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1、
人教版高中數學必修精品教學資料
課時提升作業(yè)(八)
空間中直線與直線之間的位置關系
(15分鐘 30分)
一、選擇題(每小題4分,共12分)
1.在三棱錐S-ABC中,與SA是異面直線的是 ( )
A.SB B.SC C.BC D.AB
【解析】選C.如圖所示,SB,SC,AB,AC與SA均是相交直線,BC與SA既不相交,又不平行,是異面直線.
2.若空間三條直線a,b,c滿足a⊥b,b⊥c,則直線a與c ( )
A.一定平行
B.一定相交
C.一定是異面直線
D.平行、相交或異面都有可能
【解析】選D.當a,b,c共面時,a
2、∥c;當a,b,c不共面時,a與c可能異面、平行也可能相交.
3.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AD的中點,則異面直線B1C與EF所成的角的大小為 ( )
A.30 B.45 C.60 D.90
【解析】選C.連接B1D1,D1C,則B1D1∥EF,故∠D1B1C為所求,又B1D1=B1C=D1C,所以∠D1B1C=60.
【補償訓練】在正方體AC1中,E,F分別是線段BC,CD1的中點,則直線A1B與直線EF的位置關系是( )
A.相交 B.異面 C.平行 D.垂直
【解析】選A.如圖所示,直
3、線A1B與直線外一點E確定的平面為A1BCD1,EF?平面A1BCD1,且兩直線不平行,故兩直線相交.
二、填空題(每小題4分,共8分)
4.已知∠ABC=120,異面直線MN,PQ,其中MN∥AB,PQ∥BC,則異面直線MN與PQ所成的角為 .
【解析】結合等角定理及異面直線所成角的范圍可知,異面直線MN與PQ所成的角為60.
答案:60
【補償訓練】平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,既與AB共面又與CC1共面的棱有
條.
【解析】與AB平行、CC1相交的直線是CD,C1D1;與CC1平行,AB相交的直線是BB1,AA1;與AB,CC1都相交的直線是
4、BC,故滿足條件的棱有5條.
答案:5
5.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點,有以下四個結論:
①直線AM與CC1是相交直線;
②直線AM與BN是平行直線;
③直線BN與MB1是異面直線;
④直線AM與DD1是異面直線.
其中正確結論為 (寫出所有正確結論的序號).
【解析】直線AM與CC1是異面直線,直線AM與BN也是異面直線,所以①②錯誤.點B,B1,N在平面B1C中,點M在此平面外,所以BN,MB1是異面直線.同理AM,DD1也是異面直線.
答案:③④
三、解答題
6.(10分)如圖所示,OA,OB,
5、OC為不共面的三條射線,點A1,B1,C1分別是OA,OB,OC上的點,且OA1OA=OB1OB=OC1OC成立.
求證:△A1B1C1∽△ABC.
【解題指南】由初中所學平面幾何知識,可證明兩內角對應相等,進而證明兩個三角形相似.
【證明】在△OAB中,
因為OA1OA=OB1OB,所以A1B1∥AB.
同理可證A1C1∥AC,B1C1∥BC.
所以∠C1A1B1=∠CAB,∠A1B1C1=∠ABC.
所以△A1B1C1∽△ABC.
【誤區(qū)警示】在立體幾何中,常利用等角定理來證明兩個角相等.此時要注意觀察這兩個角的方向必須相同,且能證明它們的兩邊對應平行.
【補償訓練】
6、空間四邊形ABCD中,AB=CD且AB與CD所成的角為30,E,F分別是BC,AD的中點,求EF與AB所成角的大小.
【解析】取AC的中點G,連接EG,FG,則EG∥AB,GF∥CD,
且由AB=CD知EG=FG,
所以∠GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角,∠EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角.
因為AB與CD所成的角為30,
所以∠EGF=30或150.
由EG=FG知△EFG為等腰三角形,當∠EGF=30時,∠GEF=75;
當∠EGF=150時,∠GEF=15.
