高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語階段復習課學案 新人教A版選修21

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1、 第一課　常用邏輯用語 [核心速填] 1．命題及其關系 (1)判斷一個語句是否為命題，關鍵是： ①為陳述句； ②能判斷真假． (2)互為逆否關系的兩個命題的真假性相同． (3)四種命題之間的關系如圖所示． 2．充分條件、必要條件和充要條件 (1)定義 一般地，若p，則q為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時，我們就說，由p可推出q，記作p?q，并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件． 一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件． (2)特征 充分條件與必要條件具有以下兩個特征： ①對稱性：若p是q的

2、充分條件，則q是p的必要條件； ②傳遞性：若p是q的充分條件，q是r的充分條件，則p是r的充分條件．即若p?q，q?r，則p?r.必要條件和充分條件一樣具有傳遞性，但若p是q的充分條件，q是r的必要條件，則p與r的關系不能確定． 3．含邏輯聯(lián)結詞的命題的真假判斷 (1)p∧q：全真才真，一假則假； (2)p∨q：全假才假，一真則真； (3)﹁p：p與﹁p真假性相反． 4．全稱量詞與全稱命題，存在量詞與特殊命題 (1)全稱量詞與全稱命題：短語“所有的”“任意一個”“每一個”“任給”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示．全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”，可用符號簡

3、記為?x∈M，p(x)． (2)存在量詞與特稱命題：短語“存在一個”“至少有一個”“有些”在邏輯學中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示；特稱命題“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符號簡記為?x0∈M，p(x0)． 5．含有一個量詞的命題的否定 (1)全稱命題p：?x∈M，p(x)，則﹁p：?x0∈M，﹁p(x0)． (2)特稱命題p：?x0∈M，p(x)，則﹁p：?x∈M，﹁p(x)． [體系構建] [題型探究] 四種命題的關系及其真假判斷 　將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并寫出它的逆命題、否命題和逆否命題以及判斷它們的真假． (1)當mn＜0時

4、，方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根； (2)能被6整除的數(shù)既能被2整除，又能被3整除． [解]　(1)將命題寫成“若p，則q”的形式為：若mn＜0，則方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根． 它的逆命題、否命題和逆否命題如下： 逆命題：若方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根，則mn＜0.(假) 否命題：若mn≥0，則方程mx2－x＋n＝0沒有實數(shù)根．(假) 逆否命題：若方程mx2－x＋n＝0沒有實數(shù)根，則mn≥0.(真) (2)將命題寫成“若p，則q”的形式為：若一個數(shù)能被6整除，則它能被2整除，且能被3整除，它的逆命題，否命題和逆否命題如下： 逆命題：若一個數(shù)能被2整除又能被3整除，則它能被

5、6整除．(真) 否命題：若一個數(shù)不能被6整除，則它不能被2整除或不能被3整除．(真) 逆否命題：若一個數(shù)不能被2整除或不能被3整除，則它不能被6整除．(真) [規(guī)律方法]　1.在原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，原命題與逆否命題，逆命題與否命題是等價命題，它們的真假性相同． 2．“p∧q”的否定是“﹁p或﹁q”，“p∨q”的否定是“﹁p且﹁q”． [跟蹤訓練] 1．(1)給出下列三個命題： ①“全等三角形的面積相等”的否命題； ②“若lg x2＝0，則x＝－1”的逆命題； ③若“x≠y或x≠－y，則|x|≠|y|”的逆否命題． 其中真命題的個數(shù)是(　　) A．0　　

6、 B．1　　　　C．2　　　　D．3 B　[對于①，否命題是“不全等三角形的面積不相等”，它是假命題；對于②，逆命題是“若x＝－1，則lg x2＝0”，它是真命題；對于③，逆否命題是“若|x|＝|y|，則x＝y(tǒng)且x＝－y”，它是假命題，故選B.] (2)命題：“若a2＋b2＝0，則a＝0且b＝0”的逆否命題是(　　) 【導學號：46342039】 A．若a2＋b2＝0，則a＝0且b≠0 B．若a2＋b2≠0，則a≠0或b≠0 C．若a＝0且b＝0，則a2＋b2≠0 D．若a≠0或b≠0，則a2＋b2≠0 D　[命題“若a2＋b2＝0，則a＝0且b＝0”的逆否命題是：“若a≠

7、0或b≠0，則a2＋b2≠0”．故選D.] 充分條件、必要條件與充要條件 　(1)已知△ABC兩內角A，B的對邊邊長分別為a，b，則“A＝B”是“acos A＝bcos B”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)已知直線l1：x＋ay＋2＝0和l2：(a－2)x＋3y＋6a＝0，則l1∥l2的充分必要條件是a＝__________. [解析]　(1)由acos A＝bcos B?sin 2A＝sin 2B， ∴A＝B或2A＋2B＝π，故選A. (2)由＝≠， 得a＝－1(舍去)，a＝3. [答案]　(1

