高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 算法初步、統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例 第二節(jié) 隨機(jī)抽樣教師用書 理

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1、 第二節(jié) 隨機(jī)抽樣 ☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆ 考綱要求 真題舉例 命題角度 1.理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性; 2.會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本; 3.了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法。 2015,湖南卷,12,5分(系統(tǒng)抽樣) 2014,天津卷,9,5分(分層抽樣) 2015,湖北卷,2,5分(簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣) 1.主要考查學(xué)生在應(yīng)用問題中構(gòu)造抽樣模型、識(shí)別模型、收集數(shù)據(jù)等能力方法,是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最基礎(chǔ)的知識(shí); 2.高考試題中主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),題目多為中低檔題,重在考查抽樣方法的應(yīng)用。 微知識(shí) 小題練 自|主|排|查 1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

2、(1)定義:設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體,從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N),如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等,就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。 (2)最常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法:抽簽法和隨機(jī)數(shù)法。 2.系統(tǒng)抽樣的步驟 假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本。 (1)先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào)。 (2)確定分段間隔k,對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段,當(dāng)是整數(shù)時(shí),取k=。 (3)在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l(l≤k)。 (4)按照一定的規(guī)則抽取樣本,通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)(l+k),再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)(l+2k),依次進(jìn)行下去,直到獲取整

3、個(gè)樣本。 3.分層抽樣 (1)定義:在抽樣時(shí),將總體分成互不交叉的層,然后按照_一定的比例,從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體,將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本,這種抽樣方法叫做分層抽樣。 (2)分層抽樣的應(yīng)用范圍: 當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí),往往選用分層抽樣。 微點(diǎn)提醒 1.隨機(jī)數(shù)法編號(hào)要求:應(yīng)保證各號(hào)數(shù)的位數(shù)相同,而抽簽法則無(wú)限制。 2.不論哪種抽樣方法,總體中的每一個(gè)個(gè)體入樣的概率是相同的。 3.系統(tǒng)抽樣是等距抽樣,入樣個(gè)體的編號(hào)相差的整數(shù)倍。 4.分層抽樣是按比例抽樣,每一層入樣的個(gè)體數(shù)為該層的個(gè)體數(shù)乘以抽樣比。 小|題|快|練 一 、走進(jìn)教材 1.(必修

4、3P64A組T6改編)在一次游戲中,獲獎(jiǎng)?wù)呖梢缘玫?件不同的獎(jiǎng)品,這些獎(jiǎng)品要從由1~50編號(hào)的50種不同獎(jiǎng)品中隨機(jī)抽取確定,用系統(tǒng)抽樣的方法為某位獲獎(jiǎng)?wù)叽_定5件獎(jiǎng)品的編號(hào)可以為(  ) A.5,15,25,35,45 B.1,3,5,7,9 C.11,22,33,44,50 D.12,15,19,23,28 【解析】 采用系統(tǒng)抽樣的等距抽樣法,抽樣間距為=10,隨機(jī)抽取第1個(gè)獎(jiǎng)品號(hào),設(shè)為a(0≤a≤10),則其他獎(jiǎng)品號(hào)分別為10+a,20+a,30+a,40+a,所以可知A正確。 【答案】 A 2.(必修3P100A組T2(2)改編)一段高速公路有300個(gè)太陽(yáng)能標(biāo)志燈,其中進(jìn)

5、口的有30個(gè),聯(lián)合研制的有75個(gè),國(guó)產(chǎn)的有195個(gè),為了掌握每個(gè)標(biāo)志燈的使用情況,要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本,若采用分層抽樣的方法,抽取的進(jìn)口的標(biāo)志燈的數(shù)量為(  ) A.2    B.3    C.5    D.13 【解析】 由題意,設(shè)抽取的進(jìn)口的標(biāo)志燈的數(shù)量為x,則=,所以x=2。故選A。 【答案】 A 3.(必修3P64A組T5改編)一個(gè)總體分為A,B兩層,用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本。已知B層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為,則總體中的個(gè)體數(shù)為(  ) A.40 B.60 C.80 D.120 【解析】 因?yàn)橛梅謱映闃臃椒◤目傮w中抽取一個(gè)容量為