故EF與AB所成的角為15或75.
(15分鐘 30分)
一、選擇題(每小題5分,共1
7、0分)
1.l1,l2,l3是空間三條不同的直線,則下列命題正確的是 ( )
A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1⊥l3
B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面
D.l1,l2,l3共點?l1,l2,l3共面
【解析】選B.A選項,l1⊥l2,l2⊥l3,則l1與l3的位置關系可能是相交、平行或異面;B選項正確;C選項,l1∥l2∥l3,則l1,l2,l3既可能共面,也可能異面;D選項,如長方體共頂點的三條棱為l1,l2,l3,但這三條直線不共面.
2.空間四邊形的兩條對角線相互垂直,順次連接四邊中點的四邊形一定是
( )
A.空
8、間四邊形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
【解析】選B.易證四邊形EFGH為平行四邊形.又因為E,F分別為AB,BC的中點,所以EF∥AC,又FG∥BD,所以∠EFG或其補角為AC與BD所成的角.而AC與BD所成的角為90,所以∠EFG=90,故四邊形EFGH為矩形.
【拓展延伸】作異面直線所成角的三種方法:①直接平移法(可利用圖中已有的平行線);②中位線平移法;③補形平移法(在已知圖形中,補作一個相同的幾何體,以便找到平行線).
二、填空題(每小題5分,共10分)
3.(2015重慶高二檢測)給出下列四個命題,其中正確命題的序號是
9、.
①在空間若兩條直線不相交,則它們一定平行;
②平行于同一條直線的兩條直線平行;
③一條直線和兩條平行直線的一條相交,那么它也和另一條相交;
④空間四條直線a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c.
【解析】①錯,可以異面;②正確,公理4;③錯誤,和另一條可以異面;④正確,由平行直線的傳遞性可知.
答案:②④
4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
(1)AA1與C1D1所成的角的度數為 .
(2)AA1與B1C所成的角的度數為 .
【解析】(1)因為AA1∥DD1,所以∠DD1C1即為所求的角.
因為∠DD1C1=90,所
10、以AA1與C1D1所成的角為90.
(2)因為AA1∥BB1,所以∠BB1C即為所求的角.
因為∠BB1C=45,所以AA1與B1C所成的角為45.
答案:(1)90 (2)45
三、解答題
5.(10分)如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中的面A1C1內有一點P,經過點P作棱BC的平行線,應該怎樣畫?并說明理由.
【解題指南】由于BC∥B1C1,所以平行于BC的直線只需要平行于B1C1即可.
【解析】如圖所示,在面A1C1內過P作直線EF∥B1C1,交A1B1于點E,交C1D1于點F,則直線EF即為所求.
理由:因為EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC
11、.
【補償訓練】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側面都是矩形,底面ABCD是菱形且AB=BC=23,∠ABC=120,若異面直線A1B和AD1所成的角為90,試求AA1.
【解析】連接CD1,AC,由題意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1D1∥BC,A1D1=BC,
所以四邊形A1BCD1是平行四邊形,
所以A1B∥CD1,
所以∠AD1C(或其補角)為A1B和AD1所成的角,
因為異面直線A1B和AD1所成的角為90,
所以∠AD1C=90,
因為四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AB=BC=23,
所以△ACD1是等腰直角三角形.
所以AD1=22AC,
因為底面ABCD是菱形且AB=BC=23,∠ABC=120,
所以AC=23sin 602=6,所以AD1=22AC=32,
所以AA1=AD12-A1D12=(32)2-(23)2
=6.
【拓展延伸】求兩異面直線所成角的技巧
求兩異面直線所成角的關鍵在于作角,總結起來有如下“口訣”:
中點、端點定頂點,平移常用中位線;
平行四邊形柱中見,指出成角很關鍵;
求角構造三角形,銳角、鈍角要明辨;
平行線若在外,補上原體在外邊.
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【人教A版】高中數學必修二：全冊作業(yè)與測評 課時提升作業(yè)(八)2.1.2