8、)A　(2)3 [規(guī)律方法]　充分條件和必要條件的判斷 充分條件和必要條件的判斷，針對具體情況，應采取不同的策略，靈活判斷.判斷時要注意以下兩個方面： (1)注意分清條件和結論，以免混淆充分性與必要性 從命題的角度判斷充分、必要條件時，一定要分清哪個是條件，哪個是結論，并指明條件是結論的哪種條件，否則會混淆二者的關系，造成錯誤. (2)注意轉化命題判斷，培養(yǎng)思維的靈活性 由于原命題與逆否命題，逆命題與否命題同真同假，因此，對于那些具有否定性的命題，可先轉化為它的逆否命題，再進行判斷，這種“正難則反”的等價轉化思想，應認真領會. [跟蹤訓練] 2．(1)已知a，b是不共線的向量，

9、若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，則A，B，C三點共線的充要條件是(　　) A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1 C．λ1λ2＝1 D．λ1λ2＝－1 C　[依題意，A，B，C三點共線?＝λ?λ1a＋b＝λa＋λλ2b?故選C．] (2)設p：m＋nZ，q：mZ或nZ，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[﹁p：m＋n∈Z，﹁q：m∈Z且n∈Z，顯然﹁p﹁q，﹁q?﹁p，即p?q，qp，p是q的充分不必要條件．] 含邏輯聯(lián)結詞的命題 　(1)短道速滑隊組織6名隊員(包括賽前系列賽

10、積分最靠前的甲乙丙三名隊員)參加冬奧會選拔賽，記“甲得第一名”為p，“乙得第二名”為q，“丙得第三名”為r，若p∨q是真命題，p∧q是假命題，(﹁q)∧r是真命題，則選拔賽的結果為(　　) A．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名 B．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名 C．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名 D．甲得第一名、乙沒得第二名、丙得第三名 (2)已知命題p：不等式ax2＋ax＋1>0的解集為R，則實數(shù)a∈(0,4)，命題q：“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分條件，則下列命題正確的是(　　) A．p∧q B．p∧(﹁q) C．(﹁p)∧(﹁q) D．(﹁p)∧

11、q [解析]　(1)(﹁q)∧r是真命題意味著﹁q為真，q為假(乙沒得第二名)且r為真(丙得第三名)；p∨q是真命題，由于q為假，只能p為真(甲得第一名)，這與p∧q是假命題相吻合；由于還有其他三名隊員參賽，只能肯定其他隊員得第二名，乙沒得第二名，故選D. (2)命題p：a＝0時，可得1>0恒成立；a≠0時，可得解得00解得x>4或x<－2.因此“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分條件，是真命題．故(﹁p)∧q是真命題．故選D. [答案]　(1)D　(2)D [規(guī)律方法]　1

12、.判斷含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假的關鍵是對邏輯聯(lián)結詞“或”“且”“非”的含義的理解，應根據(jù)組成各個復合命題的語句中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結詞進行命題結構與真假的判斷． 2．判斷命題真假的步驟： →→ [跟蹤訓練] 3．(1)設命題p：函數(shù)y＝sin 2x的最小正周期為；命題q：函數(shù)y＝cos x的圖象關于直線x＝對稱，則下列判斷正確的是(　　) A．p為真 B．﹁q為假 C．p∧q為假 D．p∨q為真 C　[函數(shù)y＝sin 2x的最小正周期為＝π，故命題p為假命題；直線x＝不是y＝cos x的圖象的對稱軸，命題q為假命題，故p∧q為假，故選C．] (2)已知命題p：m，n為直線，α為平

13、面，若m∥n，n?α，則m∥α；命題q：若a>b，則ac>bc，則下列命題為真命題的是(　　) 【導學號：46342040】 A．p或q B．﹁p或q C．﹁p且q D．p且q B　[命題q：若a>b，則ac>bc為假命題，命題p：m，n為直線，α為平面，若m∥n，n?α，則m∥α也為假命題，因此只有﹁p或q為真命題．] 全稱命題與特稱命題 　(1)已知命題p：“?x∈[0,1]，a≥ex”，命題q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命題“p∧q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[e,4] B．[1,4] C．(4，＋∞) D．(－∞，1] (2)命題p：

14、?x∈R，f(x)≥m，則命題p的否定﹁p是________． [思路探究]　(1)p∧q為真?p，q都為真．(2)由﹁p的定義寫﹁p. [解析]　(1)由p為真得出a≥e，由q為真得出a≤4， ∴e≤a≤4. (2)全稱命題的否定是特稱命題，所以“?x∈R，f(x)≥m”的否定是“?x0∈R，f(x0)

15、即可. 要判斷一個特稱命題為真命題，只要在限定集合M中能找到一個x0使p(x0)成立即可，否則這一特稱命題為假命題. [跟蹤訓練] 4．(1)命題p：?x<0，x2≥2x，則命題﹁p為(　　) A．?x0<0，x≥2x0　　　　 B．?x0≥0，x<2x0 C．?x0<0，x<2x0 D．?x0≥0，x≥2x0 C　[﹁p：?x0<0，x<2x0，故選C．] (2)在下列四個命題中，真命題的個數(shù)是(　　) ①?x∈R，x2＋x＋3＞0； ②?x∈Q，x2＋x＋1是有理數(shù)； ③?α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ④?x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝

16、10. 【導學號：46342041】 A．1 B．2 C．3 D．4 D　[①中，x2＋x＋3＝＋≥＞0，故①為真命題； ②中，?x∈Q，x2＋x＋1一定是有理數(shù)，故②也為真命題； ③中，當α＝，β＝－時，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③為真命題； ④中，當x0＝4，y0＝1時，3x0－2y0＝10成立，故④為真命題．] 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375