高考數(shù)學大一輪復習 坐標系與參數(shù)方程 第二節(jié) 參數(shù)方程教師用書 理 選修44

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1、 第二節(jié)　參數(shù)方程 ☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆ 考綱要求 真題舉例 命題角度 1.了解參數(shù)方程及其參數(shù)的意義； 2.能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程。 2016，全國卷Ⅱ，23,10分(參數(shù)方程求最值) 2016，江蘇卷，21,10分(直線方程的應用) 2015，全國卷Ⅱ，23,10分(參數(shù)方程化普通方程) 1.直線與圓的參數(shù)方程是歷年高考命題的熱點； 2.直線與圓的參數(shù)方程與位置關系是高考的重點； 3.應用參數(shù)方程求最值也是高考的重點。 微知識　小題練 自|主|排|查 1．參數(shù)方程的概念 一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的

2、坐標x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)：①并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組①叫做這條曲線的參數(shù)方程，t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程。 2．直線的參數(shù)方程 過定點P0(x0，y0)且傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則參數(shù)t的幾何意義是有向線段的數(shù)量。 3．圓的參數(shù)方程 圓心為(a，b)，半徑為r，以圓心為頂點且與x軸同向的射線，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圓上一點所在半徑形成的角α為參數(shù)的圓的參數(shù)方程為α∈[0,2π)。 4．橢圓的參數(shù)方程 以橢圓的離心角θ為參數(shù)，橢圓＋＝1(a＞b＞0)

3、的參數(shù)方程為θ∈[0,2π)。 微點提醒 1．將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍。 2．直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離。 小|題|快|練 1．若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線的傾斜角為__________。 【解析】　由直線的參數(shù)方程知，斜率k＝＝＝－＝tanθ，θ為直線的傾斜角，所以該直線的傾斜角為150。 【答案】　150 2．曲線(θ為參數(shù))的左焦點的坐標是

4、__________。 【解析】　化為普通方程為＋＝1，故左焦點為(－4,0)。 【答案】　(－4,0) 3．已知直線l1：(t為參數(shù))與直線l2：(s為參數(shù))垂直，則k的值是________。 【解析】　直線l1的方程為y＝－x＋，斜率為－； 直線l2的方程為y＝－2x＋1，斜率為－2。 ∵l1與l2垂直， ∴(－2)＝－1?k＝－1。 【答案】?。? 4．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系。已知射線θ＝與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點，則線段AB的中點的直角坐標為__________。 【解析】　記A(x1，y1)，B(x2，y2)，

5、將射線θ＝轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為y＝x(x≥0)，曲線為y＝(x－2)2，聯(lián)立上述兩個方程得x2－5x＋4＝0，所以x1＋x2＝5，故線段AB的中點坐標為。 【答案】　 5．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(參數(shù)t∈R)，圓C的參數(shù)方程為(參數(shù)θ∈[0,2π))，則圓心C到直線l的距離是__________。 【解析】　直線方程可化為x－y＋1＝0，圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝1。由點到直線的距離公式可得，圓心C(1,0)到直線l的距離為＝。 【答案】　 微考點　大課堂 考點一 參數(shù)方程與普通方程的互化 【典例1】　將下列參數(shù)方程化為普通方程。 (1)(

6、t為參數(shù))； (2)(θ為參數(shù))。 【解析】　(1)∵2＋2＝1， ∴x2＋y2＝1。 ∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1。 又x＝，∴x≠0。 當t≥1時，0＜x≤1， 當t≤－1時，－1≤x＜0， ∴所求普通方程為 x2＋y2＝1。 (2)∵y＝－1＋cos2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ， sin2θ＝x－2， ∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0。 ∵0≤sin2θ≤1，∴0≤x－2≤1。∴2≤x≤3。 ∴所求的普通方程為2x＋y－4＝0(2≤x≤3)。 【答案】　(1)x2＋y2＝1 (2)2x＋y－4＝0(2≤x≤3) 反思歸納　將參數(shù)

7、方程化為普通方程的方法 1．將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當?shù)南麉⒎椒?。常見的消參方法有：代入消參法、加減消參法、平方消參法等，對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關系式消參，如sin2θ＋cos2θ＝1等。 2．將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解。 【變式訓練】　將下列參數(shù)方程化為普通方程。 (1)(2) 【解析】　(1)兩式相除，得k＝，將其代入得x＝，化簡得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)。 (2)由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ) 得y2＝2－x。又x＝1－sin2

8、θ∈[0,2]， 得所求的普通方程為y2＝2－x，x∈[0,2]。 【答案】　(1)4x2＋y2－6y＝0(y≠6) (2)y2＝2－x，x∈[0,2] 考點二 直線參數(shù)方程的應用 【典例2】　(2016江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))。設直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求線段AB的長。 【解析】　橢圓C的普通方程為x2＋＝1。 將直線l的參數(shù)方程代入x2＋＝1，得2＋＝1，即7t2＋16t＝0，解得t1＝0，t2＝－。所以|AB|＝|t1－t2|＝。 【答案】　 反思歸納　經(jīng)過點P(x0，y0)，傾斜

9、角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))。若A，B為直線l上兩點，其對應的參數(shù)分別為t1，t2。線段AB的中點為M，點M所對應的參數(shù)為t0。注意以下幾個常用的結(jié)論：(1)t0＝；(2)|PM|＝|t0|＝； (3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA||PB|＝|t1t2|。 【變式訓練】　在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝2sin θ。 (1)求圓C的圓心到直線l的距離； (2)設圓C與直線l交于點A、B。若點P的坐標為(3，)，求|PA|＋|PB|。 【解

