高中數(shù)學(xué) 模塊復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修23

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1、 模塊復(fù)習(xí)課 [核心知識回顧] 一、計數(shù)原理 1．分類加法計數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法． 2．分步乘法計數(shù)原理 完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝mn種不同的方法． 3．排列數(shù) (1)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用A表示； (2)排列數(shù)公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝. 4．組合數(shù) (1)從n個不同元素中取

2、出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符合C表示． (2)組合數(shù)公式C＝＝ 組合數(shù)性質(zhì)：①C＝C.②C＝C＋C. 5．二項式定理 (1)二項式定理 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn叫做二項式定理． (2)相關(guān)概念 ①公式右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式； ②各項的系數(shù)C叫做二項式系數(shù)； ③展開式中的Can－kbk叫做二項展開式的通項，記作Tk＋1，它表示展開式的第k＋1項． 6．楊輝三角 (1)楊輝三角的特點 ①在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等； ②

3、在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即C＝C＋C. (2)各二項式系數(shù)的和 ①C＋C＋C＋…＋C＝2n； ②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 二、隨機變量及其分布 1．離散型隨機變量 所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量． 2．離散型隨機變量的分布列的定義及性質(zhì) (1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格形式表示為： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 稱

4、上表為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列．用等式可表示為P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，離散型隨機變量分布列還可以用圖象表示． (2)離散型隨機變量分布列的性質(zhì)： (ⅰ)pi≥0，i＝1,2，…，n；(ⅱ)i＝1. 3．特殊分布 (1)兩點分布 X 0 1 P 1－p p 像上面這樣的分布列叫做兩點分布．如果隨機變量X的分布列為兩點分布，就稱X服從兩點分布，并稱P＝p(x＝1)為成功概率． (2)超幾何分布 一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，即 X 0 1 … m

5、 P … 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布． 4．條件概率 (1)條件概率的定義 一般地，設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)＞0，稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率． (2)條件概率的性質(zhì) ①任何事件的條件概率都在0和1之間，即0≤P(B|A)≤1. ②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 5．事件的相互獨立性 (1)相互獨立事件的概念 設(shè)A，B為兩個事件，若

6、P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立． (2)相互獨立事件的性質(zhì) 如果事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也都相互獨立． 6．獨立重復(fù)試驗與二項分布 (1)n次獨立重復(fù)試驗 一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗． (2)二項分布 一般地，在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率． 7．離散型隨機變量的均值與方差 (1)一般地，若離散型隨機變量X的分布列為 X

7、x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 則稱E(X)＝ipi為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．它反映了離散型隨機變量取值的平均水平． 則把D(X)＝(xi－E(X))2pi叫做隨機變量X的方差，D(X)的算術(shù)平方根叫做隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度． (2)兩點分布與二項分布的均值 ①若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p；D(X)＝p(1－p)； ②若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． (3)性質(zhì) 若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則E(Y)＝E(a

8、X＋b)＝aE(X)．D(aX＋b)＝a2D(X)． 8．正態(tài)分布 (1)定義 一般地，如果對于任何實數(shù)a，b(a＜b)，隨機變量X滿足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定，因此正態(tài)分布常記作N(μ，σ2)．如果隨機變量X服從正態(tài)分布，則記為N(μ，σ2)． (2)正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率及3σ原則 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827； P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545； P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973. 三、統(tǒng)計案例 1．回歸分析 (1)回歸分析 回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩

9、個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法． (2)回歸直線方程 方程＝x＋是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中，是待定參數(shù)，其最小二乘估計分別為： 其中，(，)稱為樣本點的中心． 2．獨立性檢驗 (1)22列聯(lián)表． 一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為 y1 y2 總計 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d (2)K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．

