一輪創(chuàng)新思維文數(shù)人教版A版練習(xí):第六章 第四節(jié) 推理與證明 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 課時(shí)規(guī)范練 A組 基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練 1.用反證法證明命題 “設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是(  ) A.方程x3+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根 B.方程x3+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根 C.方程x3+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根 D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根 解析:至少有一個(gè)實(shí)根的否定是沒(méi)有實(shí)根,故要做的假設(shè)是“方程x3+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根”. 答案:A 2.(20xx重慶檢測(cè))演繹推理“因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)

2、是增函數(shù),而函數(shù)y=logx是對(duì)數(shù)函數(shù),所以y=logx是增函數(shù)”所得結(jié)論錯(cuò)誤的原因是(  ) A.大前提錯(cuò)誤     B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.大前提和小前提都錯(cuò)誤 解析:因?yàn)楫?dāng)a>1時(shí),y=logax在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)0

3、) 解析:由所給等式知,偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù). ∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函數(shù),從而g(x)是奇函數(shù). ∴g(-x)=-g(x). 答案:D 4.已知an=logn+1(n+2)(n∈N*),觀察下列運(yùn)算: a1a2=log23log34==2; a1a2a3a4a5a6=log23log34…log78=…=3;…. 若a1a2a3…ak(k∈N*)為整數(shù),則稱k為“企盼數(shù)”,試確定當(dāng)a1a2a3…ak=2 016時(shí),“企盼數(shù)”k為(  ) A.22 016+2 B.22 016 C.22 016-2 D.22 016-4 解析:a1a2a3…ak==2

4、 016,lg(k+2)=lg 22 016,故k=22 016-2. 答案:C 5.(20xx丹東聯(lián)考)已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,則第70個(gè)“整數(shù)對(duì)”為(  ) A.(3,9) B.(4,8) C.(3,10) D.(4,9) 解析:因?yàn)?+2+…+11=66,所以第67個(gè)“整數(shù)對(duì)”是(1,12),第68個(gè)“整數(shù)對(duì)”是(2,11),第69個(gè)“整數(shù)對(duì)”是(3,10),第70個(gè)“整數(shù)對(duì)”是(4,9).故選D. 答案:D 6.對(duì)累乘運(yùn)算∏有如下定義:k=a

5、1a2…an,則下列命題中的真命題是(  ) A.k不能被10100整除 B.=22 015 C.(2k-1)不能被5100整除 D.(2k-1)k= 解析:因?yàn)?2k-1)k=(135…2 015)(246…2 014)=123…2 0142 015=,故選D. 答案:D 7.觀察下列各等式:+=2,+=2,+=2,+=2,依照以上各式成立的規(guī)律,得到一般性的等式為(  ) A.+=2 B.+=2 C.+=2 D.+=2 解析:各等式可化為:+=2,+=2,+=2,+=2,可歸納得一般等式:+=2,故選A. 答案:A 8.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)

6、a>b>c,且a+b+c=0,求證0 B.a(chǎn)-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 解析:由a>b>c,且a+b+c=0得b=-a-c,a>0,c<0.要證0,即證a(a-c)+(a+c)(a-c)>0,即證a(a-c)-b(a-c) >0,即證(a-c)(a-b)>0.故求證“0.故選C. 答案:C 9.下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是(  ) ①y=cos x(x∈R)是三角函數(shù);②三角函數(shù)

7、是周期函數(shù);③y=cos x(x∈R)是周期函數(shù). A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②① 解析:根據(jù)“三段論”:“大前提”→“小前提”?“結(jié)論”可知:①y=cos x(x∈R)是三角函數(shù)是“小前提”;②三角函數(shù)是周期函數(shù)是“大前提”;③y=cos x(x∈R)是周期函數(shù)是“結(jié)論”.故“三段論”模式排列順序?yàn)棰冖佗?故選B. 答案:B 10.設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,△ABC的面積為S,則△ABC的內(nèi)切圓半徑為r=.將此結(jié)論類比到空間四面體:設(shè)四面體SABC的四個(gè)面的面積分別為S1,S2,S3,S4,體積為V,則四面體的內(nèi)切球半徑為r=(  ) A. B

8、. C. D. 解析 :設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O,則球心O到四個(gè)面的距離都是r,所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn),分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和.則四面體的體積為:V=(S1+S2+S3+S4)r,所以r=. 答案:C 11.以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中的“楊輝三角形”. 該表由若干行數(shù)字組成,從第二行起,每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和,表中最后一行僅有一個(gè)數(shù),則這個(gè)數(shù)為(  ) A.2 01722 015 B.2 01722 014 C.2 01622 015 D.2 01622 014 解析:由題意知數(shù)表的

9、每一行都是等差數(shù)列, 且第一行數(shù)的公差為1,第二行數(shù)的公差為2,第三行數(shù)的公差為4,……,第2 015行數(shù)的公差為22 014, 第1行的第一個(gè)數(shù)為22-1, 第2行的第一個(gè)數(shù)為320, 第3行的第一個(gè)數(shù)為421, …… 第n行的第一個(gè)數(shù)為(n+1)2n-2, 第2 016行只有一個(gè)數(shù)M, 則M=(1+2 016)22 014=2 01722 014.故選B. 答案:B 12.在一次調(diào)查中,甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的閱讀量有如下關(guān)系:甲、丙閱讀量之和與乙、丁閱讀量之和相同,甲、乙閱讀量之和大于丙、丁閱讀量之和,丁的閱讀量大于乙、丙閱讀量之和.那么這四名同學(xué)按閱讀量從大到小排序