10、析】　(1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，即圓C的直角坐標方程為x2＋(y－)2＝5。 由可得直線l的普通方程為x＋y－－3＝0。 所以圓C的圓心(0，)到直線l的距離為＝。 (2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，得2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0。 由于Δ＝(3)2－44＝2>0，故可設t1，t2是上述方程的兩個實根，所以 又直線l過點P(3，)，故由上式及t的幾何意義得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3。 【答案】　(1)　(2)3 考點三 圓的參數(shù)方程的應用 【典例3】　已知曲線C1：(t為參數(shù))，曲線C2：(θ為參數(shù))。 (

11、1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線； (2)若C1上的點P對應的參數(shù)為t＝，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：(t為參數(shù))的距離的最小值。 【解析】　(1)曲線C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲線C2：＋＝1， 曲線C1是以(－4,3)為圓心，1為半徑的圓； 曲線C2是以坐標原點為中心，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓。 (2)當t＝時，P(－4,4)，Q(8cosθ，3sinθ)，故M。曲線C3為直線x－2y－7＝0，M到C3的距離d＝|4cosθ－3sinθ－13|，從而當cosθ＝，sinθ＝－時，d取最小值。 【答案】　

12、(1)見解析　(2) 反思歸納　將參數(shù)方程中的參數(shù)消去便可得到曲線的普通方程，消去參數(shù)時常用的方法是代入法，有時也可根據(jù)參數(shù)的特征，通過對參數(shù)方程的加、減、乘、除、乘方等運算消去參數(shù)，消參時要注意參數(shù)的取值范圍對普通方程中點的坐標的影響。 【變式訓練】　在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為ρ＝2cosθ，θ∈。 (1)求C的參數(shù)方程； (2)設點D在C上，C在D處的切線與直線l：y＝x＋2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標。 【解析】　(1)C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)。 可得C的參數(shù)方程為

13、 (t為參數(shù)，0≤t≤π)。 (2)設D(1＋cost，sint)。由(1)知C是以C(1,0)為圓心，1為半徑的上半圓。 因為C在點D處的切線與l垂直，所以直線CD與l的斜率相同，tant＝，t＝。 故點D的直角坐標為，即。 【答案】　(1)(t為參數(shù)，0≤t≤π) (2) 考點四 橢圓參數(shù)方程的應用 【典例4】　(2016全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))。以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin＝2。 (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程； (2)設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ

14、|的最小值及此時P的直角坐標。 【解析】　(1)C1的普通方程為＋y2＝1，C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0。 (2)由題意，可設點P的直角坐標為(cosα，sinα)。因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值，d(α)＝ ＝|sin－2|。 當且僅當α＝2kπ＋(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為，此時P的直角坐標為。 【答案】　(1)C1為＋y2＝1，C2為x＋y－4＝0 (2)最小值為，P 反思歸納　橢圓的參數(shù)方程實質(zhì)是三角代換，有關橢圓上的動點距離的最大值、最小值以及取值范圍的問題，通常利用橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值

15、求解。 【變式訓練】　在平面直角坐標系xOy中，動圓x2＋y2－4xcosθ－4ysinθ＋7cos2θ－8＝0(θ∈R，θ為參數(shù))的圓心軌跡為曲線C，點P在曲線C上運動。以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，若直線l的極坐標方程為2ρcos＝3，求點P到直線l的最大距離。 【解析】　將動圓的方程配方，得 (x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝9＋3sin2θ， 設圓心(x，y)，則(θ∈R，θ為參數(shù))， 即曲線C的參數(shù)方程為(θ∈R，θ為參數(shù))， 直線l的直角坐標方程為x－y－3＝0， 設點P(x1，y1)，則(θ∈R，θ為參數(shù))，點P到直線l的距離d＝ ＝，

16、其中tanφ＝－。 ∴當sin(θ＋φ)＝－1時，點P到直線l的距離d取得最大值。 【答案】　 微考場　新提升 1．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))。 (1)求直線l和圓C的普通方程； (2)若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍。 解析　(1)直線l的普通方程為2x－y－2a＝0， 圓C的普通方程為x2＋y2＝16。 (2)因為直線l與圓C有公共點， 故圓C的圓心到直線l的距離d＝≤4， 解得－2≤a≤2。 答案　(1)l為2x－y－2a＝0，C為x2＋y2＝16 (2)[－2，2] 2．在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程

17、為(t為參數(shù))，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝。 (1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程； (2)試判斷曲線C1與C2是否存在兩個交點，若存在，求出兩交點間的距離；若不存在，說明理由。 解析　(1)對于曲線C1有x＋y＝1，對于曲線C2有＋y2＝1。 (2)顯然曲線C1：x＋y＝1為直線，則其參數(shù)方程可寫為(α為參數(shù))，與曲線C2：＋y2＝1聯(lián)立，可得5α2－12α＋8＝0，可知Δ>0，所以C1與C2存在兩個交點， 由α1＋α2＝，α1α2＝，得兩交點間的距離d＝|α2－α1|＝＝。 答案　(1)C1為x＋y＝1，C2為＋y

18、2＝1　(2)存在，兩交點間的距離為 3．(2017赤峰模擬)在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸，與直角坐標系xOy取相同的長度單位，建立極坐標系，設曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的極坐標方程為ρsin＝2。 (1)寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程； (2)求曲線C上的點到直線l的最大距離。 解析　(1)由ρsin＝2得 ρ(sinθ－cosθ)＝4， 所以l：x－y＋4＝0， 由得C：x2＋＝1。 (2)在C上任取一點P(cosθ，sinθ)，則點P到直線l的距離為d＝＝， 其中cosφ＝，sinφ＝， 所以當cos(θ＋φ)＝1時，dmax＝2＋。 答案　(1)C為x2＋＝1，l為x－y＋4＝0 (2)2＋ 我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。