【備考】高考數(shù)學(xué) （真題模擬新題分類匯編） 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 文

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1、 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) B1　函數(shù)及其表示　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 圖1－1 3．BP[2013安徽卷] 如圖1－1所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果為(　　) A. B. C. D. 3．C　[解析] 依次運算的結(jié)果是s＝，n＝4；s＝＋，n＝6；s＝＋＋，n＝8，此時輸出s，故輸出結(jié)果是＋＋＝. 14．B1，B14[2013安徽卷] 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)，若當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，則當(dāng)－1≤x≤0時，f(x)＝________． 14．－　[解析] 當(dāng)－1≤x≤0時，0≤x＋1≤1，由f(x＋1)＝2

2、f(x)可得f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1)． 11．B1，E3[2013安徽卷] 函數(shù)y＝ln1＋＋的定義域為________． 11．(0，1]　[解析] 實數(shù)x滿足1＋>0且1－x2≥0.不等式1＋>0，即>0，解得x>0或x<－1；不等式1－x2≥0的解為－1≤x≤1.故所求函數(shù)的定義域是(0，1]． 13．B1[2013福建卷] 已知函數(shù)f(x)＝則f＝________． 13．－2　[解析] f＝－tan ＝－1，f(－1)＝－2. 21．B1，B12[2013江西卷] 設(shè)函數(shù) f(x)＝a為常數(shù)且a∈(0，1)． (1)當(dāng)a＝時，求f； (2)若x0滿足f

3、(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，則稱x0為f(x)的二階周期點．證明函數(shù)f(x)有且僅有兩個二階周期點，并求二階周期點x1，x2； (3)對于(2)中的x1，x2，設(shè)A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(a2，0)，記△ABC的面積為S(a)，求S(a)在區(qū)間上的最大值和最小值． 21．解：(1)當(dāng)a＝時，f＝， f＝f＝2＝. (2)f(f(x))＝ 當(dāng)0≤x≤a2時，由x＝x解得x＝0， 因為f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二階周期點； 當(dāng)a2

4、周期點； 當(dāng)a0. (或令g(a)＝a3－2a2－2a＋2， g′(a)＝3a2－4a－2＝3， 因a∈(0，1)，g′(a)<0，則g(a

5、)在區(qū)間上的最小值為g＝>0， 故對于任意a∈，g(a)＝a3－2a2－2a＋2>0， S′(a)＝>0) 則S(a)在區(qū)間上單調(diào)遞增， 故S(a)在區(qū)間上的最小值為S＝，最大值為S＝. 12．B1[2013遼寧卷] 已知函數(shù)f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.設(shè) H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的較大值，min{p，q}表示p，q中的較小值)，記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則A－B＝(　　) A．a(chǎn)2－2a－16　　　　B．a(chǎn)2＋2

6、a－16 C．－16 D．16 12．C　[解析] 由題意知當(dāng)f(x)＝g(x)時，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，整理得x2－2ax＋a2－4＝0，所以x＝a＋2或x＝a－2， H1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝ H2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝ 由圖形可知(圖略)，A＝H1(x)min＝－4a－4，B＝H2(x)max＝12－4a，則A－B＝－16，故選C. 7．B1[2013遼寧卷] 已知函數(shù)f(x)＝ln(－3x)＋1，則f(lg 2)＋flg ＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 7．D　[解析] 由已

7、知條件可知，f(x)＋f(－x)＝ln(－3x)＋1＋ln(＋3x)＋1＝2，而lg 2＋lg＝lg 2－lg 2＝0，故而f(lg 2)＋f＝2. 圖1－9 19．B1，I2[2013新課標全國卷Ⅱ] 經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖1－9所示．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130 t該產(chǎn)品．以X(單位：t，100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤． (1)將T表示為X的函數(shù)； (

8、2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率． 19．解：(1)當(dāng)X∈[100，130)時， T＝500X－300(130－X) ＝800X－39 000. 當(dāng)X∈[130，150]時，T＝500130＝65 000. 所以T＝ (2)由(1)知利潤T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng) 120≤X≤150. 由直方圖知需求量X∈[120，150]的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7. 5．B1[2013山東卷] 函數(shù)f(x)＝＋的定義域為(　　) A．(－3，0] B．(－3，1] C．(－∞，－3)∪(－3，0] D