10、依次為__________. 解析:因?yàn)榧?、丙閱讀量之和等于乙、丁閱讀量之和,甲、乙閱讀量之和大于丙、丁閱讀量之和,所以乙的閱讀量大于丙的閱讀量,甲的閱讀量大于丁的閱讀量,因?yàn)槎〉拈喿x量大于乙、丙閱讀量之和,所以這四名同學(xué)按閱讀量從大到小排序依次為甲、丁、乙、丙. 答案:甲、丁、乙、丙 13.觀察下列等式: 1-=, 1-+-=+, 1-+-+-=++, … 據(jù)此規(guī)律,第n個(gè)等式可為_______________________________________________. 解析:觀察所給等式的左右可以歸納出第n個(gè)等式為1-+-+…+-=++…+. 答案:1-+-+…+

11、-=++…+ B組 能力提升練 1.觀察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,…,用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出22 018的末位數(shù)字是(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:通過(guò)觀察可知,末位數(shù)字的周期為4,2 0184=504……2,故22 018的末位數(shù)字為4.故選B. 答案:B 2.觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10=(  ) A.28 B.76 C.123 D.199 解析:記an+bn=f(n),則f(3)=f(1

12、)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11. 通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),則f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以a10+b10=123. 答案:C 3.某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個(gè)單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績(jī),其中有三個(gè)數(shù)據(jù)模糊. 學(xué)生序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

13、 10 立定跳遠(yuǎn)(單位:米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳繩(單位:次) 63 a 75 60 63 72 70 a-1 b 65 在這10名學(xué)生中,進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人,同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人,則(  ) A.2號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 B.5號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 C.8號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 D.9號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 解析:由數(shù)據(jù)可知,進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的8人為1~8號(hào),所以進(jìn)入30秒跳繩決賽的6人從1~8號(hào)里產(chǎn)生.?dāng)?shù)

14、據(jù)排序后可知3號(hào),6號(hào),7號(hào)必定進(jìn)入30秒跳繩決賽,則得分為63,a,60,63,a-1的5人中有3人進(jìn)入30秒跳繩決賽.若1號(hào),5號(hào)學(xué)生未進(jìn)入30秒跳繩決賽,則4號(hào)學(xué)生就會(huì)進(jìn)入決賽,與事實(shí)矛盾,所以1號(hào),5號(hào)學(xué)生必進(jìn)入30秒跳繩決賽.故選B. 答案:B 4.如圖所示的數(shù)陣中,用A(m,n)表示第m行的第n個(gè)數(shù),則依此規(guī)律A(15,2)為__________.               …… 解析:由已知?dú)w納可得,第n行的第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)均為,其他數(shù)等于上一行該數(shù)“肩膀”上兩個(gè)數(shù)字的和.故A(15,2)=A(14,1)+A(14,2)=A(14,1)+A(13,1)+

15、A(13,2)=A(14,1)+A(13,1)+A(12,1)+A(12,2)=…=A(14,1)+A(13,1)+A(12,1)+…+A(2,1)+A(2,2)=+++…++=. 答案: 5.觀察下列等式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根據(jù)上述規(guī)律可知第n個(gè)等式為________. 解析:觀察題中各等式可猜想第n個(gè)等式為13+23+33+43+…+n3=(1+2+3+…+n)2=[]2. 答案:13+23+33+43+…+n3=[]2 6.設(shè)n為正整數(shù),f(n)=1+++…+,計(jì)算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f

16、(16)>3.觀察上述結(jié)果,按照上面規(guī)律,可推測(cè)f(128)>________. 解析:觀察f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3可知,等式及不等式右邊的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,故f(128)>+6=. 答案: 7.“求方程()x+()x=1的解”有如下解題思路:設(shè)f(x)=()x+()x,則f(x)在R上單調(diào)遞減,且f(2)=1,所以原方程有唯一解x=2.類比上述解題思路,方程x6+x2=(x+2)3+(x+2)的解集為________. 解析:令f(x)=x3+x,則f(x)是奇函數(shù),且為增函數(shù),由方程x6+x2=(x+2)3+x+2得f(x2)=f(x+2)

17、,故x2=x+2,解得x=-1,2,所以方程的解集為{-1,2}. 答案:{-1,2} 8.觀察下列等式: 1+2+3+…+n=n(n+1); 1+3+6+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2); 1+4+10+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3); …… 可以推測(cè),1+5+15+…+n(n+1)(n+2)(n+3)=________. 解析:根據(jù)式子中的規(guī)律可知,等式右側(cè)為n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4). 答案:n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) 9.已知數(shù)列{bn}滿足3(n+1)

18、bn=nbn+1,且b1=3. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式; (2)已知=,求證:≤++…+<1. 解析:(1)因?yàn)?(n+1)bn=nbn+1, 所以=. 因此,=3,=3,=3,…,=3, 上面式子累乘可得=3n-1n, 因?yàn)閎1=3,所以bn=n3n. (2)證明:因?yàn)椋?,所以an=3n. 因?yàn)椋剑剑?-)=-,所以++…+=(1-)+(-)+…+(-)=1-. 因?yàn)閚∈N*,所以0<≤,所以≤1-<1, 所以≤++…+<1. 10.設(shè)a>0,b>0,且a+b=+,證明: (1)a+b≥2; (2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立. 證明:由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2, 即a+b≥2. (2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時(shí)成立, 則由a2+a<2及a>0得0<a<1, 同理0<b<1,從而ab<1, 這與ab=1矛盾, 故a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立.

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