一輪創(chuàng)新思維文數(shù)人教版A版練習(xí):第八章 第五節(jié) 橢圓 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 課時規(guī)范練 A組 基礎(chǔ)對點(diǎn)練 1.已知橢圓+=1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(-4,0),則m=(  ) A.2         B.3 C.4 D.9 解析:由4=(m>0)?m=3,故選B. 答案:B 2.方程kx2+4y2=4k表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(  ) A.k>4        B.k=4 C.k<4 D.0<k<4 解析:方程kx2+4y2=4k表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,即方程+=1表示焦點(diǎn)在x軸上的

2、橢圓,可得0<k<4,故選D. 答案:D 3.已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率e=,且它的一個焦點(diǎn)與拋物線y2=-4x的焦點(diǎn)重合,則此橢圓方程為(  ) A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.+y2=1 解析:依題意,可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0),由已知可得拋物線的焦點(diǎn)為(-1,0),所以c=1,又離心率e==,解得a=2,b2=a2-c2=3,所以橢圓方程為+=1,故選A. 答案:A 4.橢圓+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等差數(shù)列,則此橢圓的

3、離心率為(  ) A. B. C. D.-2 解析:由題意可得2|F1F2|=|AF1|+|F1B|,即4c=a-c+a+c=2a,故e==. 答案:A 5.(20xx·鄭州模擬)如圖,△PAB所在的平面α和四邊形ABCD所在的平面β互相垂直,且AD⊥α,BC⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,若tan∠ADP+2tan∠BCP=10,則點(diǎn)P在平面α內(nèi)的軌跡是(  ) A.圓的一部分 B.橢圓的一部分 C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分 解析:由題意可得+2=10,則|PA|+|PB|=40>|AB|=6,又因?yàn)镻,A,B三點(diǎn)不共線,故點(diǎn)P的軌跡是以A

4、,B為焦點(diǎn)的橢圓的一部分. 答案:B 6.若x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. 解析:將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得+=1,因?yàn)閤2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,所以>2,解得0<k<1. 答案:(0,1) 7.若橢圓的方程為+=1,且此橢圓的焦距為4,則實(shí)數(shù)a=________. 解析:由題可知c=2.①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時,10-a-(a-2)=22,解得a=4.②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時,a-2-(10-a)=22,解得a=8.故實(shí)數(shù)a=4或8. 答案:4或8 8.已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率等于,其

5、焦點(diǎn)分別為A,B.C為橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn),則在△ABC中,的值等于________. 解析:在△ABC中,由正弦定理得=,因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上,所以由橢圓定義知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以===3. 答案:3 9.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),過F2作垂直于x軸的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),滿足|AF2|=c. (1)求橢圓C的離心率; (2)M,N是橢圓C短軸的兩個端點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)(異于橢圓C的頂點(diǎn)),直線MP,NP分別和x軸相交于R,Q兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若||·||=

6、4,求橢圓C的方程. 解析:(1)∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為c, 代入橢圓,得+=1. 解得|y|==|AF2|,即=c, ∴a2-c2=ac. ∴e2+e-1=0,解得e=. (2)設(shè)M(0,b),N(0,-b),P(x0,y0), 則直線MP的方程為y=x+b. 令y=0,得點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為. 直線NP的方程為y=x-b. 令y=0,得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為. ∴||·||===a2=4,∴c2=3,b2=1, ∴橢圓C的方程為+y2=1. 10.(20xx·沈陽模擬)橢圓C:+=1(a>b>0),其中e=,焦距為2,過點(diǎn)M(4,0)的直線l與橢圓C交

7、于點(diǎn)A,B,點(diǎn)B在A,M之間.又線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,且=λ. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)求實(shí)數(shù)λ的值. 解析:(1)由條件可知,c=1,a=2,故b2=a2-c2=3,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)由題意可知A,B,M三點(diǎn)共線, 設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),點(diǎn)B(x2,y2). 若直線AB⊥x軸,則x1=x2=4,不合題意. 則AB所在直線l的斜率存在,設(shè)為k, 則直線l的方程為y=k(x-4). 由 消去y得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.① 由①的判別式Δ=322k4-4(4k2+3)·(64k2-12)=144(1-4k2)&