10、[易錯易混辨析] 1．將3個不同的小球放入4個盒子中，則有不同的放法種數(shù)有34個． () [提示]　本題是一個分步計數(shù)問題．對于第一個小球有4種不同的放法，第二個小球也有4種不同的放法，第三個小球也有4種不同的放法，跟據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有444＝64種不同的放法． 2．從甲、乙等6人中選出3名代表，甲一定當(dāng)選，則有20種選法． () [提示]　因為甲一定當(dāng)選，所以只要從剩下的5人中選出2人即可，因此有C＝10種選法． 3．三個人踢球，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過5次傳遞后，球又回給甲，則不同的傳遞方式共有10種． (√) [提示]　可利用樹狀圖進

11、行求解． 式子A＝中m≠n. () [提示]　當(dāng)m＝n時，(n－m)?。??。?，即求n個元素的全排列數(shù)． 5．由0,1,2,3這4個數(shù)字組成的四位數(shù)中，有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有343－A＝168(個) () [提示]　首位不含0，有3種選法，其余3位都有4種選法，共有343＝192個四位數(shù)；其中沒有重復(fù)數(shù)字的有3321＝18個，故有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有192－18＝174個． 6．3名醫(yī)生和6名護士被分配到三所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護士，則不同的分配方法有540種． (√) 7．(a＋b)n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a，b無關(guān)． (√) 8．在的二項展開式

12、中，常數(shù)項為－160. (√) 9．在(1－x)9的展開式中系數(shù)最大的項是第5項和第6項． () [提示]　由通項公式得Tr＋1＝C(－1)rxr故第r＋1項的系數(shù)為(－1)rC. 故當(dāng)r＝4時，即第5項的系數(shù)最大． 10．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，則a7＋a6＋…＋a1的值為128. () [提示]　當(dāng)x＝0時，a0＝－1， 當(dāng)x＝1時a7＋a6＋a5＋…＋a1＋a0＝27， ∴a7＋a6＋a5＋…＋a1＝27＋1＝129. 11．若的展開式中，僅有第5項的二項式系數(shù)最大，且x4的系數(shù)為7，則實數(shù)a＝. (√) 12．離散型隨機變量是指某一

13、區(qū)間內(nèi)的任意值． () [提示]　隨機變量的取值都能一一列舉出來． 13．在區(qū)間[0,10]內(nèi)任意一個實數(shù)與它四舍五入取整后的整數(shù)的差值是離散型隨機變量． () [提示]　可以取區(qū)間[0,10]內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，故其不是離散型隨機變量． 14．離散型隨機變量的分布列的每個隨機變量取值對應(yīng)概率都相等． () [提示]　因為分布列中的每個隨機變量能代表的隨機事件，并非都是等可能發(fā)生的事件． 15．在離散型隨機變量分布列中，所有概率之和為1. (√) [提示]　由分布列的性質(zhì)可知，該說法正確． 16．超幾何分布的模型是不放回抽樣． (√) 17．超幾何分

14、布的總體里可以有兩類或三類特點． () [提示]　超幾何分布的模型特征是“由較明顯的兩部分組成”． 18．若事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生，相當(dāng)于A，B同時發(fā)生． (√) 19．小王通過英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試3次，那么其中恰好第3次測試獲得通過的概率是P＝C＝. () [提示]　所求概率應(yīng)為P＝＝. 20．試驗之前可以判斷離散型隨機變量的所有值． (√) [提示]　因為隨機試驗所有可能的結(jié)果是明確并且不只一個，只不過在試驗之前不能確定試驗結(jié)果會出現(xiàn)哪一個，故該說法正確． 21．必然事件與任何一個事件相互獨立． (√) [提示]　必然事件的發(fā)生與任何一個事件的發(fā)生

15、，沒有影響． 22．二項分布中隨機變量X的取值是小于等于n的所有正整數(shù)． () [提示]　二項分布中隨機變量X的取值是小于等于n的所有自然數(shù)． 23．若a是常數(shù)，則D(a)＝0. (√) 24．已知Y＝3X＋2，且D(X)＝10，則D(Y)＝92. () [提示]　∵D(X)＝10，且Y＝3X＋2 ∴D(Y)＝D(3X＋2)＝9D(X)＝90. 25．離散型隨機變量的概率分布規(guī)律用分布密度曲線描述，連續(xù)型隨機變量的概率分布用分布列描述． () [提示]　因為離散型隨機變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，連續(xù)型隨機變量的概率分布規(guī)律用分布密度曲線(函數(shù))描述． 26．正態(tài)曲線是

