高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運算教師用書 理

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1、 第一節(jié)　平面向量的概念及其線性運算 ☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆ 考綱要求 真題舉例 命題角度 1.了解向量的實際背景； 2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義； 3.理解向量的幾何表示； 4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義； 5.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義； 6.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義。 2015，全國卷Ⅰ，7,5分(平面向量的線性運算) 2015，全國卷Ⅱ，13,5分(平面向量的線性運算) 2014，北京卷，10,5分(平面向量的線性運算) 2014，浙江卷，8,5分(平面向量的概念) 高考對

2、本講內(nèi)容的考查以向量的線性運算為主；以向量的概念和線性運算知識為載體，與三角函數(shù)等知識綜合考查的可能性較大，復(fù)習(xí)時應(yīng)予以關(guān)注。試題多為客觀題，難度不大，分值約為5分。 微知識　小題練 自|主|排|查 1．向量的有關(guān)概念 名稱 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模) 平面向量是自由向量 零向量 長度為零的向量，其方向是任意的 記作0 單位向量 長度等于1個單位的向量 非零向量a的單位向量為 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0與任一向量平行或共線 共線向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共線向量 相等向量

3、 長度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小 相反向量 長度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 2．向量的線性運算 向量 運算 定義 法則 (或幾何意義) 運算律 加法 求兩個向量和運算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a。 (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)。 減法 求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實數(shù)λ與向量a的積的運算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時

4、，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝ λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa。 微點提醒 1．三個常用的結(jié)論： (1)零向量與任何向量共線。 (2)平行向量與起點無關(guān)。 (3)若存在非零實數(shù)λ，使得＝λ或＝λ或＝λ，則A，B，C三點共線。 2．三個注意點： (1)向量共線與線段共線不同，前者可以不在同一直線上，而后者必須在同一直線上。同樣，兩個平行向量與兩條平行直線也是不同的，因為兩個平行向量可以移到同一直線上。 (2)作

5、兩個向量的差時，要注意向量的方向是指向被減向量的終點。 (3)在向量共線的充要條件中易忽視“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個。 小|題|快|練 一 、走進(jìn)教材 1．(必修4P78A組T5改編)已知三角形ABC，用與表示BC邊上的中線向量，則＝________。 【解析】　＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋。 【答案】　＋ 2．(必修4P92A組T11改編)在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD為(　　) A．平行四邊形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【解析】　因為＝＋＋＝－8a－2b＝2，所以∥，且||≠|(zhì)

6、|，所以四邊形ABCD為梯形。故選C。 【答案】　C 二、雙基查驗 1．若向量a與b不相等，則a與b一定(　　) A．有不相等的模 B．不共線 C．不可能都是零向量 D．不可能都是單位向量 【解析】　因為所有的零向量都是相等的向量，故選C。 【答案】　C 2．若m∥n，n∥k，則向量m與向量k(　　) A．共線 B．不共線 C．共線且同向 D．不一定共線 【解析】　若m∥0,0∥k，則k與m不一定共線，故選D。 【答案】　D 3．若向量a，b滿足|a|＝3，|b|＝8，則|a＋b|的最小值為(　　) A．11 B．2 C．4 D．5 【解析】

7、　當(dāng)a與b共線且反向時，|a＋b|的最小值為5。故選D。 【答案】　D 4．已知a，b是非零向量，若|a＋b|＝|a－b|，則以a，b為鄰邊構(gòu)成的四邊形的形狀為________。 【解析】　如圖，在以a與b為鄰邊的四邊形中，|a＋b|與|a－b|分別為四邊形的兩條對角線，故由對角線長相等的平行四邊形是矩形可知，以a，b為鄰邊的四邊形是矩形。 【答案】　矩形 5．已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________。 【解析】　由已知得a＋λb＝－k(b－3a)， ∴解得 【答案】　－ 微考點　大課堂 考點一 平面向量的有關(guān)概念

8、 【典例1】　給出下列四個命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b； ②若＝，則四邊形ABCD為平行四邊形； ③若a與b同向，且|a|＞|b|，則a＞b； ④λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線。 其中假命題的個數(shù)為(　　) A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 【解析】　①不正確。|a|＝|b|但a，b的方向不確定，故a，b不一定相等；②不正確。因為＝，A，B，C，D可能在同一直線上，所以ABCD不一定是四邊形；③不正確。兩向量不能比較大??；④不正確。當(dāng)λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線。故選D。 【答案】　D

9、 反思?xì)w納　(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵。 (2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性。 (3)共線向量即平行向量，它們均與起點無關(guān)。 (4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量。解題時，不要把它與函數(shù)圖象平移混為一談。 (5)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量。 【變式訓(xùn)練】　下列命題中正確的是(　　) A．a(chǎn)與b共線，b與c共線，則a與c也共線 B．任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點 C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量 D．有相同起點的兩個非零向量不平行 【解析】　由于零向量與任一向量都共線

10、，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，所以B不正確；向量的平行只要求方向相同或相反，與起點是否相同無關(guān)，所以D不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題入手來考慮，假設(shè)a與b不都是非零向量，即a與b中至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可知a與b共線，符合已知條件，所以有向量a與b不共線，則a與b都是非零向量，故選C。 【答案】　C 考點二 平面向量的線性運算…………母題發(fā)散 【典例2】　(1)(2015全國卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，＝3，則(　　) A.＝－＋ B.＝－

