《一輪創(chuàng)新思維文數(shù)人教版A版練習(xí):第三章 第八節(jié) 解三角形的應(yīng)用舉例 Word版含解析》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《一輪創(chuàng)新思維文數(shù)人教版A版練習(xí):第三章 第八節(jié) 解三角形的應(yīng)用舉例 Word版含解析(9頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
課時(shí)規(guī)范練
A組 基礎(chǔ)對點(diǎn)練
1.已知A,B兩地間的距離為10 km,B,C兩地間的距離為20 km,現(xiàn)測得∠ABC=120,則A,C兩地間的距離為( )
A.10 km B.10 km
C.10 km D.10 km
解析:如圖所示,由余弦定理可得:AC2=100+400-21020cos 120=700,
∴AC=10(km).
答案:D
2.一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱,為了測量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂
2、端的仰角為45,沿點(diǎn)A向北偏東30前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B,在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30,則水柱的高度是( )
A.50 m B.100 m
C.120 m D.150 m
解析:設(shè)水柱高度是h m,水柱底端為C,則在△ABC中,∠BAC=60,AC=h,AB=100,BC=h,根據(jù)余弦定理得,(h)2=h2+1002-2h100cos 60,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50 m.
答案:A
3.如圖,兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40,燈塔B在觀察站南偏東60,則燈塔A在燈塔B的(
3、 )
A.北偏東10 B.北偏西10
C.南偏東80 D.南偏西80
解析:由條件及圖可知,∠A=∠CBA=40,又∠BCD=60,所以∠CBD=30,所以∠DBA=10,因此燈塔A在燈塔B南偏西80.
答案:D
4.(20xx銀川一中月考)如圖,設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測量者在A的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測出AC的距離為50 m,∠ACB=45,∠CAB=105后,就可以計(jì)算出A,B兩點(diǎn)的距離為( )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
解析:由正弦定理得=,
∴AB===50,故A,B兩點(diǎn)的距離為50 m.
答案:A
5.某位
4、居民站在離地20 m高的陽臺(tái)上觀測到對面小高層房頂?shù)难鼋菫?0,小高層底部的俯角為45,那么這棟小高層的高度為( )
A.20(1+)m B.20(1+)m
C.10(+)m D.20(+)m
解析:如圖,
設(shè)AB為陽臺(tái)的高度,CD為小高層的高度,AE為水平線.由題意知AB=20 m,∠DAE=45,∠CAE=60,故DE=20 m,CE=20 m.所以CD=20(1+)m.故選B.
答案:B
6.(20xx西安模擬)游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條線路.線路1是從A沿直線步行到C,線路2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從
5、A處同時(shí)出發(fā)勻速步行,甲的速度是乙的速度的倍,甲走線路2,乙走線路1,最后他們同時(shí)到達(dá)C處.經(jīng)測量,AB=1 040 m,BC=500 m,則sin∠BAC等于__________.
解析:依題意,設(shè)乙的速度為x m/s,
則甲的速度為x m/s,
因?yàn)锳B=1 040,BC=500,
所以=,解得:AC=1 260,
在△ABC中由余弦定理可知cos∠BAC=
===,
所以sin∠BAC===.
答案:
7.(20xx德州檢測)某貨輪在A處看燈塔S在北偏東30方向,它向正北方向航行24海里到達(dá)B處,看燈塔S在北偏東75方向.則此時(shí)貨輪到燈塔S的距離為________海里.
6、
解析:根據(jù)題意知,在△ABS中,AB=24,∠BAS=30,∠ASB=45,由正弦定理,得=,
∴BS==12,故貨輪到燈塔S的距離為12海里.
答案:12
8.如圖,已知在海島A上有一座海拔1千米的山,山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P,上午11時(shí),測得一輪船在海島北偏東30,俯角為30的B處,到11時(shí)10分又測得該船在海島北偏西60,俯角為60的C處.輪船沿BC行駛一段時(shí)間后,到達(dá)海島的正西方向的D處,此時(shí)輪船距海島A有__________千米.
解析:由已知可求得AB=,AC=,BC=,所以sin∠ACB=,cos∠ACB=.在△ACD中,∠DAC=90-60=30,∠ACD=180-∠A
7、CB,sin∠ADC=sin(∠ACD+∠DAC)=sin∠ACDcos∠DAC+sin∠DAC cos∠ACD=,由正弦定理可求得AD==.
答案:
9.已知在島A南偏西38方向,距島A 3海里的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10海里/時(shí)的速度向島北偏西22方向行駛,問緝私艇朝何方向以多大速度行駛,恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船?
解析:如圖,設(shè)緝私艇在C處截住走私船,D為島A正南方向上一點(diǎn),緝私艇的速度為每小時(shí)x海里,則BC=0.5x,AC=5海里,依題意,∠BAC=180-38-22=120,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120,
所以BC
8、2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.
又由正弦定理得sin∠ABC=
==,
所以∠ABC=38,又∠BAD=38,所以BC∥AD,
故緝私艇以每小時(shí)14海里的速度向正北方向行駛,恰好用0.5小時(shí)截住該走私船.
10.如圖,在△ABC中,∠ABC=90,AB=,BC=1,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠BPC=90.
(1)若PB=,求PA;
(2)若∠APB=150,求tan∠PBA.
解析:(1)由已知得∠PBC=60,所以∠PBA=30.
