2、k－1項(xiàng) D．2k項(xiàng)
解析：1＋＋＋…＋－(1＋＋＋…＋)＝＋＋…＋，共增加了2k項(xiàng)．
答案：D
3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成( )
A．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N*)正確，再推n＝2k＋3正確
B．假設(shè)n＝2k－1(k∈N*)正確，再推n＝2k＋1正確
C．假設(shè)n＝k(k∈N*)正確，再推n＝k＋1正確
D．假設(shè)n＝k(k≥1)正確，再推n＝k＋2正確
解析：首先要注意n為奇數(shù)，其次還要使n能取到1.
答案：B
4．下列代數(shù)式(其中k∈N*)能被9整除的是( )
A．6＋67k B．2＋
3、7k－1
C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)
解析：本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題．
(1)當(dāng)k＝1時(shí)，顯然只有3(2＋7k)能被9整除．
(2)假設(shè)當(dāng)k＝n(n∈N*)時(shí)，命題成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.
這就是說(shuō)，k＝n＋1時(shí)命題也成立．
答案：D
5．滿(mǎn)足12＋23＋34＋…＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然數(shù)n等于( )
A．1 B．1或2
C．1,2,3 D．1,2,3,4
解析：當(dāng)n＝1時(shí)，左端＝12＝2，
右端＝312－31＋2＝2，命題
4、成立；
當(dāng)n＝2時(shí)，左端＝12＋23＝8，
右端＝322－32＋2＝8，命題成立；
當(dāng)n＝3時(shí)，左端12＋23＋34＝20，
右端＝332－33＋2＝20，命題成立；
當(dāng)n＝4時(shí)，左端12＋23＋34＋45＝40，
右端＝342－34＋2＝38，命題不成立．
答案：C
6．對(duì)于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同學(xué)的證明過(guò)程如下：
(1)當(dāng)n＝1時(shí)，＜1＋1，不等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立，
即＜k＋1，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立．
則上述證法( )
A．過(guò)程全部正確
B．n＝1驗(yàn)得不正確
5、
C．歸納假設(shè)不正確
D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確
解析：用數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵在于合理運(yùn)用歸納假設(shè)．
答案：D
二、填空題(共3小題，每小題5分，滿(mǎn)分15分)
7．觀(guān)察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜測(cè)第n個(gè)不等式為_(kāi)___________(n∈N*)．
解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜測(cè)：1＋＋＋…＋>.
答案：1＋＋＋…＋>
8．如圖，這是一個(gè)正六邊形的序列：
則第n個(gè)圖形的邊數(shù)為_(kāi)_______．
解析：第(1)圖共6條邊，第(2)圖共11條邊，第(3)圖共16條邊，…
6、…，其邊數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，則第(n)圖的邊數(shù)為an＝6＋(n－1)5＝5n＋1.
答案：5n＋1
9．(2011青島模擬)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，記cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試通過(guò)計(jì)算c1，c2，c3的值，推測(cè)cn＝________.
解析：c1＝2(1－a1)＝2(1－)＝，
c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2(1－)(1－)＝，
c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2(1－)(1－)(1－)＝，
故由歸納推理得cn＝.
答案：
三、解答題
10．?dāng)?shù)列{an}滿(mǎn)足Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由
7、此猜想通項(xiàng)公式an；
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想．
解：(1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，
由此猜想an＝(n∈N*)．
(2)證明：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，結(jié)論成立．
假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，
即ak＝，那么n＝k＋1(k≥1且k∈N*)時(shí)，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1.
∴2ak＋1＝2＋ak.
∴ak＋1＝＝＝，
這表明n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．
∴an＝(n∈N*)．
11．(2010江蘇高考)已知△ABC的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)．
(1)求證：cosA是有理數(shù)；
(2)求證：對(duì)
8、任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)．
證明：(1)由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知cosA＝是有理數(shù)．
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和sinAsinnA都是有理數(shù)．
①當(dāng)n＝1時(shí)，由(1)知cosA是有理數(shù)，從而有sinAsinA＝1－cos2A也是有理數(shù)．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，coskA和sinAsinkA都是有理數(shù)．
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由
cos(k＋1)A＝cosAcoskA－sinAsinkA，
sinAsin(k＋1)A＝sinA(sinAcoskA＋cosAsinkA)
＝(sinAsinA)coskA＋(sinAsinkA)cosA，
及①和歸納假
9、設(shè)，知cos(k＋1)A與sinAsin(k＋1)A都是有理數(shù)．
即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．
綜合①、②可知，對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA 是有理數(shù)．
12．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝(－1)(an＋2)，n＝1,2,3，….
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{bn}中，b1＝2，bn＋1＝，n＝1,2,3，…，證明：＜bn≤a4n－3，n＝1,2,3，….
解：(1)因?yàn)閍n＋1＝(－1)(an＋2)＝(－1)(an－)＋(－1)(2＋)＝(－1)(an－)＋，
所以an＋1－＝(－1)(an－)．
所以數(shù)列{an－}是首項(xiàng)為2－，公比為－1的等比
10、數(shù)列，
所以an－＝(－1)n，
即{an}的通項(xiàng)公式an＝[(－1)n＋1]，n＝1,2,3，….
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：
(ⅰ)當(dāng)n＝1時(shí)，因?yàn)椋?＝b1＝a1＝2，所以＜b1≤a1，結(jié)論成立；
(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，即＜bk≤a4k－3，即0＜bk－≤a4k－3－.
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，bk＋1－＝－＝＝＞0，又＜＝3－2.
所以bk＋1－＝＜(3－2)2(bk－)≤(－1)4(a4k－3－)＝a4k＋1－.
也就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．
根據(jù)(ⅰ)和 (ⅱ)知，＜bn≤a4n－3，n＝1,2,3，….
- 5 -
用心 愛(ài)心 專(zhuān)心
【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 第六章第七節(jié) 課下沖關(guān)作業(yè) 新人教A版
