13、m-1,f′(1)=2m,故切線方程為y-m+1=2m(x-1),
即y=2mx-m-1.
從而方程mx2-x+ln x=2mx-m-1在(0,+∞)上有且只有一解.
設g(x)=mx2-x+ln x-(2mx-m-1),
則g (x)在(0,+∞)上有且只有一個零點.
又g(1)=0,故函數(shù)g(x)有零點x=1.
則g′(x)=2mx-1+-2m==.
當m=時,g′(x)≥0,
又g(x)不是常數(shù)函數(shù),故g(x)在(0,+∞)上單調遞增.
∴函數(shù)g(x)有且只有一個零點x=1,滿足題意.
當01,
由g′(x)>0,得0
14、;
由g′(x)<0,得10,
故在上,函數(shù)g(x)又有一個零點,不滿足題意.
綜上所述,m=.
B組 能力提升練
1.若不等式2xln x≥-x2+ax-3對x∈(0,+∞)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,0) B.(-∞,4]
C.(0,+∞) D.[4,+∞
15、)
解析:2xln x≥-x2+ax-3,
則a≤2ln x+x+,設h(x)=2ln x+x+(x>0),則h′(x)=.
當x∈(0,1)時,h′(x)<0,函數(shù)h(x)單調遞減;
當x∈(1,+∞)時,h′(x)>0,函數(shù)h(x)單調遞增,所以h(x)min=h(1)=4,所以a≤h(x)min=4.
答案:B
2.(20xx運城模擬)已知函數(shù)f(x)=ln x+tan α的導函數(shù)為f′(x),若方程f′(x)=f(x)的根x0小于1,則α的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
解析:因為f(x)=ln x+tan α,所以f′(x)=,
令f(x)=f′(
16、x),得ln x+tan α=,
即tan α=-ln x.設g(x)=-ln x,顯然g(x)在(0,+∞)上單調遞減,
而當x→0時,g(x)→+∞,
所以要使?jié)M足f′(x)=f(x)的根x0<1,只需tan α>g(1)=1,
又因為0<α<,所以α∈.
答案:A
3.(20xx宜州調研)設f(x)=|ln x|,若函數(shù)g(x)=f(x)-ax在區(qū)間(0,4)上有三個零點,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析:令y1=f(x)=|ln x|,y2=ax,若函數(shù)g(x)=f(x)-ax在區(qū)間(0,4)上有三個零點,則y1=f(x)=|ln x|與
17、y2=ax的圖象(圖略)在區(qū)間(0,4)上有三個交點.由圖象易知,當a≤0時,不符合題意;當a>0時,易知y1=|ln x|與y2=ax 的圖象在區(qū)間(0,1)上有一個交點,所以只需要y1=|ln x|與y2=ax的圖象在區(qū)間(1,4)上有兩個交點即可,此時|ln x|=ln x,由ln x=ax,得a=.令h(x)=,x∈(1,4),則h′(x)=,故函數(shù)h(x)在(1,e)上單調遞增,在(e,4)上單調遞減,h(e)==,h(1)=0,h(4)==,所以0).若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內恰有兩
18、個零點,則a的取值范圍是( )
A. B.
C.(1,2) D.(0,+∞)
解析:f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).
由f′(x)=0,得x=-1或a(a>0).
當x變化時f′(x)與f(x)的變化情況如表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,a)
a
(a,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
極大值
極小值
故函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是(-∞,-1),(a,+∞);單調遞減區(qū)間是(-1,a).
可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,-1)內單調遞增;在區(qū)間(-1,0)內單調遞減.
從而函
19、數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內恰有兩個零點,
當且僅當解得00)有唯一的零點x0,且m0,x>0).因為函數(shù)f(x)有唯一零點x0,所以函數(shù)g(x),h(x)的圖象有唯一一個交點,即g(x),h(x)有唯一公切點(x0,y0),即由得x+-2ln x0=0,令φ(x)=x+-2ln x0,則φ(1)
20、=3>0,φ(2)=5-7ln 2>0,φ(e)=-e2+<0,所以x0∈(2,e),所以m=2,n=3,所以m+n=5.
答案:C
6.若函數(shù)f(x)=+1(a<0)沒有零點,則實數(shù)a的取值范圍為__________.
解析:f′(x)==.
當a<0時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
極小值
若使函數(shù)f(x)沒有零點,
當且僅當f(2)=+1>0,解得a>-e2,
所以此時-e2
21、x)=x2+x,g(x)=x3-2x+m,若不等式f(x)≥g(x)對任意x∈[-4,4]恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是__________.
解析:令h(x)=g(x)-f(x)
=x3-x2-3x+m,
則h′(x)=(x-3)(x+1).
所以當-40;
當-10.
要使f(x)≥g(x)恒成立,即h(x)max≤0,
由上知h(x)的最大值在x=-1或x=4處取得,
而h(-1)=m+,h(4)=m-,
所以m+≤0,即m≤-,
所以實數(shù)m的取值范圍為.
答案:
8.(20xx長
22、沙模擬)已知函數(shù)f(x)=x|x2-a|,若存在x∈[1,2],使得f(x)<2,則實數(shù)a的取值范圍是__________.
解析:當x∈[1,2]時,f(x)=|x3-ax|,
由f(x)<2可得-2-5,即a<5;
設h(x)=-x2+,導數(shù)為h′(x)=-2x-,
當x∈[1,2]時,h′(x)<0,
即h(x)在[1,2]上單調遞減,可得h(
23、x)max=-1+2=1.即有-a<1,即a>-1.
綜上可得,a的取值范圍是-1
24、)=g(x)在[,e]上有兩個不等解時a的取值范圍為.
10.(20xx貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)=1-,g(x)=x-ln x.
(1)證明:g(x)≥1.
(2)證明:(x-ln x)f(x)>1-.
證明:(1)g′(x)=,當01時,g′(x)>0,
即g(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1,+∞)上為增函數(shù).
所以g(x)≥g(1)=1,得證.
(2)f(x)=1-,f′(x)=,
所以當02時,f′(x)>0,
即f(x)在(0,2)上為減函數(shù),在(2,+∞)上為增函數(shù),
所以f(x)≥f(2)=1-,①
又由(1)知x-ln x≥1,②,且①②等號不同時取得.
所以(x-ln x)f(x)>1-.