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1、
作業(yè)5：函數(shù)的奇偶性及周期性
參考時量：60分鐘 完成時間： 月 日
一、選擇題
1、函數(shù)為奇函數(shù),且當時,,則
(A) (B) 0 (C) 1 (D) 2
【答案】A
2、定義在上的函數(shù)滿足.當時，，當時，。則f1+f2+f3+?+f2015=( B )
（A）335 （B）336 （C）3381678 （D）2012
3、設是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上，其中．若，則的值為（ A ）
A:-10 B
2、：10 C:2 D:-2
【答案】A
【解析】∵是定義在上且周期為2的函數(shù)，∴，即①。
又∵，，
∴②。
聯(lián)立①②，解得，?！唷?
4、設f(x)是偶函數(shù)，且當x>0時是單調(diào)函數(shù)，則滿足f(2x)＝f()的所有x之和為( C )
A．－ B．－ C．－8 D．8
解析：∵f(x)是偶函數(shù)，f(2x)＝f() ∴f(|2x|)＝f(||)
又∵f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)函數(shù)， ∴|2x|＝||，
即2x＝或2x＝－ 整理得2x2＋7x－1＝0或2x2＋9x＋
3、1＝0
設方程2x2＋7x－1＝0的兩根為x1，x2，方程2x2＋9x＋1＝0的兩根為x3，x4.
則(x1＋x2)＋(x3＋x2)＝－＋(－)＝－8.
答案：C
5、已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，g(x)是R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，若f(0)＝2，則f（2012）的值為（ Ａ）
A．2 B．0 C．－2 D．2
解析：由g(x)＝f(x－1) ?、?
g(－x)＝f(－x－1)， 即－g(x)＝f(x＋1) ?、?
① ＋②得f(x＋1)＋f(x－1)＝0 ∴f(x＋1)＝－f(x－1)
即f(x＋2)＝－f(x) f(
4、x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)
則f(x)是以4為周期的周期函數(shù) f(2 012)＝f(0)＝2.
答案：A
6、已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，若，，則實數(shù)的取值范圍為（ B ）
A. B. C. D.
二、填空題
7、設是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當時，，則 1 .
8、定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在[－3，－2]上單調(diào)遞減，又α，β是銳角三角形的兩內(nèi)角，則f(sin α)與f(cos β)的大小關系是________．
f(sin α)＞f(cos
5、 β)
9、已知是定義在上的奇函數(shù).當時,,則不等式的解集用區(qū)間表示為___________.
【答案】
10、設為實常數(shù),是定義在R上的奇函數(shù),當時,,若對一切成立,則的取值范圍為________
【答案】.
三、解答題
11、知函數(shù)的定義在上函數(shù)，對定義域內(nèi)的任意都有，且當時，
（1）求證：是偶函數(shù) ；（2）在是增函數(shù)；（3）解不等式
11【解析】
12、定義在[－1,1]上的奇函數(shù)f(x)，已知當x∈[－1,0]時，f(x)＝－(a∈R)．
(1)寫出f(x)在[0,1]上的解析式；
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值；
(3)若f(x)是[0,1
6、]上的增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.
解：(1)設x∈[0,1]，則－x∈[－1,0]， f(－x)＝－＝4x－a2x，
∴f(x)＝a2x－4x，x∈[0,1]．
(2)∵f(x)＝a2x－4x，x∈[0,1]， 令t＝2x，t∈[1,2]， ∴g(t)＝at－t2＝－(t－)2＋.
當≤1， 即a≤2時，g(t)max＝g(1)＝a－1；
當1<<2， 即2
7、－4.
(3)因為函數(shù)f(x)在[0,1]上是增函數(shù)，
所以f′(x)＝aln22x－ln44x＝2xln2(a－22x)≥0恒成立，
即a－22x≥0恒成立，a≥22x恒成立．
∵2x∈[1,2]， ∴a≥4.
13、定義在R上的增函數(shù)y＝f(x)對任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(0)；
(2)求證：f(x)為奇函數(shù)；
(3)若f(k3x)＋f(3x－9x－2)<0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
解答：(1)令x＝y(tǒng)＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.
(2)證明：令y＝－x，得f(x－x)＝f
8、(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，
則有0＝f(x)＋f(－x)．即f(－x)＝－f(x)對任意x∈R成立，
所以f(x)是奇函數(shù)．
(3)因為f(x)在R上是增函數(shù)，又由(2)知f(x)是奇函數(shù)．
f(k3x)<－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)，
所以k3x<－3x＋9x＋2，
法一：32x－(1＋k)3x＋2>0對任意x∈R成立．
令t＝3x>0，問題等價于t2－(1＋k)t＋2>0對任意t>0恒成立．
令f(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其對稱軸為x＝，
當<0即k<－1時，f(0)＝2>0，符合題意；
當≥0即k≥－1時，對任意t>0，f(t
9、)>0恒成立
?
解得－1≤k<－1＋2.綜上所述，當k<－1＋2時，
f(k3x)＋f(3x－9x－2)<0對任意x∈R恒成立．
法二：由k3x<－3x＋9x＋2，得k<3x＋－1.
u＝3x＋－1≥2－1，即u的最小值為2－1，
要使對x∈R不等式k<3x＋－1恒成立， 只要使k<2－1.
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