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1、
高考數學精品復習資料
2019.5
專題三 概率及期望與方差
建知識網絡 明內在聯(lián)系
[高考點撥] 本專題涉及面廣，往往以生活中的熱點問題為依托，在浙江新高考中的考查方式十分靈活，背景容易創(chuàng)新．基于上述分析，本專題按照“古典概型”“隨機變量及其分布”兩個方面分類進行引導，強化突破．
突破點6 古典概型
(對應學生用書第24頁)
[核心知識提煉]
提煉1古典概型問題的求解技巧
(1)直接列舉：涉及一些常見的古典概型問題時，往往把事件發(fā)生的所有結果逐一列舉出來，然后進行求解．
(2)畫樹狀圖：涉及一
2、些特殊古典概型問題時，直接列舉容易出錯，通過畫樹狀圖，列舉過程更具有直觀性、條理性，使列舉結果不重、不漏．
(3)逆向思維：對于較復雜的古典概型問題，若直接求解比較困難，可利用逆向思維，先求其對立事件的概率，進而可得所求事件的概率．
(4)活用對稱：對于一些具有一定對稱性的古典概型問題，通過列舉基本事件個數結合古典概型的概率公式來處理反而比較復雜，利用對稱思維，可以快速解決.
提煉2求概率的兩種常用方法
(1)將所求事件轉化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．
(2)若一個較復雜的事件的對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”．它常
3、用來求“至少”或“至多”型事件的概率．
[高考真題回訪]
回訪 古典概型
1．(20xx浙江高考)從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是( )
A. B.
C. D.
D [“所取的3個球中至少有1個白球”的對立事件是“所取的3個球都不是白球”，因而所求的概率P＝1－＝1－＝.]
2．(20xx浙江高考)在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎．甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎的概率是________．
[記“兩人都中獎”為事件A，
設中一、二等獎及不中獎分別記為1,2,0，那么甲、乙抽獎結果有(1,2)，(
4、1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6種．
其中甲、乙都中獎有(1,2)，(2,1)，2種，所以P(A)＝＝.]
3．(20xx浙江高考)從3男3女共6名同學中任選2名(每名同學被選中的機會均等)，這2名都是女同學的概率等于__________．
[用A，B，C表示三名男同學，用a，b，c表示三名女同學，則從6名同學中選出2人的所有選法為：AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15種選法，其中都是女同學的選法有3種，即ab，ac，bc，故所求概率為＝.]
(對應學生用書第25頁)
熱點題型1 古
5、典概型
題型分析：古典概型是高考考查概率的核心，問題背景大多是取球、選人、組數等，求解的關鍵是準確列舉基本事件，難度較小.
【例1】 (1)(20xx浙東北教學聯(lián)盟高三一?？荚?)袋子里有大小、形狀相同的紅球m個，黑球n個(m＞n＞2)．從中任取1個球是紅球的概率記為p1.若將紅球、黑球個數各增加1個，此時從中任取1個球是紅球的概率記為p2；若將紅球、黑球個數各減少1個，此時從中任取1個球是紅球的概率記為p3，則( )
A．p1＞p2＞p3 B．p1＞p3＞p2
C．p3＞p2＞p1 D．p3＞p1＞p2
(2)已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，則函數f
6、(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數的概率是( )
【導學號：68334080】
A. B.
C. D.
(1)B (2)A [(1)由題意得p1＝，p2＝，p3＝，則＝＝1＋，＝＝1＋，＝＝1＋，則－＝－＝＜0，－＝－＝＞0，所以＞＞，所以p3＞p1＞p2，故選D.
(2)記事件A為“函數f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數”．
因為f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1.
因為函數f(x)在R上為增函數，所以f′(x)≥0在R上恒成立．
又a>0，所以Δ＝(2b)2－43a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，
7、即a≥.
所以當b＝1時，有a≥，故a可取1,2,3,4，共4個數；
當b＝2時，有a≥，故a可取2,3,4，共3個數；
當b＝3時，有a≥3，故a可取3,4，共2個數；
當b＝4時，有a≥，故a無可取值．
綜上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9(種)．
又a，b∈{1,2,3,4}，所以(a，b)共有44＝16(種)．
故所求事件A的概率為P(A)＝.故選A.]
[方法指津]
利用古典概型求事件概率的關鍵及注意點
1．關鍵：正確列舉出基本事件的總數和待求事件包括的基本事件數．
2．注意點：(1)對于較復雜的題目，列出事件數時要正確分類，分類時應不重不漏
8、．
(2)當直接求解有困難時，可考慮求其對立事件的概率．
[變式訓練1] (20xx溫州調研)若將甲、乙兩個球隨機放入編號為1,2,3的三個盒子中，每個盒子的放球數量不限，則在1,2號盒子中各有一個球的概率是________．
[將甲、乙兩個球隨機放入編號為1,2,3的三個盒子中，每個盒子的放球數量不限，則有33＝9種不同放法，其中在1,2號盒子中各有一個球的結果有2種，故所求概率是.]
熱點題型2 互斥事件與對立事件的概率
題型分析：互斥事件與對立事件的概率常與古典概型等交匯命題，主要考查學生的分析轉化能力，難度中等.
【例2】 現有甲、乙、丙、丁4個學生課余參加學校社團文學
9、社與街舞社的活動，每人參加且只能參加一個社團的活動，且參加每個社團是等可能的．
(1)求文學社和街舞社都至少有1人參加的概率；
(2)求甲、乙同在一個社團，且丙、丁不同在一個社團的概率．
[解] 甲、乙、丙、丁4個學生課余參加學校社團文學社與街舞社的情況如下：
文學社
街舞社
1
甲乙丙丁
2
甲乙丙
丁
3
甲乙丁
丙
4
甲丙丁
乙
5
乙丙丁
甲
6
甲乙
丙丁
7
甲丙
乙丁
8
乙丙
甲丁
9
甲丁
乙丙
10
乙丁
甲丙
11
丙丁
甲乙
12
甲
乙丙丁
13
乙
甲丙丁
14
10、
丙
甲乙丁
15
丁
甲乙丙
16
甲乙丙丁
共有16種情形，即有16個基本事件. 6分
(1)文學社或街舞社沒有人參加的基本事件有2個，
故所求概率為＝. 9分
(2)甲、乙同在一個社團，且丙、丁不同在一個社團的基本事件有4個，故所求概率為＝. 12分
[方法指津]
1．直接求法：將所求事件分解為一些彼此互斥事件的和，運用互斥事件概率的加法公式計算．
2．間接求法：先求此事件的對立事件，再用公式P(A)＝1－P()求解，即運用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法會較簡便．
提醒：應用互斥事件概率的加法公式的前提是確定各個
11、事件是否彼此互斥．
[變式訓練2] (名師押題)根據以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3.
(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；
(2)求該地1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率．
【導學號：68334081】
[解] 記事件A為“該車主購買甲種保險”，事件B為“該車主購買乙種保險但不購買甲種保險”，事件C為“該車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種”，事件D為“該車主甲、乙兩種保險都不購買”. 4分
(1)由題意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3， 6分
又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8. 12分
(2)因為D與C是對立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2. 15分
浙江高考數學二輪復習教師用書：第1部分 重點強化專題 專題3 突破點6 古典概型 Word版含答案
