高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.2 函數(shù)的簡單性質(zhì) 2.2.1 函數(shù)的單調(diào)性1學(xué)案 蘇教版必修1

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1、 2.2.1 函數(shù)的單調(diào)性 第1課時 函數(shù)的單調(diào)性 1.理解函數(shù)單調(diào)性,能用定義來證明某一函數(shù)在確定區(qū)間上的單調(diào)性. 2.了解一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法. 1.增函數(shù) 一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,區(qū)間IA. 如果對于區(qū)間I內(nèi)任意兩個值x1,x2,當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就說y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù),I稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間. 【做一做1】函數(shù)y=(k2+1)x+3是__________函數(shù).(填“增”或“減”) 答案:增 2.減函數(shù) 一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,區(qū)間IA. 如果

2、對于區(qū)間I內(nèi)任意兩個值x1,x2,當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就說y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù),I稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間. 【做一做2】函數(shù)y=-x2-4x+5在(3,+∞)上是__________函數(shù).(填“增”或“減”) 答案:減 3.單調(diào)區(qū)間 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)或是單調(diào)減函數(shù),就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性.單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間. (1)對于單獨(dú)的一點(diǎn),由于其函數(shù)值是惟一的,因而無增減變化,所以不存在單調(diào)性問題,因此,在考慮函數(shù)單調(diào)區(qū)間時,若端點(diǎn)處有意義,包括不包括端點(diǎn)均可. (2)有的函數(shù)

3、在整個定義域內(nèi)具有單調(diào)性,有的函數(shù)在定義域的某個子集上具有單調(diào)性,有的函數(shù)沒有單調(diào)區(qū)間. 【做一做3-1】函數(shù)y=的單調(diào)減區(qū)間是__________. 答案:(-∞,0)和(0,+∞) 【做一做3-2】函數(shù)y=x2-2x-3的單調(diào)增區(qū)間是______. 答案:(1,+∞) 要正確理解單調(diào)性的定義,應(yīng)該抓住哪幾個重要字眼? 剖析:(1)第一關(guān)鍵——“定義域內(nèi)”. 研究函數(shù)的很多性質(zhì),我們都應(yīng)有這樣一個習(xí)慣:定義域優(yōu)先原則.函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個子區(qū)間而言的,即單調(diào)區(qū)間是定義域的子集. (2)第二關(guān)鍵——“某個區(qū)間”. 增函數(shù)和減函數(shù)都是對相應(yīng)的區(qū)間而言的,離開相應(yīng)的區(qū)

4、間就談不上函數(shù)的單調(diào)性.我們不能說一個函數(shù)在x=5時是遞增的或遞減的,因?yàn)檫@時沒有一種可比性,沒突出變化.所以我們不能脫離區(qū)間泛泛談?wù)撃骋粋€函數(shù)是增函數(shù)或是減函數(shù).比如二次函數(shù)y=x2,在y軸左側(cè)它是減函數(shù),在y軸右側(cè)它是增函數(shù).因而我們不能單一地說y=x2是增函數(shù)或是減函數(shù),必須加上區(qū)間進(jìn)行區(qū)別. 當(dāng)然,有些函數(shù)在其整個定義域內(nèi)單調(diào)性一致,如y=x,我們會說y=x在定義域內(nèi)是增函數(shù).此時,“在定義域內(nèi)”常被忽略,這就是說法上的一種錯誤了. (3)“任意”和“都有”別忽略. 在定義中,“任意”兩個字很重要,它是指不能取特定的值來判斷函數(shù)的增減性,而“都有”的意思是:只要x1<x2,f(x

5、1)就必須都小于f(x2),或f(x1)都大于f(x2). 對“任意”二字不能忽視,我們可以構(gòu)造一個反例:考查函數(shù)y=x2,在區(qū)間[-2,2]上,如果取兩個特定的值x1=-2,x2=1,顯然x1<x2,而f(x1)=4,f(x2)=1,有f(x1)>f(x2),若由此判定y=x2在[-2,2]上是減函數(shù),那就錯了. 同樣地,理解“都有”,我們也可以舉例說明:y=x2在[-2,2]上,當(dāng)x1=-2,x2=-1時,有f(x1)>f(x2);當(dāng)x1=1,x2=2時,有f(x1)<f(x2).從上例我們可以看到對于x1<x2,f(x1)并沒始終小于(或者大于)f(x2).因此就不能說y=x2在[-

6、2,2]上是增函數(shù)或減函數(shù). 題型一 函數(shù)單調(diào)性的證明 【例1】已知函數(shù)f(x)=x+, (1)畫出函數(shù)的圖象,并求其單調(diào)區(qū)間; (2)用定義證明函數(shù)在(0,1)上是減函數(shù). 分析:運(yùn)用描點(diǎn)法作圖應(yīng)避免描點(diǎn)的盲目性,也應(yīng)避免盲目地連點(diǎn)成線.要把表列在關(guān)鍵處,要把線連在恰當(dāng)處.這就要求對所畫圖的存在范圍、大致特征、變化趨勢等先作一個大概的研究.單調(diào)區(qū)間一般是函數(shù)定義域的子集,同一個函數(shù)在定義域內(nèi)可以有幾個不同的單調(diào)增(或減)區(qū)間,函數(shù)的兩個單調(diào)區(qū)間之間可以用“,”或“和”字連接,而不能用符號“∪”連接.“定義作差法”是證明函數(shù)單調(diào)性的一般方法,而有時通過定義作差法也可以直接找出單