11、C.＝＋ D.＝－ (2)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC。若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________。 【解析】　(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋。故選A。 (2)＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝。 【答案】　(1)A　(2) 【母題變式】　若將本典例(2)的條件改為“＝2，＝＋λ”，則λ＝________。 【解析】　∵＝＋，＝＋， ∴2＝＋＋＋。 又∵＝2， ∴2＝＋＋ ＝＋＋(－) ＝＋。 ∴＝＋，即λ＝。 【答案】　 反思?xì)w納　平面向量線性運算問題的常見類型及解題

12、策略 (1)向量加法或減法的幾何意義。向量加法和減法均適合三角形法則。 (2)求已知向量的和。一般共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則。 (3)求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運算將向量表示出來，進(jìn)行比較求參數(shù)的值。 【拓展變式】　(2017惠州模擬)已知點O，A，B不在同一條直線上，點P為該平面上一點，且＝，則(　　) A．點P在線段AB上 B．點P在線段AB的反向延長線上 C．點P在線段AB的延長線上 D．點P不在直線AB上 【解析】?。剑剑剑?－)＝＋，即－＝＝，所以點P在線段AB的反向延長線上。故選B。

13、【答案】　B 考點三 共線定理的應(yīng)用…………多維探究 角度一：共線定理的簡單運用 【典例3】　設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線。 (1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求證：A，C，D三點共線； (2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝3e1－ke2，且A，C，F(xiàn)三點共線，求k的值。 【解析】　(1)證明：＝e1－e2，＝3e1＋2e2， ∴＝＋＝4e1＋e2，又＝－8e1－2e2， ∴＝－2，∴與共線。 又∵與有公共點C，∴A，C，D三點共線。 (2)∵＝e1＋e2，＝2e1－3e2， ∴＝＋＝3e1－2e2。 ∵A，C，F(xiàn)三點共線，

14、∴∥，從而存在實數(shù)λ，使得＝λ。 ∴3e1－2e2＝3λe1－λke2。 又e1，e2是不共線的非零向量， ∴因此k＝2?！鄬崝?shù)k的值為2。 【答案】　(1)見解析　(2)2 角度二：利用共線定理解決幾何問題 【典例4】　(2016江西九校聯(lián)考)已知P是△ABC內(nèi)一點，且＝＋，△PBC的面積是2 015，則△PAB的面積是________。 【解析】　設(shè)S△ABC＝S，S△BPC＝S1＝2 015，S△APB＝S2。 (恰當(dāng)切入，從“三點共線”突破)如圖，延長AP交BC于D，由平面幾何知識，得＝。 由A，P，D三點共線，可得＝μ＝μ＋μ(μ∈R)。① 由B，D，C三點共

15、線，可得＝λ＋(1－λ)(λ∈R)。② 聯(lián)立①和②，有解得 則＝μ＝，＝－＝， 那么＝，于是S＝S1。 同理，延長CP交AB于E，計算可得＝， 所以S2＝S。 于是S2＝S＝S1＝S1＝2 015＝2 821。 【答案】　2 821 反思?xì)w納　利用共線向量定理解題的方法 (1)證明向量共線，對于向量a，b(b≠0)，若存在實數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線。 (2)證明三點共線，若存在實數(shù)λ，使＝λ，則A，B，C三點共線。 (3)利用共線定理解決幾何問題要注意兩直線相交必然存在兩組三點共線，通過列方程組往往能把問題解決。 微考場　新提升 1．(2016開封一模)

16、在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM的中點，＝λ＋μ，則λ＋μ的值為(　　) A. B. C. D．1 解析　依題意＝＝λ＋μ，因為M，B，C三點共線，所以λ＋μ＝。故選A。 答案　A 2．下列各式不能化簡為的是(　　) A．(＋)＋ B．(＋)＋(＋) C.＋－ D.－＋ 解析　對于A，(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝；對于B，(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝；對于C，＋－＝＋2；對于D，－＋＝＋＝。故選C。 答案　C 3．設(shè)P為銳角△ABC的外心(三角形外接圓的圓心)，＝k(＋)(k∈R)，若cos∠BAC＝，則k＝(　　) A. B. C.

17、 D. 解析　取BC的中點D，連接PD，AD，則PD⊥BC，＋＝2，∵＝k(＋)(k∈R)，∴＝2k， ∴A，P，D三點共線， ∴AB＝AC， ∴cos∠BAC＝cos∠DPC＝＝＝， ∴AP＝AD，∴2k＝，解得k＝。故選A。 答案　A 4．已知a，b是兩個不共線的非零向量，且a與b起點相同。若a，tb，(a＋b)三向量的終點在同一直線上，則t＝________。 解析　∵a，tb，(a＋b)三向量的終點在同一條直線上，且a與b起點相同。 ∴a－tb與a－(a＋b)共線， 即a－tb與a－b共線， ∴存在實數(shù)λ，使a－tb＝λ， ∴解得λ＝，t＝， 即t＝時，a

18、，tb，(a＋b)三向量的終點在同一條直線上。 答案　 5.如圖所示，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若＝m，＝n，則m＋n的值為________。 解析?。?＋)＝＋。 ∵M(jìn)，O，N三點共線，∴＋＝1。 ∴m＋n＝2。 答案　2 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375