高考復(fù)習(xí)方案大二輪全國新課標數(shù)學(xué)文科高考備考方法策略:專題篇數(shù)列 4一類數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 Word版含答案

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 一類數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 定理1 對于正項數(shù)列,有: (1)若對N*恒成立,則對N*也恒成立; (2)若對N*恒成立,則對N*也恒成立. 證明 (1). (2)同理可證. 定理2 對于正項數(shù)列,有: (1)若對N*恒成立,則對N*也恒成立; (2)若對N*恒成立,則對N*也恒成立. 定理3 對于數(shù)列,有: (1)若對N*恒成立,則有對N*也恒成立; (2)若對N*恒成立,則有對N*也恒成立. 證明 (1). (2)同理

2、可證. 定理4 對于數(shù)列,有: (1)若對N*恒成立,則有對N*也恒成立; (2)若對N*恒成立,則有對N*也恒成立. (請讀者思考:定理2-1,定理2-3的結(jié)論中的等號何時取到?) 題1 (高考全國新課標卷Ⅱ理科第17題)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1. (1)證明是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式; (2)證明:++…+<. 解 (1)略. (2)只證時的情形.易得,所以.由定理2-2(2),得,所以 ++…+ 得欲證成立. 題2 (高考全國大綱卷理科第22題)函數(shù)f(x)=ln(x+1)-(a>1). (1)討論f(x)的單調(diào)性;

3、(2)設(shè)a1=1,an+1=ln(an+1),證明:0,所以f(x)在(-1,a2-2a)是增函數(shù); 若x∈(a2-2a,0),則f′(x)<0,所以f(x)在(a2-2a,0)是減函數(shù); 若x∈(0,+∞),則f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)是增函數(shù). (ii)當a=2時,若f′(x)≥0,f′(x)=0成立當且僅當x=0,所以f(x)在(-1,+∞)是增函數(shù). (iii)當a>2時,若x∈(-1,0),則f′(x)>0,

4、所以f(x)在(-1,0)是增函數(shù); 若x∈(0,a2-2a),則f′(x)<0, 所以f(x)在(0,a2-2a)是減函數(shù); 若x∈(a2-2a,+∞),則f′(x)>0,所以f(x)在(a2-2a,+∞)是增函數(shù). (2)用數(shù)學(xué)歸納法易證. 當a=2時,由(1)的結(jié)論知,f(x)在(0,3)上是增函數(shù),所以,即,所以. 由定理3(2),得. 當a=3時,由(1)的結(jié)論知,f(x)在(0,3)上是減函數(shù),所以,即,所以. 由定理3(1),得. 所以

5、項公式; (3)證明:對一切正整數(shù),有++…+<. 解 (1)(過程略). (2)(過程略). (3)只證時的情形. 當時,得,把這兩式相減,得. 由(1),(2)問的答案知,所以N*). 所以.由定理2-2(2),得,所以 ++…+ 得欲證成立. 題4 (高考安徽卷理科第21題)設(shè)數(shù)列滿足N*,其中為實數(shù). (1)證明:對任意N*成立的充分必要條件是; (2)設(shè),證明:N*; (3)略. 證明 以下用結(jié)論(1)證結(jié)論(2):即證,由結(jié)論(1)及定理1(2)知,只需證明,理由是——. 題5 (高考浙江卷理科第22題)已知函數(shù),數(shù)列的第一項,以后各項

6、按如下方式?jīng)Q定:曲線在點處的切線與經(jīng)過兩點,的直線平行.當N*時,求證: (1); (2). 證明 以下用結(jié)論(1)證結(jié)論(2):因為,可得,所以由定理1(1)及其證明,得. 又,對于數(shù)列用定理1(2)及其證明,得. 題6 (1)(高考陜西卷文科第22(3)題)設(shè),比較與的大小,并說明理由. (2)(華約自主招生數(shù)學(xué)試題第7題)(i)設(shè),求證:當時,; (ii)若數(shù)列滿足,求證:數(shù)列遞減,且. 證明 (1)略. (2)(i)略. (ii)易用數(shù)學(xué)歸納法證得. 先證數(shù)列遞減:由(i)的結(jié)論,得,又,所以,即遞減. 再證.只證時的情形. 由(1)的結(jié)論,可得.再由定理2-2(1),得. 題7 設(shè)數(shù)列滿足N),求證:N*). 證明 當時,得 當時,. 當時,得 得證明成立.

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