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1、
高考數(shù)學精品復(fù)習資料
2019.5
1.過點P(-2,0)的直線與拋物線C:y2=4x相交于A、B兩點,且|PA|=|AB|,則點A到拋物線C的焦點的距離為( )
A. B.
C. D.2
答案 A
解析 設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),分別過點A、B作直線x=-2的垂線,垂足分別為點D、E.∵|PA|=|AB|,
∴又得x1=,則點A到拋物線C的焦點的距離為1+=.
2.設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點,O為坐標原點,則△OAB的面積為( )
2、
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由已知得F,故直線AB的方程為y=tan30,即y=x-.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立
將①代入②并整理得x2-x+=0,
∴x1+x2=,
∴線段|AB|=x1+x2+p=+=12.
又原點(0,0)到直線AB的距離為d==.
∴S△OAB=|AB|d=12=.
3.已知點A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準線上,過點A的直線與C在第一象限相切于點B,記C的焦點為F,則直線BF的斜率為( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由題意可知準線方程x=-=-2
3、,∴p=4,∴拋物線方程為y2=8x.由已知易得過點A與拋物線y2=8x相切的直線斜率存在,設(shè)為k,且k>0,則可得切線方程為y-3=k(x+2).聯(lián)立方程
消去x得ky2-8y+24+16k=0.(*)
由相切得Δ=64-4k(24+16k)=0,解得k=或k=-2(舍去),代入(*)解得y=8,把y=8代入y2=8x,得x=8,即切點B的坐標為(8,8),又焦點F為(2,0),故直線BF的斜率為.
4.已知F為拋物線y2=x的焦點,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),=2(其中O為坐標原點),則△ABO與△AFO面積之和的最小值是( )
A.2 B.3
C. D
4、.
答案 B
解析 設(shè)AB所在直線方程為x=my+t.
由消去x,得y2-my-t=0.
設(shè)A(y,y1),B(y,y2)(不妨令y1>0,y2<0),
故y+y=m,y1y2=-t.
而=y(tǒng)y+y1y2=2.
解得y1y2=-2或y1y2=1(舍去).
所以-t=-2,即t=2.
所以直線AB過定點M(2,0).
而S△ABO=S△AMO+S△BMO=|OM||y1-y2|=y(tǒng)1-y2,
S△AFO=|OF|y1=y(tǒng)1=y(tǒng)1,
故S△ABO+S△AFO=y(tǒng)1-y2+y1=y(tǒng)1-y2.由y1-y2=y(tǒng)1+(-y2)≥2=2=3,
得S△ABO+S△AFO的最小值為3,
5、故選B.
5.在平面直角坐標系xOy中,P為雙曲線x2-y2=1右支上的一個動點.若點P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立,則實數(shù)c的最大值為________.
答案
解析 直線x-y+1=0與雙曲線x2-y2=1的一條漸近線x-y=0平行,這兩條平行線之間的距離為,又P為雙曲線x2-y2=1右支上的一個動點,點P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立,則c≤,即實數(shù)c的最大值為.
6.設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點,過點P(-1,0)的直線l交拋物線C于A,B兩點,點Q為線段AB的中點.若|FQ|=2,則直線l的斜率等于________.
答案 1
解析 設(shè)直線AB方程為
6、x=my-1(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線和拋物線方程,整理得,y2-4my+4=0,由根與系數(shù)關(guān)系得y1+y2=4m,y1y2=4.故Q(2m2-1,2m).由|FQ|=2知=2,解得m2=1或m2=0(舍去),故直線l的斜率等于1(此時直線AB與拋物線相切,為滿足題意的極限情況).
7.已知動點P到直線l:x=-1的距離等于它到圓C:x2+y2-4x+1=0的切線長(P到切點的距離).記動點P的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)點Q是直線l上的動點,過圓心C作QC的垂線交曲線E于A,B兩點,設(shè)AB的中點為D,求的取值范圍.
解 (1)由已知得,
7、圓心為C(2,0),半徑r=.設(shè)P(x,y),依題意可得|x+1|=,整理得y2=6x.故曲線E的方程為y2=6x.
(2)設(shè)直線AB的方程為my=x-2,
則直線CQ的方程為y=-m(x-2),可得Q(-1,3m).