8、gt;0, 解得k2<,且 由==,可得k2=, 將k2=代入方程①,得7x2-8x-8=0. 則x1=,x2=. 又因?yàn)椋?4-x1,-y1),=(x2-4,y2), =λ,所以λ=,所以λ=. B組 能力提升練 1.若對任意k∈R,直線y-kx-1=0與橢圓+=1恒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  ) A.(1,2] B.[1,2) C.[1,2)∪(2,+∞) D.[1,+∞) 解析:聯(lián)立直線與橢圓的方程,消去y得(2k2+m)x2+4kx+2-2m=0,因?yàn)橹本€與橢圓恒有公共點(diǎn),所以Δ=16k2-4(2k2+m)(2-2m)≥0,即2k2+m-1≥0恒

9、成立,因?yàn)閗∈R,所以k2≥0,則m-1≥0,所以m≥1,又m≠2,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1,2)∪(2,+∞). 答案:C 2.已知橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個端點(diǎn)為M,直線l:3x-4y=0交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4,點(diǎn)M到直線l的距離不小于,則橢圓E的離心率的取值范圍是(  ) A. B. C. D. 解析:根據(jù)橢圓的對稱性及橢圓的定義可得A,B兩點(diǎn)到橢圓左、右焦點(diǎn)的距離和為4a=2(|AF|+|BF|)=8,所以a=2.又d=≥,所以1≤b<2,所以e== = .因?yàn)?≤b<2,所以0<e≤.

10、答案:A 3.已知P(1,1)為橢圓+=1內(nèi)一定點(diǎn),經(jīng)過P引一條弦,使此弦被P點(diǎn)平分,則此弦所在的直線方程為________. 解析:易知此弦所在直線的斜率存在,所以設(shè)斜率為k,弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2), 則+=1,① +=1,② ①-②得+=0, ∵x1+x2=2,y1+y2=2, ∴+y1-y2=0,∴k==-. ∴此弦所在的直線方程為y-1=-(x-1), 即x+2y-3=0. 答案:x+2y-3=0 4.已知橢圓C:+=1,點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合.若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A,B,線段MN的中點(diǎn)在C上,則|AN|+|BN|=________.

11、 解析:根據(jù)已知條件畫出圖形,如圖.設(shè)MN的中點(diǎn)為P,F(xiàn)1、F2為橢圓C的焦點(diǎn),連接PF1、PF2.顯然PF1是△MAN的中位線,PF2是△MBN的中位線, ∴|AN|+|BN|=2|PF1|+2|PF2|=2(|PF1|+|PF2|)=2×6=12. 答案:12 5.已知點(diǎn)A(0,-2),橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求E的方程. (2)設(shè)過點(diǎn)A的動直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)△POQ的面積最大時,求l的方程. 解析:(1)設(shè)F(c,0),由條件知,=,得c=. 又=,所以a=2

12、,b2=a2-c2=1. 故E的方程為+y2=1. (2)當(dāng)l⊥x軸時不合題意,故設(shè)l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).將y=kx-2代入+y2=1, 得(1+4k2)x2-16kx+12=0. 當(dāng)Δ=16(4k2-3)>0,即k2>時, x1,2=. 從而|PQ|=|x1-x2|=. 又點(diǎn)O到直線PQ的距離d=, 所以△OPQ的面積S△OPQ=d·|PQ|=. 設(shè)=t,則t>0,S△OPQ==. 因?yàn)閠+≥4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2, 即k=±時等號成立,且滿足Δ>0. 所以,當(dāng)△OPQ的面積最大時, l的方程為

13、y=x-2或y=-x-2. 6.(20xx·保定模擬)橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率e=,a+b=3. (1)求橢圓C的方程. (2)如圖,A,B,D是橢圓C的頂點(diǎn),P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn),直線DP交x軸于點(diǎn)N,直線AD交BP于點(diǎn)M,設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m.證明:2m-k為定值. 解析:(1)因?yàn)閑==, 所以a=c,b=c.代入a+b=3得,c=,a=2,b=1. 故橢圓C的方程為+y2=1. (2)因?yàn)锽(2,0),P不為橢圓頂點(diǎn),則直線BP的方程為y=k(x-2),① 把①代入+y2=1,解得P. 直線AD的方程為y=x+1.② ①與②聯(lián)立解得M. 由D(0,1),P, N(x,0)三點(diǎn)共線知=, 得N. 所以MN的斜率為m= ==, 則2m-k=-k=(定值).

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