6、10的樣本。由B層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為,知道在抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是。所以總體中的個(gè)體數(shù)為10=120。故選D。 【答案】 D 二、雙基查驗(yàn) 1.為了了解全校240名學(xué)生的身高情況,從中抽取40名學(xué)生進(jìn)行測(cè)量,下列說(shuō)法正確的是(  ) A.總體是240       B.個(gè)體是每一個(gè)學(xué)生 C.樣本是40名學(xué)生 D.樣本容量是40 【解析】 總體容量是240;總體是240名學(xué)生的身高;個(gè)體是每名學(xué)生的身高;樣本是40名學(xué)生的身高;樣本容量是40。故選D。 【答案】 D 2.總體由編號(hào)為01,02,…,19,20的20個(gè)個(gè)體組成。利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體,選

7、取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字,則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為(  ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.07 C.02 D.01 【解析】 從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字中小于20的編號(hào)依次為08,02,14,07,01,所以第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為01。故選D。 【答案】 D 3.某公司有員工500人,其中不到35歲的有125人,35~

8、49歲的有280人,50歲以上的有95人,為了調(diào)查員工的身體健康狀況,從中抽取100名員工,則應(yīng)在這三個(gè)年齡段分別抽取人數(shù)為(  ) A.33人,34人,33人 B.25人,56人,19人 C.30人,40人,30人 D.30人,50人,20人 【解析】 因?yàn)?25∶280∶95=25∶56∶19,所以抽取人數(shù)分別為25人,56人,19人。故選B。 【答案】 B 4.已知某商場(chǎng)新進(jìn)3 000袋奶粉,為檢查其三聚氰胺是否超標(biāo),現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取150袋檢查,若第一組抽出的號(hào)碼是11,則第六十一組抽出的號(hào)碼為________。 【解析】 每組袋數(shù):d==20, 由題

9、意知這些號(hào)碼是以11為首項(xiàng),20為公差的等差數(shù)列。a61=11+6020=1 211。 【答案】 1 211 微考點(diǎn) 大課堂 考點(diǎn)一 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 【典例1】 (1)下列抽取樣本的方式屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的個(gè)數(shù)為(  ) ①?gòu)臒o(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作為樣本; ②盒子里共有80個(gè)零件,從中選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)。在抽樣操作時(shí),從中任意拿出一個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后再把它放回盒子里; ③從20件玩具中一次性抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢查; ④某班有56名同學(xué),指定個(gè)子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽。 A.0           B.1 C.2 D.3 (2)(2016

10、泰安模擬)假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo),現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn),利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本時(shí),先將800袋奶按000,001,…,799進(jìn)行編號(hào),如果從隨機(jī)數(shù)表第8行第7列的數(shù)開始向右讀,請(qǐng)你依次寫出最先檢測(cè)的5袋牛奶的編號(hào)________。(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行) 【解析】 (1)①不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。因?yàn)楸怀槿颖镜目傮w的個(gè)體數(shù)是無(wú)限的,而不是有限的。 ②不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。因?yàn)樗欠呕爻闃印? ③不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。因?yàn)檫@是“一次性”抽取,而不是“逐個(gè)”抽取。 ④不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。因?yàn)橹付▊€(gè)子最高的5名同學(xué)是56名中特指的,不具有隨機(jī)性,不

11、是等可能的抽樣。故選A。 (2)找到第8行第7列的數(shù)開始向右讀,第一個(gè)符合條件的是785;第二個(gè)數(shù)916>799,舍去;第三個(gè)數(shù)955>799,舍去;第四個(gè)數(shù)567符合題意,這樣再依次讀出結(jié)果為199,507,175。 【答案】 (1)A (2)785,567,199,507,175 反思?xì)w納 抽簽法與隨機(jī)數(shù)表法的適用情況 1.抽簽法適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況,隨機(jī)數(shù)表法適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的情況。 2.一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧?,關(guān)鍵看兩點(diǎn): 一是抽簽是否方便;二是號(hào)簽是否易攪勻。一般地,當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時(shí)可用抽簽法。 【變式訓(xùn)練】 (1)下面的抽樣方法是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽

12、樣的是(  ) A.在某年明信片銷售活動(dòng)中,規(guī)定每100萬(wàn)張為一個(gè)開獎(jiǎng)組,通過(guò)隨機(jī)抽取的方式確定號(hào)碼的后四位為2 709的為三等獎(jiǎng) B.某車間包裝一種產(chǎn)品,在自動(dòng)包裝的傳送帶上,每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品,稱其重量是否合格 C.某學(xué)校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見 D.用抽簽方法從10件產(chǎn)品中選取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn) (2)(2015湖北高考)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題:糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧,有人送來(lái)米1 534石,驗(yàn)得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒,則這批米內(nèi)夾谷約為(  ) A.134石 B.169石 C.

