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1、
小專題(四) 二次函數(shù)與幾何圖形綜合
1．如圖，拋物線y＝x2＋x－5與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C.若點(diǎn)E為x軸下方拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)S△ABE＝S△ABC時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
解：令y＝x2＋x－5＝0，即x2＋2x－15＝0，
解得x1＝－5，x2＝3.
∴A(－5，0)，B(3，0)．
∴AB＝8.
令x＝0，則y＝－5，
∴C(0，－5)．∴OC＝5.
∴S△ABC＝ABOC＝20.
設(shè)點(diǎn)E到AB的距離為h，
∵S△ABE＝S△ABC，∴8h＝20.∴h＝5.
∵點(diǎn)E在x軸下方，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為－5.
當(dāng)y＝－5時(shí)，x2＋x－5＝－5.
∴x1
2、＝－2，x2＝0(與點(diǎn)C重合，舍去)．
∴E(－2，－5)．
2．如圖，拋物線y＝－x2＋x＋3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D(2，2)是拋物線上一點(diǎn)，那么在拋物線的對稱軸上，是否存在一點(diǎn)P，使得△BDP的周長最小，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：令y＝－x2＋x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－2.
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，0)．
連接AD，交對稱軸于點(diǎn)P，則P為所求的點(diǎn)．
設(shè)直線AD的表達(dá)式為y＝kx＋t.將點(diǎn)A，D的坐標(biāo)代入，得
解得
∴直線AD的表達(dá)式為y＝x＋1.
∵拋物線的對稱軸為直線x＝－＝，
將x＝代入y＝x＋1，得y＝
3、.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)．
3．如圖，二次函數(shù)y＝－x2＋mx＋n的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(－1，4)，B(1，0)，y＝－x＋b經(jīng)過點(diǎn)B，且與二次函數(shù)y＝－x2＋mx＋n交于點(diǎn)D.
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)(點(diǎn)N在BD上方)，過N作NP⊥x軸，垂足為P，交BD于點(diǎn)M，求MN的最大值．
解：(1)∵二次函數(shù)y＝－x2＋mx＋n的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(－1，4)，B(1，0)，
∴
解得
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x2－2x＋3.
(2)∵y＝－x＋b經(jīng)過點(diǎn)B，
∴－1＋b＝0.解得b＝.
∴y＝－x＋.
設(shè)M(t，－t＋)，則N(t，－t2－2t
4、＋3)，
∴MN＝－t2－2t＋3－(－t＋)＝－t2－t＋＝－(t＋)2＋.
∴MN的最大值為.
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝x2－4x－5與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.若點(diǎn)D是y軸上的一點(diǎn)，且以B，C，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
解：令y＝x2－4x－5＝0，
解得x1＝－1，x2＝5.
∴A(－1，0)，B(5，0)．
令x＝0，則y＝－5，∴C(0，－5)．
∴OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45.
∴AB＝6，BC＝5.
要使以B，C，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，需有＝或＝.
①當(dāng)＝時(shí)，CD＝AB＝6，∴
5、D(0，1)．
②當(dāng)＝時(shí)，＝，
∴CD＝.
∴D(0，)．
綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，1)或(0，)．
5．如圖，已知拋物線y＝－x2－2x＋3與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P.若以A，C，P，M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解：y＝－x2－2x＋3中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，
∴C(0，3)．
y＝－x2－2x＋3中，令y＝0，即－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1.
∴A(－3，0)，B(1，0)．
∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，4)．
如圖，分別過△PAC的三個頂點(diǎn)作對邊的平行線，三
6、條直線兩兩相交，
產(chǎn)生3個符合條件的點(diǎn)M1，M2，M3.
∵AM1∥CP，且C(0，3)，P(－1，4)，A(－3，0)，∴M1(－4，1)．
∵AM2∥PC，且P(－1，4)，C(0，3)，A(－3，0)，∴M2(－2，－1)．
∵CM3∥AP，且A(－3，0)，P(－1，4)，C(0，3)，∴M3(2，7)．
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－4，1)或(－2，－1)或(2，7)．
6．如圖，已知拋物線y＝x2－x－2與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊)，與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
(2)此拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是等腰三角形？若存在，
7、請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：(1)令y＝0，得x2－x－2＝0，
解得x1＝－2，x2＝4.
∴A(4，0)，B(－2，0)．
令x＝0，得y＝－2.
∴C(0，－2)．
(2)存在點(diǎn)P，使得△ACP是等腰三角形．
設(shè)P(1，a)，
則AP2＝a2＋9，CP2＝(a＋2)2＋1＝a2＋4a＋5，AC2＝20.
①當(dāng)AP＝CP時(shí)，即a2＋9＝a2＋4a＋5，
解得a＝1.∴P1(1，1)；
②當(dāng)CP＝AC時(shí)，即a2＋4a＋5＝20，
解得a＝－2.
∴P2(1，－2＋)，P3(1，－2－)；
③當(dāng)AP＝AC時(shí)，即a2＋9＝20，
解得a＝.∴P4(1，)，P5(1，－)．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(1，1)，P2(1，－2＋)，P3(1，－2－)，P4(1，)，P5(1，－)．
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