7、調(diào)區(qū)間. (1)解:列表如下: x -3 -2 -1 - 1 2 3 y=x+ - - -2 - 2 描點(diǎn),并連線,可得圖象如下圖: 由圖象可知,增區(qū)間:(-∞,-1],[1,+∞),減區(qū)間:[-1,0),(0,1]. (2)證明:設(shè)x1,x2是區(qū)間(0,1)內(nèi)的任意的兩個值,且x1<x2.∴0<x1<x2<1.則f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2), ∵0<x1<x2<1,∴x1-x2<0,0<x1x2<1. ∴>1.∴1-<0. ∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2). ∴f

8、(x)=x+在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù). 反思:“對勾”函數(shù)f(x)=x+(a>0)是高中數(shù)學(xué)具有代表性的一個函數(shù),應(yīng)掌握其圖象及特點(diǎn),并懂得其函數(shù)的性質(zhì): ①定義域:{x|x∈R,x≠0}; ②值域:(-∞,-2]∪[2,+∞); ③圖象:如下圖所示; ④奇偶性:為定義域上的奇函數(shù);(下課時學(xué)習(xí)) ⑤單調(diào)性:(-∞,-],[,+∞)上是增函數(shù),[-,0),(0,]上是減函數(shù); ⑥漸近線:x=0(即y軸)和y=x. 題型二 二次函數(shù)的單調(diào)性討論 【例2】討論函數(shù)f(x)=x2-2ax+3在(-2,2)內(nèi)的單調(diào)性. 分析:判斷二次函數(shù)的單調(diào)性,主要判斷對稱軸是在區(qū)間內(nèi)、

9、區(qū)間左邊或是區(qū)間右邊. 解:因?yàn)閒(x)=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2,對稱軸為x=a, 所以若a≤-2,則f(x)=x2-2ax+3在(-2,2)上是增函數(shù);若-2<a<2,則f(x)=x2-2ax+3在(-2,a)上是減函數(shù),在[a,2)上是增函數(shù); 若a≥2,則f(x)=x2-2ax+3在(-2,2)上是減函數(shù). 反思:此題容易忽略對稱軸所在的位置,沒有分類討論而產(chǎn)生漏解. 題型三 利用單調(diào)性求解不等式 【例3】已知定義在[-3,3]上的函數(shù)f(x)是增函數(shù),求不等式f(2x-1)<f(x+1)的解集. 分析:本題不知道函數(shù)解析式,只有從定義出發(fā);若x1<x2

10、,且f(x1)<f(x2),則f(x)單調(diào)遞增.反之,若f(x)單調(diào)遞增,且f(x1)<f(x2),則x1<x2. 解:由題意得-3≤2x-1<x+1≤3, 解得-1≤x<2, 即原不等式的解集為[-1,2). 反思:在求解本題時,必須考慮函數(shù)f(x)的定義域,若僅從2x-1<x+1來求解是錯誤的. 1若函數(shù)y=在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則k的取值范圍是__________. 解析:由題意得2k-1<0,k<. 答案: 2如圖是定義在閉區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象,根據(jù)圖象,y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________,單調(diào)遞減區(qū)間為__________.

11、 答案:[-2,1)和[3,5]?。郏?,-2)和[1,3) 3函數(shù)f(x)是區(qū)間(0,+∞)上的減函數(shù),則f(a2-a+1)__________.(填“≥”或“≤”) 解析:要比較f(a2-a+1)與的大小,由于f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),只需比較a2-a+1與的大?。? 因?yàn)閍2-a+1=+≥, 所以f(a2-a+1)≤. 答案:≤ 作出函數(shù)y=|x2-4x+3|的圖象,并寫出它的單調(diào)區(qū)間. 解:∵y=|x2-4x+3|= ∴函數(shù)y=|x2-4x+3|的圖象如下圖所示. ∵原函數(shù)的對稱軸為x=2, ∴單調(diào)增區(qū)間為(1,2)和(3,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(

12、-∞,1)和(2,3). 5已知函數(shù)y=ax和y=-在(0,+∞)上都是減函數(shù),試判斷y=ax2+bx在(0,+∞)上的單調(diào)性,并予以證明. 解:由條件得a<0,b<0,從而函數(shù)y=ax2+bx在(0,+∞)上單調(diào)遞減. 證明如下: 設(shè)x1,x2為區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的任意兩個值,且x1<x2, 則y1-y2=(ax21+bx1)-(ax22+bx2) =a(x1-x2)(x1+x2)+b(x1-x2) =(x1-x2)[a(x1+x2)+b], ∵x1-x2<0,x1+x2>0, ∴a(x1+x2)+b<0.∴y1-y2>0,即y1>y2. 從而函數(shù)y=ax2+bx在(0,+∞)上單調(diào)遞減. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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