一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第2章 第10節(jié)　變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第十節(jié)　變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 [考綱傳真]　1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y＝C(C為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的導(dǎo)數(shù).4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax＋b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù)． 1．有關(guān)導(dǎo)數(shù)的基本概念 (1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù) 稱函數(shù)y＝f(x)在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率為函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，用f′(x0)

2、表示，記作f′(x0)＝ . (2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (3)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 如果一個(gè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的每一點(diǎn)x處都有導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)值記為f′(x)： f′(x)＝ ，則f′(x)是關(guān)于x的函數(shù)，稱f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，通常也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)． 2．導(dǎo)數(shù)公式表(其中三角函數(shù)的自變量單位是弧度) 函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) 函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) y＝c(c是常數(shù)) y′＝0 y＝sin x y′＝cos_

3、x y＝xα(α是實(shí)數(shù)) y′＝αxα－1 y＝cos x y′＝－sin_x y＝ax (a＞0，a≠1) y′＝axln_a 特別地(ex)′＝ex y＝tan x y′＝ y＝logax (a＞0，a≠1) y′＝ 特別地(ln x)′＝ y＝cot x y′＝－ 3.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則 (1)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)； (4)復(fù)合函數(shù)y＝f(φ(x))的導(dǎo)數(shù)為y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)，其中y＝f(u)，u＝φ

4、(x)． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)f′(x0)與(f(x0))′表示的意義相同． (　　) (2)求f′(x0)時(shí)，可先求f(x0)再求f′(x0)． (　　) (3)曲線的切線與曲線不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)． (　　) (4)若f(x)＝e2x，則f′(x)＝e2x. (　　) [答案]　(1)　(2)　(3)√　(4) 2．(教材改編)有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝t2＋(t是時(shí)間，s是位移)，則該機(jī)器人在時(shí)刻t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. D　[由題意知，機(jī)器人的速度方程為v(

5、t)＝s′(t)＝2t－，故當(dāng)t＝2時(shí)，機(jī)器人的瞬時(shí)速度為v(2)＝22－＝.]　 3．(20xx天津高考)已知函數(shù)f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(0)的值為________． 3　[因?yàn)閒(x)＝(2x＋1)ex， 所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex， 所以f′(0)＝3e0＝3.] 4．(20xx豫北名校期末聯(lián)考)曲線f(x)＝－5ex＋3在點(diǎn)(0，－2)處的切線方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962098】 5x＋y＋2＝0　[∵f′(x)＝－5ex，∴所求曲線的切線斜率k＝f′(0)＝－5e0＝－5，∴切

6、線方程為y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.] 5．(20xx全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1的圖像在點(diǎn)(1，f(1))處的切線過(guò)點(diǎn)(2,7)，則a＝________. 1　[∵f′(x)＝3ax2＋1， ∴f′(1)＝3a＋1. 又f(1)＝a＋2， ∴切線方程為y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切線過(guò)點(diǎn)(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.] 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝exln x； (2)y＝x； (3)y＝x－sincos； (4)y＝ln(2x－9)． [解]　(1)y′＝(ex)′l

7、n x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex＝ex. (2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－. (3)∵y＝x－sin x，∴y′＝1－cos x. (4)令u＝2x－9，y＝ln u， 則y′x＝y(tǒng)′uu′x. 因此y′＝(2x－9)′＝. [規(guī)律方法]　1.熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則是導(dǎo)數(shù)計(jì)算的前提，求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)． 2．如函數(shù)為根式形式，可先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo)． 3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可換元處理． [變式訓(xùn)練1]　(1)f(x

8、)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，則x0等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962099】 A．e2　　　　　B．1　　　　C．ln 2　　　　D．e (2)(20xx天津高考)已知函數(shù)f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a為實(shí)數(shù)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．若f′(1)＝3，則a的值為________． (1)B　(2)3　[(1)f′(x)＝2 017＋ln x＋x＝2 018＋ln x，故由f′(x0)＝2 018，得2 018＋ln x0＝2 018，則ln x0＝0，解得x0＝1. (2)f′(x)＝a＝a(1＋ln x)． 由于f′(1)

9、＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.] 　 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 角度1　求切線方程 　已知曲線f(x)＝x3＋. (1)求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程； (2)求曲線過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線方程． [解]　(1)根據(jù)已知得點(diǎn)P(2,4)是切點(diǎn)且f′(x)＝x2， ∴在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率為f′(2)＝4， 3分 ∴曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. 5分 (2)設(shè)曲線f(x)＝x3＋與過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)A， 則切線的斜率為f′(x0)＝x， ∴切線方程為y－＝x(x－x0)， 即y＝

10、xx－x＋. 7分 ∵點(diǎn)P(2,4)在切線上， ∴4＝2x－x＋， 即x－3x＋4＝0， 9分 ∴x＋x－4x＋4＝0， ∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2， 故所求的切線方程為x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 12分 角度2　求切點(diǎn)坐標(biāo) 　若曲線y＝xln x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962100】 (e，e)　[由題意得y′＝ln x＋x＝1＋ln x，直線2x－y＋1＝0的斜率為2.設(shè)P(m，n)，則1＋ln m＝2，解得m

11、＝e，所以n＝eln e＝e，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(e，e)．] 角度3　求參數(shù)的值 　(1)已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為(　　) A．1　　　　　B．2　　　　C．－1　　　　D．－2 (2)(20xx西寧復(fù)習(xí)檢測(cè)(一))已知曲線y＝在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a＝(　　) A．－2　　　　　B．2　　　　C．－　　　　D. (1)B　(2)A　[(1)設(shè)直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)的切點(diǎn)為(x0，y0)，則y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)． 又y′＝，所以y′|x＝x0＝＝1，即x0＋a＝1. 又y0＝ln(x

12、0＋a)，所以y0＝0，則x0＝－1，所以a＝2. (2)由y′＝得曲線在點(diǎn)(3,2)處的切線斜率為－，又切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a＝－2，故選A.] [規(guī)律方法]　1.導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義就是函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率，切點(diǎn)既在曲線上，又在切線上，切線有可能和曲線還有其他的公共點(diǎn)． 2．曲線在點(diǎn)P處的切線是以點(diǎn)P為切點(diǎn)，曲線過(guò)點(diǎn)P的切線則點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，此時(shí)應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)． 易錯(cuò)警示：當(dāng)曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線垂直于x軸時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程是x＝x0. [思想與方法] 1．f′(x0)是函數(shù)

13、f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值f(x0)是一個(gè)常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)一定為0，即(f(x0))′＝0. 2．對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)的基本原則．在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，必須注意變換的等價(jià)性． [易錯(cuò)與防范] 1．利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要正確分解函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)． 2．曲線y＝f(x)“在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線”與“過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線”的區(qū)別：前者P(x0，y0)為切點(diǎn)，而后者P(x0，y0)不一定為切點(diǎn)． 3．曲線的切線與二次曲線的切線的區(qū)別：曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，而直線與二次曲線相切只有一個(gè)公共點(diǎn)．