【人教A版】高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形章末知識整合 新人教A版必修5

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1、 起 高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形章末知識整合 新人教A版必修5 一、本章的中心內(nèi)容——如何解三角形 正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實(shí)在解三角形的應(yīng)用上．通過本章的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)達(dá)到以下學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1．通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題． 2．能夠熟練運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際生活問題． 3．本章的兩個主要數(shù)學(xué)結(jié)論是正弦定理和余弦定理，它們都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的結(jié)論．在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān)系的定性知識，就是“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角”，“如

2、果已知兩個三角形的兩條對應(yīng)邊及其所夾的角相等，那么這兩個三角形全等”． 4．在此內(nèi)容之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識聯(lián)系密切的內(nèi)容，對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對三角形進(jìn)行討論，方法不夠簡潔，用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力． 5．勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角．從上可知，余弦定理是勾股定理的

3、推廣． 二、學(xué)數(shù)學(xué)的最終目的——應(yīng)用數(shù)學(xué) 能把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實(shí)際問題中去，通過觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問題，確定解決問題的科學(xué)思維方法，學(xué)會把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際． 1．正弦定理可建立邊角關(guān)系，角的正弦越大所對的邊就越長． 2．由正弦值得出角的大小時特別要注意是一個解還是兩個解．一般地，解三角形時，只有當(dāng)A為銳角且bsin A＜a＜b時，有兩解；其他情況時則只有一解或無解． 3．利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題． (1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角． (2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角． 4．把

4、a＝ksin A，b＝ksin B代入已知等式可將邊角關(guān)系全部轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系． 5．余弦定理是三角形邊角之間的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例． 6．余弦定理的應(yīng)用范圍是：①已知三邊，求三角；②已知兩邊及一個內(nèi)角，求第三邊． 7．解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟． (1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖． (2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型． (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解． (4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否有實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解． 8．平面上兩點(diǎn)的

5、距離測量問題一般有如下幾類情況： (1)A、B兩點(diǎn)都在河的兩岸，一點(diǎn)可到達(dá)，另一點(diǎn)不可到達(dá)．方法是可到達(dá)一側(cè)再找一點(diǎn)進(jìn)行測量． (2)A、B兩點(diǎn)都在河的對岸(不可到達(dá))．方法是在可到達(dá)一側(cè)找兩點(diǎn)進(jìn)行測量． (3)A、B兩點(diǎn)不可到達(dá)(如隔著一座山或建筑)．方法是找一點(diǎn)可同時到達(dá)A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測量． 9．利用正弦定理和余弦定理來解高度問題時，要學(xué)會審題及根據(jù)題意畫方位圖，要懂得從所給的背景資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕? 10．測量高度的一般方法是選擇能觀察到測量物體的兩點(diǎn)，分別測量仰角或俯角，同時測量出兩個觀測點(diǎn)的距離，再利用解三角形的方法進(jìn)行計(jì)算． 11．求三角形的面

6、積的問題，先觀察已知什么，尚缺什么，用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，就可以求出三角形的面積． 12．利用正弦定理、余弦定理、面積公式將已知條件轉(zhuǎn)化為方程組是解決復(fù)雜問題的常見思路，將方程化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡并考察邊或角的關(guān)系． 題型1　利用正、余弦定理解三角形 解三角形就是已知三角形中的三個獨(dú)立元素(至少一條邊)求出其他元素的過程，三角形中的元素有基本元素(邊和角)和非基本元素(中線、高、角平分線、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑)，解三角形通常是指求未知的元素，有時也求三角形的面積． 解斜三角形包括四種類型：①已知三角形的兩角和一邊(一般先用內(nèi)角和求角或用正弦

7、定理求邊)；②已知兩邊及夾角(一般先用余弦定理求第三邊)；③已知三邊(先用余弦定理求角)；④已知兩邊和一邊的對角(先用正弦定理求另一邊的對角或先用余弦定理求第三邊，注意討論解的個數(shù))． 例1 在△ABC中，c＝4，b＝7，BC邊上的中線AD長為，求a. 解析：如圖，設(shè)CD＝DB＝x， 在△ACD中，cos C＝， 在△ACB中，cos C＝， 所以＝. 解得x＝. 所以a＝2x＝2＝9. 例2 如圖，四邊形ABCD中，B＝C＝120，AB＝4，BC＝CD＝2，則該四邊形的面積等于________． 解析：由余弦定理得 BD2＝22＋22－222cos 120＝1

8、2， ∴BD＝2. ∵BC＝CD＝2，C＝120， ∴∠CBD＝30，∴∠ABD＝90， ∴S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD ＝42sin 90＋22sin 120＝5. 答案：5 題型2　利用正、余弦定理判定三角形的形狀 判定三角形形狀通常有兩種途徑：一是通過正弦定理和余弦定理化邊為角，如a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等，再利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，此時注意一些常見的三角等式所體現(xiàn)的內(nèi)角關(guān)系，如sin A＝sin B?A＝B，sin(A－B)＝0?A＝B，sin 2A＝sin 2B?A＝B或A＋B＝等；二是利用正弦定理、余弦

9、定理化角為邊，如sin A＝，cos A＝等，通過代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷． 例3　在△ABC中，若B＝60，2b＝a＋c，試判斷△ABC的形狀． 解析：方法一　由正弦定理可得2sin B＝sin A＋sin C， ∵B＝60，∴A＋C＝120，A＝120－C， 將其代入上式，得2sin 60＝sin(120－C)＋sin C， 展開整理，得sin C＋cos C＝1， ∴sin(C＋30)＝1，∴C＋30＝90. ∴C＝60，故A＝60， ∴△ABC是正三角形． 方法二　由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B， ∵B＝60，b＝， ∴＝a2＋

10、c2－2accos 60. ∴(a－c)2＝0，∴a＝c， ∴a＝b＝c，∴△ABC為正三角形． 題型3　三角形解的個數(shù)的確定 (1)利用正弦定理討論：若已知a，b，A，由正弦定理＝，得sin B＝.若sin B＞1，則無解；若sin B＝1，則有一解；若sin B＜1，則可能有兩解． (2)利用余弦定理討論：已知a，b，A，由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcos A，即c2－(2bcos A)c＋b2－a2＝0.若方程無解或無正數(shù)解，則三角形無解；若方程有唯一正數(shù)解，則三角形有一解；若方程有兩個不同正數(shù)解，則三角形有兩解． 　例4 在△ABC中，若a＝2，A＝30，則b為何值時

11、，三角形有一解，兩解，無解？ 解析：由正弦定理＝得： ①當(dāng)bsin A＜a＜b時，有兩解，此時2＜b＜4； ②當(dāng)a≥b時或B為90(b為斜邊)時，有一解，此時b≤2或b＝4； ③當(dāng)a＜bsin A時無解，此時b＞4. 題型4　正、余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用 　例5 如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A處測得水深A(yù)D＝80 m，于B處測得水深BE＝200 m，于C處測得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值． 解析：如下圖，作DM∥AC交BE于N，交CF于M， DF＝＝＝10， DE＝＝＝130， EF＝＝＝150. 在△DEF中，由余弦定理得： cos∠DEF＝ ＝＝.