9、．(－∞，－3)∪(－3，1] 5．A　[解析] 要使函數(shù)有意義，須有解之得－30，得k2>3. 所以，k的取值范圍是(－∞，－)∪(＋∞)． (2)因為M，N在直線l上，可設(shè)點M，N的坐標分別為

10、(x1，kx1)，(x2，kx2)，則 |OM|2＝(1＋k2)x，|ON|2＝(1＋k2)x. 又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2， 由＝＋，得 ＝＋， 即＝＋＝. 由(*)式可知，x1＋x2＝，x1x2＝， 所以m2＝. 因為點Q在直線y＝kx上，所以k＝，代入m2＝中并化簡，得5n2－3m2＝36. 由m2＝及k2>3，可知00， 所以n＝＝. 于是，n與m的函數(shù)關(guān)系為n＝(m∈(－，0)∪(0，))． 11．B1[2013浙江卷] 已知函數(shù)f(x)＝ .若f(a)＝3，則實數(shù)a＝

11、________． 11．10　[解析] f(a)＝＝3.則a－1＝9，a＝10. 3．B1[2013重慶卷] 函數(shù)y＝的定義域是(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞) 3．C　[解析] 由題可知所以x＞2且x≠3，故選C. B2　反函數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6．B2[2013全國卷] 函數(shù)f(x)＝log2(x>0)的反函數(shù)f－1(x)＝(　　) A.(x>0) B.(x≠0) C．2x－1(x∈R) D．2x－1(x>0) 6．A　[解析] 令y＝log2，則y>

12、0，且1＋＝2y，解得x＝，交換x，y得f－1(x)＝(x>0)． B3　函數(shù)的單調(diào)性與最值　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13．B3[2013北京卷] 函數(shù)f(x)＝的值域為________． 13．(－∞，2)　[解析] 函數(shù)y＝logx在(0，＋∞)上為減函數(shù)，當(dāng)x≥1時，函數(shù)y＝logx的值域為(－∞，0]；函數(shù)y＝2x在R上是增函數(shù)，當(dāng)x<1時，函數(shù)y＝2x的值域為(0，2)，所以原函數(shù)的值域為(－∞，2)． 3．B4，B3[2013北京卷] 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是(　　) A．y＝ B．y＝e－x C．y＝－x

13、2＋1 D．y＝lg |x| 3．C　[解析] 對于A，y＝是奇函數(shù)，排除．對于B，y＝e－x既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，排除．對于D，y＝lg |x|是偶函數(shù)，但在(0，＋∞)上有y＝lgx，此時單調(diào)遞增，排除．只有C符合題意． 12．B3，B6[2013新課標全國卷Ⅱ] 若存在正數(shù)x使2x(x－a)<1成立，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 12．D　[解析] 由題意存在正數(shù)x使得a>x－成立，即a>.由于x－是(0，＋∞)上的增函數(shù)，故x－>0－＝－1，所以a>－1.答案為D. 11．B3，B5，B8

14、，B12[2013新課標全國卷Ⅱ] 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列結(jié)論中錯誤的是(　　) A．x0∈R，f(x0)＝0 B．函數(shù)y＝f(x)的圖像是中心對稱圖形 C．若x0是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間(－∞，x0)單調(diào)遞減 D．若x0是f(x)的極值點，則f′(x0)＝0 11．C　[解析] x→－∞時，f(x)<0，x→＋∞時，f(x)>0，又f(x)連續(xù)，x0∈R，f(x0)＝0，A正確．通過平移變換，函數(shù)可以化為f(x)＝x3＋c，從而函數(shù)y＝f(x)的圖像是中心對稱圖形，B正確．若x0是f(x)的極小值點，可能還有極大值點x1，若x1

15、(x)在區(qū)間(x1，x0)單調(diào)遞減，C錯誤．D正確．故答案為C. 21．B3，B9，B12[2013四川卷] 已知函數(shù)f(x)＝其中a是實數(shù)．設(shè)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))為該函數(shù)圖像上的兩點，且x1

16、1)，點B處的切線斜率為f′(x2)． 故當(dāng)點A處的切線與點B處的切線垂直時，有f′(x1)f′(x2)＝－1. 當(dāng)x<0時，對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f′(x)＝2x＋2. 因為x10， 因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－時等號成立 所以，函數(shù)f(x)的圖像在點A，B處的切線互相垂直時，有x2－x1≥1. (3)當(dāng)x1x1>0時，f′(x1)≠f′(x2)，故x1<0