13、338石 D.1 365石 【解析】 (1)A,B不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,因?yàn)槌槿〉膫€(gè)體間的間隔是固定的;C不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,因?yàn)榭傮w中的個(gè)體有明顯的層次;D是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。故選D。 (2)設(shè)這批米內(nèi)夾谷x石,則由題意知,=,即x=1 534≈169。故選B。 【答案】 (1)D (2)B 考點(diǎn)二 系統(tǒng)抽樣……母題發(fā)散 【典例2】 (1)為了解1 000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,采用系統(tǒng)抽樣的方法,從中抽取容量為40的樣本,則分段的間隔為(  ) A.50 B.40 C.25 D.20 (2)某單位有840名職工,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查,將840人按1,2,…

14、,840隨機(jī)編號(hào),則抽取的42人中,編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為(  ) A.11 B.12 C.13 D.14 【解析】 (1)由=25,可得分段間隔為25。故選C。 (2)由系統(tǒng)抽樣定義可知,所分組距為=20,每組抽取一個(gè),因?yàn)榘麛?shù)個(gè)組,所以抽取個(gè)體在區(qū)間[481,720]的數(shù)目為(720-480)20=12。故選B。 【答案】 (1)C (2)B 【母題變式】 1.本典例(2)中條件不變,若第三組抽得的號(hào)碼為44,則在第八組中抽得的號(hào)碼是______。 【解析】 在第八組中抽得的號(hào)碼為(8-3)20+44=144。 【答案】 144 2.本典例(2

15、)中條件不變,若在編號(hào)為[481,720]中抽取8人,則樣本容量為________。 【解析】 因?yàn)樵诰幪?hào)[481,720]中共有720-480=240人,又在[481,720]中抽取8人,所以抽樣比應(yīng)為240∶8=30∶1,又因?yàn)閱挝宦毠す灿?40人,所以應(yīng)抽取的樣本容量為=28。 【答案】 28 反思?xì)w納 解決系統(tǒng)抽樣問題的兩個(gè)關(guān)鍵步驟 1.分組的方法應(yīng)依據(jù)抽取比例而定,即根據(jù)定義每組抽取一個(gè)樣本。 2.起始編號(hào)的確定應(yīng)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法,一旦起始編號(hào)確定,其他編號(hào)便隨之確定了。 【拓展變式】 (2015湖南高考)在一次馬拉松比賽中,35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)(單位:分鐘)的莖葉圖如

16、圖所示。 13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9 14 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8 15 0 1 2 2 3 3 3 若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為1~35號(hào),再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人,則其中成績(jī)?cè)趨^(qū)間[139,151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是________。 【解析】 357=5,因此可將編號(hào)為1~35的35個(gè)數(shù)據(jù)分成7組,每組有5個(gè)數(shù)據(jù),在區(qū)間[139,151]上共有20個(gè)數(shù)據(jù),分在4個(gè)小組中,每組取1人,共取4人。 【答案】 4 考點(diǎn)三 分層抽樣……多維探究 角度一:分層抽樣的計(jì)算 【典例3】 (2016安徽江南十

17、校聯(lián)考)2016年1月1日我國(guó)全面二孩政策實(shí)施后,某中學(xué)的一個(gè)學(xué)生社團(tuán)組織了一項(xiàng)關(guān)于生育二孩意愿的調(diào)查活動(dòng)。已知該中學(xué)所在的城鎮(zhèn)符合二孩政策的已婚女性中,30歲以下的約2 400人,30歲至40歲的約3 600人,40歲以上的約6 000人。為了解不同年齡層的女性對(duì)生育二孩的意愿是否存在顯著差異,該社團(tuán)用分層抽樣的方法從中抽取了一個(gè)容量為N的樣本進(jìn)行調(diào)查,已知從30歲至40歲的女性中抽取的人數(shù)為60,則N=________。 【解析】 由題意可得=,故N=200。 【答案】 200 角度二:分層抽樣與概率的綜合問題 【典例4】 最新高考改革方案已在上海和浙江實(shí)施,某教育機(jī)構(gòu)為了解我省廣

