【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)配套文檔：第2章 第8節(jié)　函數(shù)與方程

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 【考綱下載】 1．結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)． 2．根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解． 1．函數(shù)的零點(diǎn) (1)定義 對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)． (2)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根、函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)間的關(guān)系 方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)． (3)

2、函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理) 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖象 與x軸的 交點(diǎn) (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 無(wú)交點(diǎn) 零點(diǎn)個(gè)數(shù) 兩個(gè) 一個(gè) 零個(gè) 3.二分法的定義 對(duì)于

3、在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法． 1．函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)y＝f(x)與x軸的交點(diǎn)嗎？是否任意函數(shù)都有零點(diǎn)？ 提示：函數(shù)的零點(diǎn)不是函數(shù)y＝f(x)與x軸的交點(diǎn)，而是y＝f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也就是說(shuō)函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù)；并非任意函數(shù)都有零點(diǎn)，只有f(x)＝0有根的函數(shù)y＝f(x)才有零點(diǎn)． 2．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，一定有f(a)·f(b)<0嗎？ 提示：不一定

4、，如圖所示，f(a)·f(b)>0. 3．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)嗎？ 提示：不一定，可能有多個(gè)． 1．(教材習(xí)題改編)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是(　　) 　 A　 　　　　B　　　　　C　　　　　D 解析：選C　由圖象可知，選項(xiàng)C所對(duì)應(yīng)零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值的符號(hào)是相同的，故不能用二分法求解． 2．(教材習(xí)題改編)用二分法求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(2,4)上的近似解，驗(yàn)證f(2)·f (4)<0，

5、給定精確度ε＝0.01，取區(qū)間(2,4)的中點(diǎn)x1＝＝3，計(jì)算得f(2)·f(x1)<0，則此時(shí)零點(diǎn)x0所在的區(qū)間為(　　) A．(2,4)　　　　　　　　 　 B．(3,4) C．(2,3) D．(2.5,3) 解析：選C　∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，∴f(3)·f(4)>0， ∴零點(diǎn)x0所在的區(qū)間為(2,3)． 3．函數(shù)f(x)＝log2x＋x－4的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(　　) A. B．(1,2) C．(2,3) D

6、．(3, 4) 解析：選C　因?yàn)閒(2)＝log22＋2－4＝－1<0，f(3)＝log23－1>0，所以f(2)·f(3)<0，故零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為(2,3)． 4．函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選B　函數(shù)f(x)＝ex＋3x零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)y＝ex與y＝－3x圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出y＝ex與y＝－3x的圖象如圖． 故函數(shù)f(x)＝ex＋3x只有一個(gè)零點(diǎn)． 5．函數(shù)y＝|x|－m有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是________

7、． 解析：在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出y1＝|x|和y2＝m的圖象，如圖所示，由于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故0<m<1. 答案：(0,1) 數(shù)學(xué)思想(四) 利用數(shù)形結(jié)合解決方程根的問(wèn)題 在解決與方程的根或函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，如果按照傳統(tǒng)方法很難奏效時(shí)，常通過(guò)數(shù)形結(jié)合將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題來(lái)解決． [典例]　(20xx·福建高考)對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：a*b＝設(shè)f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且關(guān)于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是________． [解題指導(dǎo)]　方

8、程f(x)＝m恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝m恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，可借助圖形確定x1，x2，x3的范圍，進(jìn)而求出x1x2x3的范圍． [解析]　由定義可知，f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝ 即f(x)＝作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示， 關(guān)于x的方程f(x)＝m恰有三個(gè)互不相等的實(shí)根x1，x2，x3，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則0<m<.不妨設(shè)從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3. 當(dāng)x>0時(shí)，－x2＋x＝m，即x2－x＋m＝0，∴x2＋x3＝1， ∴0<x2x3<2，即0<x2x3&

9、lt;；當(dāng)x<0時(shí)，由得x＝， ∴<x1<0，即0<－x1<.∴0<－x1x2x3<，故<x1x2x3<0. [答案]　 [題后悟道]　1.解決本題的關(guān)鍵有以下三點(diǎn)： (1)根據(jù)新定義正確求出函數(shù)f(x)的解析式，并準(zhǔn)確畫(huà)出其圖象； (2)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及基本不等式確定x2x3的范圍； (3)正確確定x1的取值范圍． 2．函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)?方程f(x)＝0有實(shí)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)．在解決函數(shù)與方程的問(wèn)題時(shí)，要注意這三者之間的關(guān)系，在解題中充分利用這個(gè)關(guān)系與實(shí)際問(wèn)題的轉(zhuǎn)化． 若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝1－x2，函數(shù)g(x)＝則方程f(x)－g(x)＝0在區(qū)間[－5,5]上的解的個(gè)數(shù)為(　　) A．5 B．7 C．8 D．10 解析： 選C　依題意得，函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)，在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)的圖象，結(jié)合圖象得，當(dāng)x∈[－5,5]時(shí)，它們的圖象的公共點(diǎn)共有8個(gè)，即方程f(x)－g(x)＝0在區(qū)間[－5,5]上的解的個(gè)數(shù)為8.