17、，函數(shù)f(x)的圖像在點(x1，f(x1))處的切線方程為 y－(x＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即 y＝(2x1＋2)x－x＋a. 當(dāng)x2>0時，函數(shù)f(x)的圖像在點(x2，f(x2))處的切線方程為y－ln x2＝(x－x2)，即y＝x＋ln x2－1. 兩切線重合的充要條件是 由①及x1<0h(2)＝

18、－ln 2－1， 所以a>－ln2－1， 而當(dāng)t∈(0，2)且t趨近于0時，h(t)無限增大， 所以a的取值范圍是(－ln 2－1，＋∞)． 故當(dāng)函數(shù)f(x)的圖像在點A，B處的切線重合時，a的取值范圍是(－ln 2－1，＋∞)． 10．B3，B12[2013四川卷] 設(shè)函數(shù)f(x)＝(a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))．若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b成立，則a的取值范圍是(　　) A．[1，e] B．[1，1＋e] C．[e，1＋e] D．[0，1] 10．A　[解析] 易得f(x)在[0，1]上是增函數(shù)，對于b∈[0，1]，如果f(b)＝c＞b，則f(f(b))＝f

19、(c)＞f(b)＝c＞b，不可能有f(f(b))＝b；同理，當(dāng)f(b)＝d＜b時，則f(f(b))＝f(d)＜f(b)＝d＜b，也不可能有f(f(b))＝b；因此必有f(b)＝b，即方程f(x)＝x在[0，1]上有解，即＝x.因為x≥0，兩邊平方得ex＋x－a＝x2，所以a＝ex－x2＋x.記g(x)＝ex－x2＋x，則g′(x)＝ex－2x＋1. 當(dāng)x∈時，ex＞0，－2x＋1≥0，故g′(x)＞0. 當(dāng)x∈時，ex＞＞1，－2x＋1≥－1，故g′(x)＞0，綜上，g′(x)在x∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上為增函數(shù)，值域為[g(0)，g(1)]，即[1，e]，從而a

20、的取值范圍是[1，e]． B4　函數(shù)的奇偶性與周期性　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．B4，B3[2013北京卷] 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是(　　) A．y＝　　　　　　　B．y＝e－x C．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x| 3．C　[解析] 對于A，y＝是奇函數(shù)，排除．對于B，y＝e－x既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，排除．對于D，y＝lg |x|是偶函數(shù)，但在(0，＋∞)上有y＝lgx，此時單調(diào)遞增，排除．只有C符合題意． 13．B4[2013全國卷] 設(shè)f(x)是以2為周期的函數(shù)，且當(dāng)x∈[1，3)時，f(x)＝x－

21、2，則f(－1)＝________ 13．－1　[解析] f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1. 2．B4[2013廣東卷] 函數(shù)y＝的定義域是(　　) A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞) 2．C　[解析] 由題知得x∈(－1，1)∪(1，＋∞)，故選C. 8．B4[2013湖北卷] x為實數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)＝x－[x]在R上為(　　) A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．周期函數(shù) 8．D　[解析] 作出函數(shù)f(x)＝x－[x]的大致圖像如下： 觀

22、察圖像，易知函數(shù)f(x)＝x－[x]是周期函數(shù)． 4．B4[2013湖南卷] 已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 4．B　[解析] 由函數(shù)的奇偶性質(zhì)可得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)．根據(jù)f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4，可得2g(1)＝6，即g(1)＝3，選B. 11．B4[2013江蘇卷] 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表

23、示為________． 11．(－5，0)∪(5，＋∞)　[解析] 設(shè)x<0，則－x>0.因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋4x)． 又f(0)＝0，于是不等式f(x)>x等價于 或 解得x>5或－50時，f(x)＝x2＋，則f(－1)＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－2 3．D　[解析] ∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)＝－＝－2. 7．B4，B7[2013天津卷] 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函

24、數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增．若實數(shù)a滿足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，則a的取值范圍是(　　) A．[1，2] B．0， C.，2 D．(0，2] 7．C　[解析] ∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(log2a)＝f(loga)，又∵f(log2a)＋f≤2f(1)，∴f(log2a)≤f(1)，即|log2a|≤1，解之得≤a≤2. 9．B4和B7[2013重慶卷] 已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，則f(lg(lg 2))＝(　　) A．－5 B．－1 C．3 D．4 9．C　[解析] 因為f(l

