高中數(shù)學(xué) 章末綜合測評2 平面向量 新人教A版必修4

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1、 章末綜合測評(二)　平面向量 (時(shí)間120分鐘，滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．下列命題中正確的是(　　) A.－＝　　　 B.＋＝0 C．0·＝0 D.＋－＝ D　[A錯(cuò)，－＝；B錯(cuò)，＋＝0；C錯(cuò)，0·＝0；D正確，＋－＝＋＋＝.] 2．如圖1所示，一力作用在小車上，其中力F的大小為10 N，方向與水平面成60°角，當(dāng)小車向前運(yùn)動(dòng)10 m，則力F做的功為(　　) 圖1 A．100 J B．50 J C．50 J D．200 J B　

2、[設(shè)小車位移為s，則|s|＝10 m， WF＝F·s＝|F||s|·cos 60° ＝10×10×＝50(J)． 故選B.] 3．對任意向量a，b，下列關(guān)系式中不恒成立的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：84352286】 A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b|| C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 B　[根據(jù)a·b＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．當(dāng)向量a和b方向不相同時(shí)，|a－b|&g

3、t;||a|－|b||，B不恒成立．根據(jù)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立．] 4．設(shè)非零向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，則向量a，b的夾角為 (　　) A．150° B．120° C．60° D．30° B　[設(shè)向量a，b夾角為θ， |c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ， 則cos θ＝－，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故選B.]

4、 5．已知A(1，－3)、B，且A、B、C三點(diǎn)共線，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是 (　　) 【導(dǎo)學(xué)號：84352287】 A．(－9,1) B．(9，－1) C．(9,1) D．(－9，－1) C　[設(shè)C(x，y)，則＝，＝(x－1，y＋3)，由A、B、C三點(diǎn)共線，得∥，即(x－1，y＋3)＝λ， 所以得x－2y－7＝0， 把選項(xiàng)代入驗(yàn)證即可．] 6．已知＝(1,1)，＝(4,1)，＝(4,5)，則與夾角的余弦值為 (　　) A． B． C．0 D．以上結(jié)果都不對 B　[設(shè)與夾角為θ，＝(3,0)，＝(3,4)， ∴cos θ＝＝.] 7．已知點(diǎn)A，B，C滿足||＝3，

5、||＝4，||＝5，則·＋·＋·的值是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：84352288】 A．－25 B．25 C．－24 D．24 A　[因?yàn)閨|2＋||2＝9＋16＝25＝||2， 所以∠ABC＝90°， 所以原式＝·＋(＋)＝0＋· ＝－2＝－25.] 8．已知A(7,1)，B(1,4)，直線y＝ax與線段AB交于C，且＝2，則實(shí)數(shù)a等于(　　) A．2　　　　 B．1 C．　　　　 D． A　[設(shè)C(x，y)，則＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)， ∵＝2，∴解得 ∴C(3,3)，又∵C在直線y

6、＝ax上，所以3＝a·3， ∴a＝2.] 9．如圖2，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，則λ＋μ的值為(　　) 圖2 A. B. C. D. B　[∵＝， ∴－＝(－)， ∴＝＋，又＝， ∴＝＋＝λ＋μ， ∴λ＝，μ＝， ∴λ＋μ＝.] 10．如圖3，在⊙C中，弦AB的長度為4，則·的值為(　　) 圖3 A．12 B．8 C．4 D．2 B　[如圖，設(shè)圓的半徑為r，過點(diǎn)C作CD⊥AB， 垂足為D.又弦AB的長度為4，所以AD＝2，所以·＝||||cos∠CAD＝4r·＝8.故選B.] 11．在△AB

7、C中，(＋)·＝||2，則△ABC的形狀一定是(　　) A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 C　[∵(＋)·＝||2＝2， ∴·(＋－)＝0， 即·(＋＋)＝0， ∴·2＝0， ∴⊥，∴A＝， ∴△ABC是直角三角形．] 12．如圖4，兩個(gè)全等的直角邊長為1的等腰直角三角形拼在一起，若＝λ＋k，則λ＋k＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：84352289】 圖4 A．1＋ B．2－ C．2 D．＋2 A　[如圖，作DN⊥AC，交AC的延長線于N，延長DE交AB于M，則＝＋，易知CN

8、＝，所以＝. 易知BE＝－1，所以MB＝×(－1)＝1－，所以AM＝，所以＝，所以＝＋＝＋.又＝λ＋k，所以λ＝，k＝1＋，故λ＋k＝1＋.] 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上) 13．與向量a＝(1,2)平行，且模等于的向量為________． (1,2)或(－1，－2)　[因?yàn)樗笙蛄颗c向量a＝(1,2)平行，所以可設(shè)所求向量為x(1,2)，又因?yàn)槠淠?，所以x2＋(2x)2＝5，解得x＝±1. 因此所求向量為(1,2)或(－1，－2)．] 14．已知|a|＝2，|b|＝，a與b的夾角為，要使λb－a與a垂直，則λ為_