16、單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的． () [提示]　正態(tài)曲線與x軸圍成的面積是1，它不隨μ和σ變化而變化． 27．若K2的觀測值k>6.635，則在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺?。? () [提示]　K2是檢驗吸煙與患肺病相關(guān)程度的量，是相關(guān)關(guān)系，而不是確定關(guān)系，是反映有關(guān)和無關(guān)的概率，故此說法不正確． 28．如果兩個變量x與y之間不存在著線性關(guān)系，那么根據(jù)它們的一組數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)不能寫出一個線性方程． () [提示]　任何一組(xi，yi)(i＝1,2，…，n

17、)都能寫出一個線性方程，只是有無意義的問題，因此這個說法錯誤，線性關(guān)系是可以檢驗的，可以畫出帶狀散點圖，可以寫出一個擬合效果最好的線性方程． 29．利用線性回歸方程求出的值是準(zhǔn)確值． () [提示]　因為利用線性回歸方程求出的值為估計值，而不是真實值． 30．變量x與y之間的回歸直線方程表示x與y之間的真實關(guān)系形式． () [提示]　因為變量x與y之間的線性回歸直線方程僅表示x與y之間近似的線性關(guān)系，x與y之間滿足y＝bx＋a＋e，其中e為隨機誤差． [高考真題感悟] 1．(2017全國卷Ⅰ，6)(1＋x)6展開式中x2的系數(shù)為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：95032268】 A

18、．15　　　　　　　　 B．20 C．30 D．35 C　[因為(1＋x)6的通項為Cxr，所以(1＋x)6展開式中含x2的項為1Cx2和Cx4. 因為C＋C＝2C＝2＝30， 所以(1＋x)6展開式中x2的系數(shù)為30. 故選C.] 2．(2017全國卷Ⅱ，6)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有(　　) A．12種 B．18種 C．24種 D．36種 D　[由題意可得其中1人必須完成2項工作，其他2人各完成1項工作，可得安排方式為CCA＝36(種)，或列式為CCC＝32＝36(種)． 故選D.] 3．(2017全國

19、卷Ⅲ，4)(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為(　　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 C　[因為x3y3＝x(x2y3)，其系數(shù)為－C22＝－40， x3y3＝y(tǒng)(x3y2)，其系數(shù)為C23＝80. 所以x3y3的系數(shù)為80—40＝40. 故選C.] 4．(2017浙江卷，8)已知隨機變量ξi滿足P(ξi＝1)＝pi， P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若0D(ξ2) C．E(ξ1)>

20、E(ξ2)，D(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) A　[由題意可知ξi(i＝1,2)服從兩點分布， ∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)． 又∵0

21、0.02)， ∴DX＝1000.02(1－0.02)＝1.96.] 6．(2016全國卷Ⅰ，14)(2x＋)5的展開式中，x3的系數(shù)是________． (用數(shù)字填寫答案) 【導(dǎo)學(xué)號：95032270】 10　[利用二項展開式的通項公式求解． (2x＋)5展開式的通項為Tr＋1＝C(2x)5－r()r ＝25－rCx5－. 令5－＝3，得r＝4. 故x3的系數(shù)為25－4C＝2C＝10.] 7．(2017全國卷Ⅰ，19)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下

22、生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)． (1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望； (2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查． (i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性； (ii)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02

23、9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計算得＝xi＝9.97，s＝＝)≈0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1,2，…，16. 用樣本平均數(shù)作為μ的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ(精確到0.01)． 附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ

24、＋3σ)之外的概率為0.002 6，故X～B(16,0.002 6)． 因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. X的數(shù)學(xué)期望EX＝160.002 6＝0.041 6. (2)①如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的． ②由＝9.97，s≈0.212，得μ

25、的估計值為＝9.97，σ的估計值為＝0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(－3，＋3)之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查． 剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(169.97－9.22)＝10.02. 因此μ的估計值為10.02. x＝160.2122＋169.972≈1 591.134， 剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為(1 591.134－9.222－1510.022)≈0.008， 因此σ的估計值為≈0.09. 8．(2017全國卷Ⅱ，18)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了10

26、0個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如圖1： 圖1 (1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”，估計A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)； 箱產(chǎn)量＜50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 附： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 ，K2＝. (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精

27、確到0.01)． [解]　(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”． 由題意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)． 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)5＝0.62， 故P(B)的估計值為0.62. 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)5＝0.66， 故P(C)的估計值為0.66. 因此，事件A的概率估計值為0.620.66＝0.409 2. (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表

28、箱產(chǎn)量＜50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 K2＝≈15.705. 由于15.705>6.635，故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)． (3)因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為 (0.004＋0.020＋0.044)5＝0.34<0.5， 箱產(chǎn)量低于55 kg的直方圖面積為 (0.004＋0.020＋0.044＋0.068)5＝0.68>0.5， 故新養(yǎng)殖法產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為 50＋≈52.35(kg)． 9．(2017全國卷Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進

29、貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (

30、1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列； (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位：瓶)為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值？ [解]　(1)由題意知，X所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4， P(X＝500)＝＝0.4. 因此X的分布列為 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200≤n≤500. 當(dāng)300≤n≤500時， 若最高氣溫不低于2

31、5，則Y＝6n－4n＝2n； 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n； 若最高氣溫低于20，則Y＝6200＋2(n－200)－4n＝800－2n. 因此EY＝2n0.4＋(1 200－2n)0.4＋(800－2n)0.2＝640－0.4n. 當(dāng)200≤n<300時， 若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n； 若最高氣溫低于20，則Y＝6200＋2(n－200)－4n＝800－2n， 因此EY＝2n(0.4＋0.4)＋(800－2n)0.2＝160＋1.2n. 所以n＝300時，Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值，最大值為520元．

32、 10．(2016全國卷Ⅰ，19)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)． (1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值； (3)以購

33、買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應(yīng)選用哪個？ 【導(dǎo)學(xué)號：95032271】 [解]　(1)由柱狀圖及以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2. 從而P(X＝16)＝0.20.2＝0.04； P(X＝17)＝20.20.4＝0.16； P(X＝18)＝20.20.2＋0.40.4＝0.24； P(X＝19)＝20.20.2＋20.40.2＝0.24； P(X＝20)＝20.20.4＋0.20.2＝0.2； P(X＝21)＝20.20.2＝0.08； P(X＝22)

34、＝0.20.2＝0.04. 所以X的分布列為 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68， 故n的最小值為19. (3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)． 當(dāng)n＝19時， E(Y)＝192000.68＋(19200＋500)0.2＋(19200＋2500)0.08＋(19200＋3500)0.04＝4 040； 當(dāng)n＝20時， E(Y)＝202000.88＋(20200＋500)0.0

35、8＋(20200＋2500)0.04＝4 080. 可知當(dāng)n＝19時所需費用的期望值小于當(dāng)n＝20時所需費用的期望值，故應(yīng)選n＝19. 11．(2016全國卷Ⅱ，18)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保　費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 一年內(nèi)出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概　率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10

36、 0.05 (1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率； (2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率； (3)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值． [解]　(1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故 P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55. (2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15. 又P(AB)＝P(B)， 故P(B|A)＝＝＝＝. 因此所求概率為. (3

37、)記續(xù)保人本年度的保費為X，則X的分布列為 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 EX＝0.85a0.30＋a0.15＋1.25a0.20＋1.5a0.20＋1.75a0.10＋2a0.05＝1.23a. 因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375