25、g(log210))＝f＝f(－lg(lg 2))＝5，又因為f(x)＋f(－x)＝8，所以f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝5＋f(lg(lg2))＝8，所以f(lg(lg 2))＝3，故選C. B5　二次函數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6．B5，B9[2013湖南卷] 函數(shù)f(x)＝ln x的圖像與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4的圖像的交點個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 6．A　[解析] 方法一：作出函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝x2－4x＋4的圖像如圖所示 可知，其交點個數(shù)為2，選C. 方法二(數(shù)值法)

26、 x 1 2 4 f(x)＝ln x 0 ln 2(>0) ln 4(<4) g(x)＝x2－4x＋4 1 0 4 可知它們有2個交點，選C. 2．B5[2013江西卷] 若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一個元素，則a＝(　　) A．4 B．2 C．0 D．0或4 2．A　[解析] 當(dāng)a＝0時，A＝；當(dāng)a≠0時，Δ＝a2－4a＝0，則a＝4，故選A. 11．B3，B5，B8，B12[2013新課標全國卷Ⅱ] 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列結(jié)論中錯誤的是(　　) A．x0∈R，f(x0)＝0 B．函數(shù)y＝f(x)的圖像

27、是中心對稱圖形 C．若x0是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間(－∞，x0)單調(diào)遞減 D．若x0是f(x)的極值點，則f′(x0)＝0 11．C　[解析] x→－∞時，f(x)<0，x→＋∞時，f(x)>0，又f(x)連續(xù)，x0∈R，f(x0)＝0，A正確．通過平移變換，函數(shù)可以化為f(x)＝x3＋c，從而函數(shù)y＝f(x)的圖像是中心對稱圖形，B正確．若x0是f(x)的極小值點，可能還有極大值點x1，若x1

28、取值范圍是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2，1] D．[－2，0] 12．D　[解析] 函數(shù)y＝|f(x)|＝在同一坐標系中畫出y＝|f(x)|，y＝ax的圖像如圖所示，問題等價于直線y＝ax不在函數(shù)y＝|f(x)|圖像的上方，顯然a>0時，y＝ln (x＋1)的圖像不可能恒在直線y＝ax的上方，故a≤0；由于直線y＝ax與曲線y＝x2－2x均過坐標原點，所以滿足條件的直線y＝ax的極端位置是曲線y＝x2－2x在點(0，0)處的切線，y′＝2x－2，當(dāng)x＝0時y′＝－2.所以－2≤a≤0. 7．B5[2013浙江卷] 已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝a

29、x2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，則(　　) A．a(chǎn)>0，4a＋b＝0 B．a(chǎn)<0，4a＋b＝0 C．a(chǎn)>0，2a＋b＝0 D．a(chǎn)<0，2a＋b＝0 7．A　[解析] 若f(0)＝f(4)，則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對稱，則－＝2，則4a＋b＝0，而f(0)＝f(4)>f(1)，故開口向上，所以a>0，4a＋b＝0.所以選擇A. B6　指數(shù)與指數(shù)函數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12．B3，B6[2013新課標全國卷Ⅱ] 若存在正數(shù)x使2x(x－a)<1成立，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C

30、．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 12．D　[解析] 由題意存在正數(shù)x使得a>x－成立，即a>.由于x－是(0，＋∞)上的增函數(shù)，故x－>0－＝－1，所以a>－1.答案為D. B7　對數(shù)與指數(shù)函數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8．B7，E1[2013新課標全國卷Ⅱ] 設(shè)a＝log32，b＝log52，c＝log23，則(　　) A．a(chǎn)>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 8．D　[解析] a－b＝log32－log52＝－＝>0a>b，c＝log23>1，a<1，b<1，所以c>a>b，答案為D. 16．B7，M1[20

31、13山東卷] 定義“正對數(shù)”：ln＋x＝現(xiàn)有四個命題： ①若a>0，b>0，則ln＋(ab)＝bln＋a； ②若a>0，b>0，則ln＋(ab)＝ln a＋ln＋b； ③若a>0，b>0，則ln＋≥ln＋a－ln＋b； ④若a>0，b>0，則ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2. 其中的真命題有________．(寫出所有真命題的編號) 16．①③④　[解析] ①中，當(dāng)ab≥1時，∵b>0，∴a≥1，ln＋ab＝ln ab＝bln a＝bln＋a；當(dāng)00，∴01時，左邊