18、大師生對(duì)新高考改革方案的看法,對(duì)某市部分學(xué)校500名師生進(jìn)行調(diào)查,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下: 贊成改革 不贊成改革 無(wú)所謂 教師 120 y 40 學(xué)生 x z 130 在全體師生中隨機(jī)抽取1名“贊成改革”的人是學(xué)生的概率為0.3,且z=2y。 (1)現(xiàn)從全部500名師生中用分層抽樣的方法抽取50名進(jìn)行問卷調(diào)查,則應(yīng)抽取“不贊成改革”的教師和學(xué)生人數(shù)各是多少? (2)在(1)中所抽取的“不贊成改革”的人中,隨機(jī)選出3人進(jìn)行座談,求至少有1名教師被選出的概率。 【解析】 (1)由題意知=0.3,所以x=150,所以y+z=60。 因?yàn)閦=2y,所以y=20,z=40。

19、則應(yīng)抽取“不贊成改革”的教師人數(shù)為20=2, 應(yīng)抽取“不贊成改革”的學(xué)生人數(shù)為40=4。 (2)至少有1名教師被選出的概率 【答案】 (1)教師為2名,學(xué)生為4名 (2) 微考場(chǎng) 新提升 1.為了了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況,擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異,而男女生視力情況差異不大,在下面的抽樣方法中,最合理的抽樣方法是(  ) A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B.按性別分層抽樣 C.按學(xué)段分層抽樣 D.系統(tǒng)抽樣 解析 不同的學(xué)段在視力狀況上有所差異,所以應(yīng)該按照學(xué)段分層抽樣。故選C。 答案 C

20、2.某校選修乒乓球課程的學(xué)生中,高一年級(jí)有30名,高二年級(jí)有40名?,F(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本,已知在高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了6名,則在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為(  ) A.6 B.8 C.10 D.12 解析 設(shè)樣本容量為N,則N=6,∴N=14, ∴高二年級(jí)所抽學(xué)生人數(shù)為14=8。故選B。 答案 B 3.從2 007名學(xué)生中選取50名學(xué)生參加全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽,若采用下面的方法選?。合扔煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣從2 007人中剔除7人,剩下的2 000人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取,則每人入選的概率(  ) A.不全相等 B.均不相等 C.都相等,且為 D.

21、都相等,且為 解析 從N個(gè)個(gè)體中抽取M個(gè)個(gè)體,則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都等于。 先從2 007人中剔除7人,即從中選2 000人,每人被選到的概率為,再?gòu)? 000人中選50人,每人被選到的概率為,故每人入選的概率為=。故選C。 答案 C 4.某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為3∶3∶4,現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為50的樣本,則應(yīng)從高二年級(jí)抽取________名學(xué)生。 解析 抽取比例與學(xué)生比例一致。 設(shè)應(yīng)從高二年級(jí)抽取x名學(xué)生,則x∶50=3∶10。解得x=15。 答案 15 5.用系統(tǒng)抽樣法從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本,將160名學(xué)生

22、從1~160編號(hào),按編號(hào)順序平均分成20組(1~8號(hào),9~16號(hào),…,153~160號(hào)),若第16組抽出的號(hào)碼為123,則第2組中應(yīng)抽出個(gè)體的號(hào)碼是________。 解析 由題意可知,系統(tǒng)抽樣的組數(shù)為20,間隔為8,設(shè)第1組抽出的號(hào)碼為x,則由系統(tǒng)抽樣的法則可知,第n組抽出個(gè)體的號(hào)碼應(yīng)該為x+(n-1)8,所以第16組應(yīng)抽出的號(hào)碼為x+(16-1)8=123,解得x=3,所以第2組中應(yīng)抽出個(gè)體的號(hào)碼為3+(2-1)8=11。 答案 11 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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