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1、
第三講 柯西不等式與排序不等式
單元整合
知識網(wǎng)絡(luò)
專題探究
專題一 柯西不等式的應(yīng)用
利用柯西不等式證明其他不等式或求最值，關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù)，并向著柯西不等式的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
已知實(shí)數(shù)a，b，c，d，e滿足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，求e的取值范圍．
提示：由a2＋b2＋c2＋d2＋e2聯(lián)想到應(yīng)用柯西不等式．
解：∵4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2，
即4(16－e2)≥(8－e)2,64－4e2≥64－16e＋e2，
即5e2－16e≤0，∴e(5e－16)≤0，∴
2、0≤e≤.
即e的取值范圍是.
若n是不小于2的正整數(shù)，試證：
＜1－＋－＋…＋－＜.
提示：注意中間的一列數(shù)的代數(shù)和，其奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負(fù)，可進(jìn)行恒等變形予以化簡．
證明：1－＋－＋…＋－
＝－2
＝＋＋…＋，
所以求證式等價于＜＋＋…＋＜.
由柯西不等式，有
[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]＞n2，
于是，＋＋…＋
＞＝＝
≥＝，
又由柯西不等式，有＋＋…＋＜
≤＝.
綜上，原不等式成立．
專題二 排序不等式的應(yīng)用
應(yīng)用排序不等式可以簡捷地證明一類不等式，其證明的關(guān)鍵是找出兩組有序數(shù)組，通?？梢詮暮瘮?shù)單調(diào)性去尋找．
在△ABC中，試證：≤＜
3、.
提示：可構(gòu)造△ABC的邊和角的序列，應(yīng)用排序不等式來證明．
證明：不妨設(shè)a≤b≤c，于是A≤B≤C，由排序不等式，得：
aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，
aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，
aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.
相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，得≥，①
又由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，
有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)
＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)
＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)
＝(a＋b＋c)π－2(aA＋
4、bB＋cC)，
得＜.②
由①②得原不等式成立．
專題三 利用不等式解決最值問題
利用不等式解決最值問題，尤其是含多個變量的問題，是一種常用方法．特別是條件最值問題，通常運(yùn)用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及冪平均不等式等，但要注意取等號的條件能否滿足．
設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值．
解：根據(jù)柯西不等式，知
(a＋2b＋3c)
≥2＝(＋＋)2，
∴(＋＋)2≤，
則＋＋≤，
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時取等號．
又a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝，c＝時，
＋＋有最大值.
專題四 利用柯西不等式解決實(shí)際問題
數(shù)學(xué)知識服務(wù)于生活實(shí)踐始終
5、是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心問題，利用柯西不等式解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是從實(shí)際情景中構(gòu)造出這類不等式的模型．
如圖，等腰直角三角形AOB的直角邊長為1.
在此三角形中任取點(diǎn)P，過P分別引三邊的平行線，與各邊圍成以P為頂點(diǎn)的三個三角形(圖中陰影部分)，求這三個三角形的面積和的最小值，以及達(dá)到最小值時P的位置．
解：分別取OA，OB為x軸、y軸，則AB的方程為x＋y＝1，
記P點(diǎn)坐標(biāo)P(xP，yP)，則以P為公共頂點(diǎn)的三個三角形的面積和S為S＝x＋y＋(1－xP－yP)2，則
2S＝x＋y＋(1－xP－yP)2.
由柯西不等式，得
[x＋y＋(1－xP－yP)2](12＋12＋12)≥
[xP＋yP＋(1－xP－yP)]2，
即2S3＝6S≥1，所以S≥.
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時，等號成立，
即xP＝y(tǒng)P＝時，面積S最小，且最小值為.
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