32、＝ln＋(ab)＝0，右邊＝ln＋a＋ln＋b＝ln a＋0＝ln a>0，∴②不成立． ③中，當(dāng)≤1，即a≤b時，左邊＝0，右邊＝ln＋a－ln＋b≤0，左邊≥右邊，成立；當(dāng)>1時，左邊＝ln ＝ln a－ln b>0，若a>b>1時，右邊＝ln a－ln b，左邊≥右邊成立；若01>b>0，左邊＝ln ＝ln a－ln b>ln a，右邊＝ln a，左邊≥右邊成立，∴③正確． ④中，若00，左邊≤右邊；若a＋b≥1，ln＋(a＋b)－ln 2＝ln

33、(a＋b)－ln 2＝ln. 又∵≤a或≤b，a，b至少有1個大于1， ∴l(xiāng)n≤ln a或ln≤ln b，即有l(wèi)n＋(a＋b)－ln 2＝ln (a＋b)－ln 2＝ln≤ln＋a＋ln＋b，∴④正確． 7．B4，B7[2013天津卷] 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增．若實數(shù)a滿足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，則a的取值范圍是(　　) A．[1，2] B．0， C.，2 D．(0，2] 7．C　[解析] ∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(log2a)＝f(loga)，又∵f(log2a)＋f≤2f(1)，∴f(log2a)≤f(1

34、)，即|log2a|≤1，解之得≤a≤2. 3．B7[2013陜西卷] 設(shè)a，b，c均為不等于1的正實數(shù)，則下列等式中恒成立的是(　　) A．logablogcb＝logca B．logablogca＝logcb C．loga(bc)＝logablogac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 3．B　[解析] 利用對數(shù)的運算性質(zhì)可知C，D是錯誤的．再利用對數(shù)運算性質(zhì)logablogcb≠logca.又因為logablogca＝＝＝logcb，故選B. 11．B7[2013四川卷] lg ＋lg 的值是________． 11．1　[解析] lg ＋lg ＝lg (

35、)＝lg ＝lg 10＝1. 9．B4和B7[2013重慶卷] 已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，則f(lg(lg 2))＝(　　) A．－5 B．－1 C．3 D．4 9．C　[解析] 因為f(lg(log210))＝f＝f(－lg(lg 2))＝5，又因為f(x)＋f(－x)＝8，所以f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝5＋f(lg(lg2))＝8，所以f(lg(lg 2))＝3，故選C. B8　冪函數(shù)與函數(shù)的圖像　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5．B8[2013福建卷] 函數(shù)f(x)

36、＝ln(x2＋1)的圖像大致是(　　) 圖1－1 5．A　[解析] f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，又過點(0，0)，故選A. 11．B3，B5，B8，B12[2013新課標全國卷Ⅱ] 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列結(jié)論中錯誤的是(　　) A．x0∈R，f(x0)＝0 B．函數(shù)y＝f(x)的圖像是中心對稱圖形 C．若x0是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間(－∞，x0)單調(diào)遞減 D．若x0是f(x)的極值點，則f′(x0)＝0 11．C　[解析] x→－∞時，f(x)<0，x→＋∞時，f(x)>0，又f(x)連續(xù)，x0∈R，f(x0)＝

37、0，A正確．通過平移變換，函數(shù)可以化為f(x)＝x3＋c，從而函數(shù)y＝f(x)的圖像是中心對稱圖形，B正確．若x0是f(x)的極小值點，可能還有極大值點x1，若x1

38、x)＝3x2＋2ax＋b，根據(jù)已知，得3x2＋2ax＋b＝0有兩個不同的實根x1，x2，且x1

39、{2，3} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{3，4，5} 8．B　[解析] 問題等價于求直線y＝kx與函數(shù)y＝f(x)圖像的交點個數(shù)，從圖中可以看出交點個數(shù)可以為2，3，4，故n的取值范圍是{2，3，4}． 18．B11，B12，B9，B14[2013北京卷] 已知函數(shù)f(x)＝x2＋xsin x＋cos x. (1)若曲線y＝f(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切，求a與b的值； (2)若曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個不同交點，求b的取值范圍． 18．解：由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得 f′(x)＝x(2＋cos x)． (1)因為曲

40、線y＝f(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)． 解得a＝0，b＝f(0)＝1. (2)令f ′(x)＝0，得x＝0. f(x)與f′(x)的情況如下： x (－∞，0) 0 (0，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  1  所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f(0)＝1是f(x)的最小值． 當(dāng)b≤1時，曲線y＝f(x)與直線y＝b最多只有一個交點； 當(dāng)b>1時，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1