在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2cos 30=.故PA=.
(2)設(shè)∠PBA=α,由已知得PB=sin α.
在△PBA
9、中,由正弦定理得,=,
化簡得cos α=4sin α.
所以tan α=,即tan∠PBA=.
B組 能力提升練
1.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是( )
A.10海里 B.10海里
C.20海里 D.20海里
解析:如圖所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30,∠ACB=45,根據(jù)正弦定理得=,
解得BC=10(海里).
答案:A
2.如圖,在山腳A測得山頂P的仰角為α=3
10、0,沿傾斜角β=15的斜坡向上走a米到B,在B處測得山頂P的仰角γ=60,則山高h(yuǎn)=( )
A. a米 B.米
C.a米 D.a(chǎn)米
解析:在△PAB中,∠PAB=α-β=15,∠BPA=(90-α)-(90-γ)=γ-α=30,
所以=,所以PB=a,
所以PQ=PC+CQ=PBsin γ+asin β
=asin 60+asin 15=a(米).
答案:A
3.如圖,飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi),若飛機(jī)的高度為海拔18 km,速度為1 000 km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0,經(jīng)過1 min后又看到山頂?shù)母┙菫?5,則山頂?shù)暮0胃叨葹?精確到0.1 km,
11、參考數(shù)據(jù):≈1.732)( )
A.8.4 km B.6.6 km
C.6.5 km D.5.6 km
解析:因?yàn)锳B=1 000= km,
所以BC=sin 30=(km).
所以航線離山頂?shù)母叨萮=sin 75=sin(45+30)≈11.4 km.所以山高為18-11.4=6.6(km).
答案:B
4.如圖所示,為了測量某湖泊兩側(cè)A,B間的距離,李寧同學(xué)首先選定了與A,B不共線的一點(diǎn)C,然后給出了三種測量方案:(△ABC的角A,B,C所對的邊分別記為a,b,c)
①測量A,C,b
②測量a,b,C
③測量A,B,a
則一定能確定A,B間距離的所有方案
12、的個(gè)數(shù)為( )
A.3 B.2
C.1 D.0
解析:對于①,利用內(nèi)角和定理先求出B=π-A-C,
再利用正弦定理=解出c,
對于②,直接利用余弦定理cos C=即可解出c,
對于③,先利用內(nèi)角和定理求出C=π-A-B,
再利用正弦定理=解出c.
答案:A
5.(20xx衡水模擬)如圖,為了測量河對岸電視塔CD的高度,小王在點(diǎn)A處測得塔頂D的仰角為30,塔底C與A的連線同河岸成15角,小王向前走了1 200 m到達(dá)M處,測得塔底C與M的連線同河岸成60角,則電視塔CD的高度為__________.
解析:在△ACM中,
∠MCA=60-15=45,∠AMC=180-
13、60=120,
由正弦定理得=,
即=,解得AC=600.
在Rt△ACD中,因?yàn)閠an∠DAC==,
所以DC=ACtan∠DAC=600=600(m).
答案:600m
6.(20xx遂寧模擬)海輪“和諧號”從A處以每小時(shí)21海里的速度出發(fā),海輪“奮斗號”在A處北偏東45的方向,且與A相距10海里的C處,沿北偏東105的方向以每小時(shí)9海里的速度行駛,則海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時(shí)間為__________小時(shí).
解析:設(shè)海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時(shí)間為x小時(shí),如圖,則由已知得△ABC中,AC=10,AB=21x,BC=9x,∠ACB=120,
14、
由余弦定理得:(21x)2=100+(9x)2-2109xcos 120,
整理,得36x2-9x-10=0,
解得x=或x=-(舍).
所以海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時(shí)間為小時(shí).
答案:
7.如圖,現(xiàn)要在一塊半徑為1 m,圓心角為的扇形白鐵片AOB上剪出一個(gè)平行四邊形MNPQ,使點(diǎn)P在弧AB上,點(diǎn)Q在OA上,點(diǎn)M,N在OB上,設(shè)∠BOP=θ,平行四邊形MNPQ的面積為S.
(1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式.
(2)求S的最大值及相應(yīng)的θ角.解析:(1)分別過P,Q作PD⊥OB于點(diǎn)D,QE⊥OB于點(diǎn)E,則四邊形QEDP為矩形.
由扇形半徑為1 m,
15、得PD=sin θ,OD=cos θ.
在Rt△OEQ中,
OE=QE=PD,
MN=QP=DE=OD-OE=cos θ-sin θ,
S=MNPD=sin θ
=sin θcos θ-sin2θ,θ∈.
(2)S=sin 2θ-(1-cos 2θ)
=sin 2θ+cos 2θ-=sin-,
因?yàn)棣取剩?
所以2θ+∈,sin∈.
當(dāng)θ=時(shí),Smax=(m2).
8.(20xx宜賓模擬)一艘海輪從A出發(fā),沿北偏東75的方向航行(2-2)n mile到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東15的方向航行4 n mile到達(dá)海島C.
(1)求AC的長;
(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,求∠CAB的大小.
解析:(1)由題意,在△ABC中,
∠ABC=180-75+15=120,
AB=2-2,BC=4,
根據(jù)余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2ABBCcos∠ABC
=(2-2)2+42+(2-2)4=24,
所以AC=2.
(2)根據(jù)正弦定理得,
sin∠BAC==,
所以∠CAB=45.