9、_______. 【導(dǎo)學(xué)號：84352290】 2　[由λb－a與a垂直，得 (λb－a)·a＝0即 λa·b＝a2＝4， ∴a·b＝. 又∵|a|＝2，|b|＝，〈a，b〉＝， ∴cos〈a，b〉＝，即＝， ∴＝2，∴λ＝2.] 15．已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夾角為，如圖5所示，若＝5p＋2q，＝p－3q，D為BC的中點(diǎn)，則||＝________. 圖5 　[∵＝(＋)＝(5p＋2q＋p－3q) ＝(6p－q)， ∴||＝＝ ＝ ＝ ＝.] 16．如圖6所示，半圓的直徑AB＝2，O為圓心，C是半圓上不同于A，B

10、的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則(＋)·的最小值是________. 【導(dǎo)學(xué)號：84352291】 圖6 －　[因?yàn)辄c(diǎn)O是A，B的中點(diǎn)， 所以＋＝2， 設(shè)||＝x，則||＝1－x(0≤x≤1)， 所以(＋)·＝2· ＝－2x(1－x) ＝22－. 所以當(dāng)x＝時(shí)，(＋)·取到最小值－.] 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)如圖7，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是AD，BC邊上的中點(diǎn)，且BC＝3AD，＝a，＝b.試以a，b為基底表示，，.

11、 圖7 [解]　∵AD∥BC，且AD＝BC， ∴＝＝b. ∵E為AD的中點(diǎn)， ∴＝＝b. ∵＝，∴＝b， ∴＝－＝a－b， ∴＝＋＝－－ ＝－b－ ＝b－a， ＝＋＝－(＋) ＝－ ＝b－a， ＝＋＝－(＋) ＝－(＋)＝－ ＝a－b. 18．(本小題滿分12分)如圖8所示，若D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求證：AD⊥BC. 【導(dǎo)學(xué)號：84352292】 圖8 [證明]　設(shè)＝a，＝b，＝e，＝c，＝d， 則a＝e＋c，b＝e＋d， ∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－

12、d2， ∵AB2－AC2＝DB2－DC2，∴a2－b2＝c2－d2， ∴2e·c－2e·d＝0即e·(c－d)＝0， ∵＝－＝d－c， ∴·＝e·(d－c)＝0. 因此⊥，即AD⊥BC. 19．(本小題滿分12分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求|a＋b|. (2)求向量a在向量a＋b方向上的投影． [解]　(1)因?yàn)?2a－3b)·(2a＋b)＝61， 所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 因?yàn)閨a|＝4，|b|＝3，所以a·b＝－

13、6， 所以|a＋b|＝ ＝＝. (2)因?yàn)閍·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，所以向量a在向量a＋b方向上的投影為＝＝. 20．(本小題滿分12分)已知點(diǎn)A(2,0)，B(0,2)，C(cos α，sin α)(其中0＜α＜π)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|＋|＝，求與的夾角. 【導(dǎo)學(xué)號：84352293】 [解]　由已知＋＝(2＋cos α，sin α)． ∵|＋|＝， ∴(2＋cos α)2＋sin2α＝7， 即4＋4cos α＋cos2α＋sin2α＝7， ∴cos α＝，又α∈(0，π)， ∴sin α＝. 從而＝，又＝(0,2)，

14、∴cos∠BOC＝＝， ∴∠BOC＝. 故與的夾角為. 21．(本小題滿分12分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a－b|＝，求證：a⊥b； (2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． [解]　(1)證明：由題意得|a－b|2＝2， 即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2. 又因?yàn)閍2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b. (2)因?yàn)閍＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以 由①得，co

15、s α＝cos(π－β)， 由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又0＜α＜π，故α＝π－β. 代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝，而α＞β，所以α＝，β＝. 22．(本小題滿分12分)已知四邊形ABCD，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)． (1)若∥，求y＝f(x)的解析式； (2)在(1)的條件下，若⊥，求x，y的值以及四邊形ABCD的面積. 【導(dǎo)學(xué)號：84352294】 [解]　(1)＝－(＋＋)＝(－x－4,2－y)， ∵∥， ∴x(2－y)－(－x－4)y＝0， 整理得x＋2y＝0，∴y＝－x. (2)∵＝＋＝(x＋6，y＋1

16、)， ＝＋＝(x－2，y－3)， 又∵⊥，∴·＝0， 即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0， 由(1)知x＝－2y，將其代入上式，整理得y2－2y－3＝0， 解得y1＝3，y2＝－1. 當(dāng)y＝3時(shí)，x＝－6， 于是＝(－6,3)，＝(0,4)，＝(－8,0)， ||＝4，||＝8， ∴S四邊形ABCD＝||||＝×4×8＝16. 當(dāng)y＝－1時(shí)，x＝2， 于是＝(2，－1)，＝(8,0)，＝(0，－4)， ||＝8，||＝4， ∴S四邊形ABCD＝||||＝×8×4＝16. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375