41、， 所以存在x1∈(－2b，0)，x2∈(0，2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b. 由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上均單調(diào)，所以當(dāng)b>1時，曲線y＝f(x)與直線y＝b有且僅有兩個不同交點． 綜上可知，如果曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個不同交點，那么b的取值范圍是(1，＋∞)． 6．B5，B9[2013湖南卷] 函數(shù)f(x)＝ln x的圖像與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4的圖像的交點個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 6．A　[解析] 方法一：作出函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝x2－4x＋4的圖像如圖所示 可知，其交點個數(shù)為2，選

42、C. 方法二(數(shù)值法) x 1 2 4 f(x)＝ln x 0 ln 2(>0) ln 4(<4) g(x)＝x2－4x＋4 1 0 4 可知它們有2個交點，選C. 8．B9[2013天津卷] 設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若實數(shù)a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則(　　) A．g(a)<0

43、 所以g(a)<0

44、)． 故當(dāng)點A處的切線與點B處的切線垂直時，有f′(x1)f′(x2)＝－1. 當(dāng)x<0時，對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f′(x)＝2x＋2. 因為x10， 因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－時等號成立 所以，函數(shù)f(x)的圖像在點A，B處的切線互相垂直時，有x2－x1≥1. (3)當(dāng)x1x1>0時，f′(x1)≠f′(x2)，故x1<0

45、(x1))處的切線方程為 y－(x＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即 y＝(2x1＋2)x－x＋a. 當(dāng)x2>0時，函數(shù)f(x)的圖像在點(x2，f(x2))處的切線方程為y－ln x2＝(x－x2)，即y＝x＋ln x2－1. 兩切線重合的充要條件是 由①及x1<0h(2)＝－ln 2－1， 所以a>－ln

46、2－1， 而當(dāng)t∈(0，2)且t趨近于0時，h(t)無限增大， 所以a的取值范圍是(－ln 2－1，＋∞)． 故當(dāng)函數(shù)f(x)的圖像在點A，B處的切線重合時，a的取值范圍是(－ln 2－1，＋∞)． B10　函數(shù)模型及其應(yīng)用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5．B10[2013湖北卷] 小明騎車上學(xué)，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛，與以上事件吻合得最好的圖像是(　　) 圖1－1 5．C　[解析] 由題意可知函數(shù)圖像最開始為“斜率為負的線段”，接著為“與x軸平行的線段”，最后為“斜率為負值，且小于之前斜率的線段”

47、．觀察選項中圖像可知，C項符合，故選C. 10．B10[2013陜西卷] 設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則對任意實數(shù)x，有(　　) A．[－x]＝－[x] B.＝[x] C．[2x]＝2[x] D．[x]＋＝[2x] 10．D　[解析] 可取特值x＝3.5，則[－x]＝[－3.5]＝－4，－[x]＝－[3.5]＝－3，故A錯．x＋＝[3.5＋0.5]＝4，而[x]＝[3.5]＝3，故B錯. [2x]＝[7]＝7，2[x]＝2[3.5]＝6，故C錯．[x]＋ x＋＝7，而[2x]＝[7]＝7，故只有D正確． B11　導(dǎo)數(shù)及其運算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

48、 18．B11，B12，B9，B14[2013北京卷] 已知函數(shù)f(x)＝x2＋xsin x＋cos x. (1)若曲線y＝f(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切，求a與b的值； (2)若曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個不同交點，求b的取值范圍． 18．解：由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得 f′(x)＝x(2＋cos x)． (1)因為曲線y＝f(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)． 解得a＝0，b＝f(0)＝1. (2)令f ′(x)＝0，得x＝0. f(x)與f′(x)的情況如下：

49、 x (－∞，0) 0 (0，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  1  所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f(0)＝1是f(x)的最小值． 當(dāng)b≤1時，曲線y＝f(x)與直線y＝b最多只有一個交點； 當(dāng)b>1時，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝11時，曲線y＝f(x)與直線y＝b有且僅有兩個不同交點． 綜