將my=x-2代入y2=6x并整理可得y2-6my-12=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則y1+y2=6m,y1y2=-12,D(3m2+2,3m),|QD|=3m2+3.
|AB|=2 ,
所以2==∈,故∈.
8.已知橢圓E:+=1(a>b>0)過點(0,),且離心率e=.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)直線l:x=my-1(m∈R
8、)交橢圓E于A,B兩點,判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.
解 解法一:(1)由已知得,
解得
所以橢圓E的方程為+=1.
(2)設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為H(x0,y0).
由
得(m2+2)y2-2my-3=0,
所以y1+y2=,y1y2=-,
從而y0=.
所以|GH|2=2+y=2+y=(m2+1)y+my0+.
==
=
=(1+m2)(y-y1y2),
故|GH|2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=>0,所以|GH|>.
故點G在以AB為直徑的圓外.
解法二:(1)同解法一.
(2)設(shè)點
9、A(x1,y1),B(x2,y2),則=,
=.
由得(m2+2)y2-2my-3=0,
所以y1+y2=,y1y2=-,
從而=+y1y2=+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+=++=>0,
所以cos〈,〉>0.又,不共線,所以∠AGB為銳角.
故點G在以AB為直徑的圓外.
9.已知點A(0,-2),橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,F(xiàn)是橢圓E的右焦點,直線AF的斜率為,O為坐標原點.
(1)求E的方程;
(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點,當△OPQ的面積最大時,求l的方程.
解 (1)設(shè)F(c,0),由條件知,=,得c=.
又=,所
10、以a=2,b2=a2-c2=1.
故E的方程為+y2=1.
(2)當l⊥x軸時不合題意,故設(shè)l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
將y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
當Δ=16(4k2-3)>0,即k2>時,
x1,2=.
從而|PQ|=|x1-x2|=.
又點O到直線PQ的距離d=,
所以△OPQ的面積S△OPQ=d|PQ|=.
設(shè) =t,則t>0,S△OPQ==.
因為t+≥4,當且僅當t=2,即k=時等號成立,且滿足Δ>0.
所以,當△OPQ的面積最大時,l的方程為
y=x-2或y=-x-2.
10.圓x2
11、+y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個三角形,當該三角形面積最小時,切點為P(如圖).雙曲線C1:-=1過點P且離心率為.
(1)求C1的方程;
(2)橢圓C2過點P且與C1有相同的焦點,直線l過C2的右焦點且與C2交于A,B兩點,若以線段AB為直徑的圓過點P,求l的方程.
解 (1)設(shè)切點坐標為(x0,y0)(x0>0,y0>0),則切線斜率為-,切線方程為y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4.此時,兩個坐標軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為S==.由x+y=4≥2x0y0,知當且僅當x0=y(tǒng)0=時x0y0有最大值,即S有最小值,因此點P的坐標為(,).
由題
12、意知解得a2=1,b2=2,故C1的方程為x2-=1.
(2)由(1)知C2的焦點坐標為(-,0),(,0),由此設(shè)C2的方程為+=1,其中b1>0.
由P(,)在C2上,得+=1,
解得b=3.因此C2的方程為+=1.
顯然,l不是直線y=0.
設(shè)l的方程為x=my+,點A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,
因此
由x1=my1+,x2=my2+,得
因為=(-x1,-y1),=(-x2,-y2).
由題意知=0,
所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤
將①,②,③,④代
13、入⑤式整理,得
2m2-2m+4-11=0,
解得m=-1或m=-+1.因此直線l的方程為x-y-=0或x+y-=0.
11.如圖,已知兩條拋物線E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),過原點O的兩條直線l1和l2,l1與E1,E2分別交于A1,A2兩點,l2與E1,E2分別交于B1,B2兩點.
(1)證明:A1B1∥A2B2;
(2)過O作直線l(異于l1,l2)與E1,E2分別交于C1,C2兩點.記△A1B1C1與△A2B2C2的面積分別為S1與S2,求的值.
解 (1)證明:設(shè)直線l1,l2的方程分別為y=k1x,
y=k2x(k1,k2≠0),則由得A1,
由得A2.
同理可得B1,B2.
所以=
=2p1.
=
=2p2.
故=,所以A1B1∥A2B2.
(2)由(1)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2.所以△A1B1C1∽△A2B2C2.
因此=2.
又由(1)中的=知=.故=.