【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練:第10篇 第1講 歸納與類比

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第十篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù) 第1講 歸納與類比 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí):40分鐘) 一、選擇題 1.正弦函數(shù)是奇函數(shù),f(x)=sin(x2+1)是正弦函數(shù),因此f(x)=sin(x2+1)是奇函數(shù),以上推理 (  ). A.結(jié)論正確 B.大前提不正確 C.小前提不正確 D.全不正確 解析 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函數(shù)而是復(fù)合函數(shù),所以小前提不正確. 答案 C 2.觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由歸納推理得:

2、若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)=(  ). A.f(x) B.-f(x)   C.g(x) D.-g(x) 解析 由已知得偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù),故g(-x)=-g(x). 答案 D 3.(20xx·江西卷)觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10等于 (  ). A.28 B.76   C.123 D.199 解析 從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知,等式右端的值,從第三項(xiàng)開始,后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和,照此規(guī)律,則

3、a10+b10=123. 答案 C 4.(20xx·西安模擬)類比“兩角和與差的正弦公式”的形式,對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù):S(x)=ax-a-x,C(x)=ax+a-x,其中a>0,且a≠1,下面正確的運(yùn)算公式是(  ). ①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y); ②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y); ③2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y); ④2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y). A.①② B.③④   C.①④ D.②③ 解析 經(jīng)驗(yàn)證易知①②錯(cuò)誤.依題意,注意到2S(x+y)=2(ax+y-a-x-y),S(

4、x)C(y)+C(x)S(y)=2(ax+y-a-x-y),因此有2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);同理有2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).綜上所述,選B. 答案 B 5.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則: ①“mn=nm”類比得到“a·b=b·a”; ②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”; ③“(m·n)t=m(n·t)”類比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”; ④“t≠0,mt=

5、xt?m=x”類比得到“p≠0,a·p=x·p?a=x”; ⑤“|m·n|=|m|·|n|”類比得到“|a·b|=|a|·|b|”; ⑥“=”類比得到“=”. 以上式子中,類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 (  ). A.1 B.2   C.3 D.4 解析 ①②正確;③④⑤⑥錯(cuò)誤. 答案 B 二、填空題 6.(20xx·西安五校聯(lián)考)觀察下式:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72,…,則得出結(jié)論:________. 解析 各等式的左邊是第n個(gè)自然數(shù)到第3n

6、-2個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和,右邊是中間奇數(shù)的平方,故得出結(jié)論:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 答案 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 7.若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,前n項(xiàng)的和為Sn,則數(shù)列為等差數(shù)列,且通項(xiàng)為=a1+(n-1)·,類似地,請(qǐng)完成下列命題:若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b1,公比為q,前n項(xiàng)的積為Tn,則________. 答案 數(shù)列{}為等比數(shù)列,且通項(xiàng)為=b1()n-1 8.給出下列等式:=2cos ,=2cos ,=2cos ,請(qǐng)從中歸納出第n個(gè)等式:=________. 答

7、案 2cos 三、解答題 9.給出下面的數(shù)表序列: 其中表n(n=1,2,3,…)有n行,第1行的n個(gè)數(shù)是1,3,5,…,2n-1,從第2行起,每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和. 寫出表4,驗(yàn)證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列,并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明). 解 表4為      1  3  5 7           4  8  12            12 20             32 它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32,它們構(gòu)成首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列. 將這一結(jié)論推

8、廣到表n(n≥3),即表n(n≥3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n,公比為2的等比數(shù)列. 10.f(x)=,先分別求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后歸納猜想一般性結(jié)論,并給出證明. 解 f(0)+f(1)=+ =+=+=, 同理可得:f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=. 由此猜想f(x)+f(1-x)=. 證明:f(x)+f(1-x)=+ =+=+ ==. 能力提升題組 (建議用時(shí):25分鐘) 一、選擇題 1.(20xx·江西卷)觀察下列事實(shí):|x|+|y|=1的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為4,|

9、x|+|y|=2的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為8,|x|+|y|=3的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為12,…,則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為 (  ). A.76 B.80  ] C.86 D.92 解析 由|x|+|y|=1的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4,|x|+|y|=2的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為8,|x|+|y|=3的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為12,歸納推理得|x|+|y|=n的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4n,故|x|+|y|=20的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為80.故選B. 答案 B 2.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù). 比如: 他們研究過圖1中的1,3,6,10,…,由

10、于這些數(shù)能夠表示成三角形,將其稱為三角形數(shù);類似地,稱圖2中的1,4,9,16,…,這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 (  ). A.289 B.1 024   C.1 225 D.1 378 解析 觀察三角形數(shù):1,3,6,10,…,記該數(shù)列為{an},則a1=1, a2=a1+2, a3=a2+3, … an=an-1+n. ∴a1+a2+…+an=(a1+a2+…+an-1)+(1+2+3+…+n)?an=1+2+3+…+n=, 觀察正方形數(shù):1,4,9,16,…,記該數(shù)列為{bn},則bn=n2.把四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)字,分別代入上述兩個(gè)通項(xiàng)公式,可

11、知使得n都為正整數(shù)的只有1 225. 答案 C 二、填空題 3.(20xx·湖北卷)在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x,y均為整數(shù),則稱點(diǎn)P為格點(diǎn).若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn),則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形.格點(diǎn)多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N,邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng).例如圖中△ABC是格點(diǎn)三角形,對(duì)應(yīng)的S=1,N=0,L=4. (1)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S,N,L分別是________; (2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數(shù).若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N=71,L=18,則S=________(用數(shù)值作答). 解析 

12、(1)四邊形DEFG是一個(gè)直角梯形,觀察圖形可知:S=(+2)××=3,N=1,L=6. (2)由(1)知,S四邊形DEFG=a+6b+c=3. S△ABC=4b+c=1. 在平面直角坐標(biāo)系中,取一“田”字型四邊形,構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的正方形,該正方形中S=4,N=1,L=8.則S=a+8b+c=4.聯(lián)立解得a=1,b=.c= -1. ∴S=N+L-1,∴若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N=71,L=18,則S=71+×18-1=79. 答案 (1)3,1,6 (2)79 三、解答題 4.(20xx·福建卷)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的

13、值都等于同一個(gè)常數(shù): ①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°; ②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°; ③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°; ④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°; ⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°. (1)試從上述五

14、個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù); (2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論. 解 (1)選擇②式,計(jì)算如下: sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=1-=. (2)三角恒等式為sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=. 證明如下: sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α·(cos 30°cos α+sin 30°sin α)=sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α=sin2α+cos2α=.

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