50、上可知，如果曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個不同交點，那么b的取值范圍是(1，＋∞)． 10．B11[2013全國卷] 已知曲線y＝x4＋ax2＋1在點(－1，a＋2)處切線的斜率為8，則a＝(　　) A．9 B．6 C．－9 D．－6 10．D　[解析] y′＝4x3＋2ax，當(dāng)x＝－1時y′＝8，故8＝－4－2a，解得a＝－6. 12．B11[2013廣東卷] 若曲線y＝ax2－ln x在點(1，a)處的切線平行于x軸，則a＝________ 12.　[解析] 易知點(1，a)在曲線y＝ax2－ln x上，y′＝2ax－，∴＝2a－1＝0，∴a＝. 11．B11[2

51、013江西卷] 若曲線y＝xα＋1(α∈R)在點(1，2)處的切線經(jīng)過坐標原點，則α＝________． 11．2　[解析] y′＝αxα－1，y′＝α，所以切線方程為y－2＝α(x－1)，該切線過原點，得α＝2. 21．B11，B12[2013陜西卷] 已知函數(shù)f(x)＝ex，x∈R. (1)求f(x)的反函數(shù)的圖像上點(1，0)處的切線方程； (2)證明：曲線y＝f(x)與曲線y＝x2＋x＋1有唯一公共點； (3)設(shè)a

52、. 于是在點(1，0)處切線方程為y＝x－1. (2)方法一：曲線y＝ex與y＝x2＋x＋1公共點的個數(shù)等于函數(shù)φ(x)＝ex－x2－x－1零點的個數(shù)． ∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x)存在零點x＝0. 又φ′(x)＝ex－x－1，令h(x)＝φ′(x)＝ex－x－1， 則h′(x)＝ex－1. 當(dāng)x<0時，h′(x)<0，∴φ′(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減； 當(dāng)x>0時，h′(x)>0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． ∴φ′(x)在x＝0有唯一的極小值φ′(0)＝0， 即φ′(x)在R上的最小值為φ′(0)＝0， ∴φ′(x)≥0(僅當(dāng)x＝0時等號成立)，

53、∴φ(x)在R上是單調(diào)遞增的， ∴φ(x)在R上有唯一的零點． 故曲線y＝f(x)與曲線y＝x2＋x＋1有唯一公共點． 方法二：∵ex>0，x2＋x＋1>0， ∴曲線y＝ex與y＝x2＋x＋1公共點的個數(shù)等于 曲線y＝與直線y＝1公共點的個數(shù)． 設(shè)φ(x)＝，則φ(0)＝1，即x＝0時，兩曲線有公共點． 又φ′(x)＝＝≤0(僅當(dāng)x＝0時等號成立)， ∴φ(x)在R上單調(diào)遞減， ∴φ(x)與y＝1有唯一的公共點， 故曲線y＝f(x)與y＝x2＋x＋1有唯一的公共點． (3)－f＝－e ＝＝. 設(shè)函數(shù)u(x)＝ex －－2x(x≥0)，則u′(x)＝ex＋－2≥2－2＝0

54、. ∴u′(x)≥0(僅當(dāng)x＝0時等號成立)， ∴u(x)單調(diào)遞增． 當(dāng)x>0時，u(x)>u(0)＝0. 令x＝，則得e－e－(b－a)>0. ∴>f. 20．B11、B12[2013新課標全國卷Ⅰ] 已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值． 20．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8. 從而a＝4，b＝4. (2)由(1)知，f(x)＝4ex(

55、x＋1)－x2－4x. f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2). 令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2. 從而當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈(－2，－ln 2)時，f′(x)<0. 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－2，－ln 2)上單調(diào)遞減． 當(dāng)x＝－2時，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(－2)＝4(1－e－2)． 20．B11和B12[2013重慶卷] 某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)

56、面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率)． (1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域； (2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大． 20．解：(1)因為蓄水池側(cè)面的總成本為1002πrh＝200πrh元，底面的總成本為160πr2元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元，又據(jù)題意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝(300－4r2)，從而 V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)． 因為r>0，又由h>0可得r<5 ，故函數(shù)V(r)的

57、定義域為(0，5 )． (2)因為V(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(r2＝－5不在定義域內(nèi)，舍去)． 當(dāng)r∈(0，5)時，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上為增函數(shù)；當(dāng)r∈(5，5 )時，V′(r)<0，故V(r)在(5，5 )上為減函數(shù)． 由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時h＝8，即當(dāng)r＝5，h＝8時，該蓄水池的體積最大． B12　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 20．E3，B12[2013安徽卷] 設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，區(qū)間

