shù)的最大值，并求使取得最大值的的集合． 6.（湖北卷文16）已經(jīng)函數(shù) (Ⅰ)函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣變化得出？ （Ⅱ）求函數(shù)的最小值，并求使用取得最小值的的集合。

14、7.（湖南卷理16）已知函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的最大值； （II）求函數(shù)的零點(diǎn)的集合。 8.（湖南卷文16）已知函數(shù) （I）求函數(shù)的最小正周期。 (II) 求函數(shù)的最大值及取最大值時(shí)x的集合。 9.（江西卷理17）已知函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的取值范圍； （2）當(dāng)時(shí)，，求的值． 【解析】考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求值問題。依托三角函數(shù)化簡(jiǎn)，考查函數(shù)值域，作為基本的知識(shí)交匯問題，考查基本三角函數(shù)變換，屬于中等題. 解：（1）當(dāng)m=0時(shí)， ，由已知，得 從而得：的值域?yàn)? （2） 化簡(jiǎn)得： 當(dāng)，得：，，

15、 代入上式，m=-2. 10.（江西卷文19）已知函數(shù). （1）若，求； （2）若，求的取值范圍. 【解析】考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、三角函數(shù)值域問題。依托三角函數(shù)化簡(jiǎn)，考查函數(shù)值域，作為基本的知識(shí)交匯問題，考查基本三角函數(shù)變換，屬于中等題. 解：（1） 由得， ， 所以. （2）由（1）得 由得，所以 從而. 11.（山東卷理17）已知函數(shù) ，其圖像過點(diǎn)。 （Ⅰ） 求的值； (Ⅱ) 將函數(shù)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在上的最大值和最小值。 【解析】（Ⅰ）因?yàn)橐阎瘮?shù)圖象過點(diǎn)（,），所以有

16、 ，即有 =，所以，解得。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 所以 ==， 所以=，因?yàn)閤[0, ]，所以， 所以當(dāng)時(shí)，取最大值；當(dāng)時(shí)，取最小值。 【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及二倍角等基本公式的靈活應(yīng)用、圖象變換以及三角函數(shù)的最值問題、分析問題與解決問題的能力。 12.（山東卷文17）已知函數(shù)（）的最小正周期為， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）將函數(shù)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù) 的圖像，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值. 【命題意圖】本小題主要考察綜合運(yùn)用三角函數(shù)公式、三角函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行運(yùn)算、變形、轉(zhuǎn)換和求解的能力。 【解析】 因此

17、 1g（x），故 g（x）在此區(qū)間內(nèi)的最小值為1 13.（天津卷理17）已知函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值； （Ⅱ）若，求的值。 【命題意圖】本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力。 【解析】（1）由，得 所以函數(shù)的最小正周期為 因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又 ，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1 （2）解：由（1）可知 又因?yàn)?，所? 由，得 從而 所以。 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！