58、I＝{x|f(x)>0}． (1)求I的長度(注：區(qū)間(α，β)的長度定義為β－α)； (2)給定常數(shù)k∈(0，1)，當(dāng)1－k≤a≤1＋k時，求I長度的最小值． 20．解：(1)因為方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有兩個實根x1＝0，x2＝， 故f(x)>0的解集為{x|x10，d(a)單調(diào)遞增； 當(dāng)1

59、1－k或a＝1＋k處取得． 而＝＝<1，故d(1－k)

60、f(x)＋b＝0必然有f(x)＝x1或f(x)＝x2.由于f(x1)＝x1且x1

61、＝f(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)． 解得a＝0，b＝f(0)＝1. (2)令f ′(x)＝0，得x＝0. f(x)與f′(x)的情況如下： x (－∞，0) 0 (0，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  1  所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f(0)＝1是f(x)的最小值． 當(dāng)b≤1時，曲線y＝f(x)與直線y＝b最多只有一個交點； 當(dāng)b>1時，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1

62、 所以存在x1∈(－2b，0)，x2∈(0，2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b. 由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上均單調(diào)，所以當(dāng)b>1時，曲線y＝f(x)與直線y＝b有且僅有兩個不同交點． 綜上可知，如果曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個不同交點，那么b的取值范圍是(1，＋∞)． 21．B12、B14[2013全國卷] 已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1. (1)當(dāng)a＝－時，討論f(x)的單調(diào)性； (2)若x∈[2，＋∞)時，f(x)≥0，求a的取值范圍． 21．解：(1)當(dāng)a＝－時，f(x)＝x3－3 x2＋3x＋1， f′(x)＝3x2－6 x＋

63、3. 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1. 當(dāng)x∈(－∞，－1)時，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上是增函數(shù)； 當(dāng)x∈(－1，＋1)時，f′(x)<0，f(x)在(－1，＋1)上是減函數(shù)； 當(dāng)x∈(＋1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函數(shù)． (2)由f(2)≥0得a≥－. 當(dāng)a≥－，x∈(2，＋∞)時， f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3＝ 3(x－2)>0， 所以f(x)在(2，＋∞)上是增函數(shù)，于是當(dāng)x∈[2，＋∞)時，f(x)≥f(2)≥0. 綜上，a的取值范圍是. 22．B12，B14[2013福建卷] 已知函數(shù)f(

64、x)＝x－1＋(a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))． (1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸，求a的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值； (3)當(dāng)a＝1時，若直線l：y＝kx－1與曲線y＝f(x)沒有公共點，求k的最大值． 22．解：(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－. 又曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸，得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e. (2)f′(x)＝1－， ①當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，f(x)為(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)無極值． ②當(dāng)a>0時，令f′(x)＝0，得ex＝a，x＝ln a. 當(dāng)

65、x∈(－∞，ln a)時，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(ln a，＋∞)時，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝ln a處取得極小值，且極小值為f(ln a)＝ln a，無極大值． 綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)無極值； 當(dāng)a>0時，f(x)在x＝ln a處取得極小值ln a，無極大值． (3)方法一：當(dāng)a＝1時，f(x)＝x－1＋. 令g(x)＝f(x)－(kx－1)＝(1－k)x＋， 則直線l：y＝kx－1與曲線y＝f(x)沒有公共點， 等價于方程g(x)＝0在R上沒有實數(shù)解． 假設(shè)k>1，此時g(0)

66、＝1>0，g＝－1＋<0， 又函數(shù)g(x)的圖像連續(xù)不斷，由零點存在定理，可知g(x)＝0在R上至少有一解，與“方程g(x)＝0在R上沒有實數(shù)解”矛盾，故k≤1. 又k＝1時，g(x)＝>0，知方程g(x)＝0在R上沒有實數(shù)解． 所以k的最大值為1. 方法二：當(dāng)a＝1時，f(x)＝x－1＋. 直線l：y＝kx－1與曲線y＝f(x)沒有公共點， 等價于關(guān)于x的方程kx－1＝x－1＋在R上沒有實數(shù)解，即關(guān)于x的方程： (k－1)x＝(*)在R上沒有實數(shù)解． ①當(dāng)k＝1時，方程(*)可化為＝0，在R上沒有實數(shù)解． ②當(dāng)k≠1時，方程(*)化為＝xex. 令g(x)＝xex，則有g(shù)′(x)＝(1＋x)ex. 令g′(x)＝0，得x＝－1， 當(dāng)x變化時，g′(x)，g(x)的變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，＋∞) g′(x) － 0 ＋ g(x)  － 