高考數學一輪復習學案訓練課件北師大版文科: 坐標系與參數方程 第1節(jié) 坐標系學案 文 北師大版

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1、 高考數學精品復習資料 2019.5 第一節(jié) 坐標系 [考綱傳真] 1.理解坐標系的作用,了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.2.了解極坐標的基本概念,會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置,能進行極坐標和直角坐標的互化.3.能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程. (對應學生用書第158頁) [基礎知識填充] 1.平面直角坐標系中的坐標伸縮變換 設點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點,在變換φ:的作用下,點P(x,y)對應到點P′(x′,y′),稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換.

2、 2.極坐標系 (1)極坐標與極坐標系的概念 在平面內取一個定點O,叫作極點,從O點引一條射線Ox,叫作極軸,選定一個單位長度和角的正方向(通常取逆時針方向).這樣就確定了一個平面極坐標系,簡稱為極坐標系.對于平面內任意一點M,用ρ表示線段OM的長,θ表示以Ox為始邊、OM為終邊的角度,ρ叫作點M的極徑,θ叫作點M的極角,有序實數對(ρ,θ)叫做點M的極坐標,記作M(ρ,θ). 當點M在極點時,它的極徑ρ=0,極角θ可以取任意值. 圖 (2)極坐標與直角坐標的互化 設M為平面內的一點,它的直角坐標為(x,y),極坐標為(ρ,θ).由圖可知下面關系式成立: 或

3、 圖 3.常用簡單曲線的極坐標方程 曲線 圖形 極坐標方程 圓心在極點,半徑為r的圓 ρ=r(0≤θ≤2π) 圓心為(r,0),半徑為r的圓 ρ=2rcos θ 圓心為,半徑為r的圓 ρ=2rsin θ(0≤θ<π) 過極點,傾斜角為α的直線 θ=α(ρ∈R)或 θ=π+α(ρ∈R) 過點(a,0),與極軸垂直的直線 ρcos θ=a 過點,與極軸平行的直線 ρsin θ=a(0<θ<π) [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“”) (1)平面直角坐標系內的點與坐標能建立一一對應關

4、系,在極坐標系中點與坐標也是一一對應關系.(  ) (2)若點P的直角坐標為(1,-),則點P的一個極坐標是.(  ) (3)在極坐標系中,曲線的極坐標方程不是唯一的.(  ) (4)極坐標方程θ=π(ρ≥0)表示的曲線是一條直線.(  ) [答案] (1) (2)√ (3)√ (4) 2.(教材改編)若以直角坐標系的原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,則線段y=1-x(0≤x≤1)的極坐標方程為(  ) A.ρ=,0≤θ≤ B.ρ=,0≤θ≤ C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤ D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤ A [∵y=1-x

5、(0≤x≤1), ∴ρsin θ=1-ρcos θ(0≤ρcos θ≤1), ∴ρ=.] 3.(教材改編)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.若曲線C的極坐標方程為ρ=2sin θ,則曲線C的直角坐標方程為________. x2+y2-2y=0 [由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ. 所以曲線C的直角坐標方程為x2+y2-2y=0.] 4.已知直線l的極坐標方程為2ρsin=,點A的極坐標為A,則點A到直線l的距離為________.  [由2ρsin=,得 2ρ=, ∴y-x=1. 由A,得點A的直角坐標為(2

6、,-2). ∴點A到直線l的距離d==.] 5.已知圓C的極坐標方程為ρ2+2ρsin-4=0,求圓C的半徑. 【導學號:00090368】 [解] 以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O,以極軸為x軸的正半軸,建立直角坐標系xOy. 圓C的極坐標方程可化為ρ2+2ρ-4=0, 化簡,得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0. 則圓C的直角坐標方程為 x2+y2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6, 所以圓C的半徑為. (對應學生用書第159頁) 平面直角坐標系中的伸縮變換  將圓x2+y2=1上每一點的橫坐標保持

7、不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線C. (1)求曲線C的方程; (2)設直線l:2x+y-2=0與C的交點為P1,P2,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程. [解] (1)設(x1,y1)為圓上的點,在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(x,y),依題意,得 2分 由x+y=1得x2+2=1, 故曲線C的方程為x2+=1. 5分 (2)由 解得或 6分 不妨設P1(1,0),P2(0,2),則線段P1P2的中點坐標為,所求直線斜率為k=, 8分 于是所求直線方程為y-1=, 化為極坐標方程,并整

8、理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 故所求直線的極坐標方程為ρ=. 10分 [規(guī)律方法] 1.解答該類問題應明確兩點:一是根據平面直角坐標系中的伸縮變換公式的意義與作用;二是明確變換前的點P(x,y)與變換后的點P′(x′,y′)的坐標關系,利用方程思想求解. 2.求交點坐標,得直線方程,最后化為極坐標方程,其實質是將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入轉化. [變式訓練1] 在平面直角坐標系中,已知伸縮變換φ: (1)求點A經過φ變換所得點A′的坐標; (2)求直線l:y=6x經過φ變換后所得直線l′的方程. [解] (1)設點A′(x′,y′),由

9、伸縮變換 φ:得 ∴x′=3=1,y′==-1. ∴點A′的坐標為(1,-1). (2)設P′(x′,y′)是直線l′上任意一點. 由伸縮變換φ: 得 代入y=6x,得2y′=6=2x′, ∴y′=x′為所求直線l′的方程. 極坐標與直角坐標的互化  (20xx全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρcos θ=4. (1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM||OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程; (2)設點A的極坐標為,點B在曲線C2上,求△OAB面積的最大

10、值. [解] (1)設點P的極坐標為(ρ,θ)(ρ>0),點M的極坐標為(ρ1,θ)(ρ1>0). 由題設知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=. 由|OM||OP|=16得C2的極坐標方程ρ=4cos θ(ρ>0). 2分 因此C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x≠0). 4分 (2)設點B的極坐標為(ρB,α)(ρB>0). 由題設知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面積 S=|OA|ρBsin∠AOB 6分 =4cos α =2≤2+. 8分 當α=-時,S取得最大值2+. 所以△OAB面積的最大值為2+. 10分

11、[規(guī)律方法] 1.進行極坐標方程與直角坐標方程互化的關鍵是靈活應用互化公式:x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2,tan θ=(x≠0). 2.進行極坐標方程與直角坐標方程互化時,要注意ρ,θ的取值范圍及其影響;要善于對方程進行合理變形,并重視公式的逆向與變形使用;要靈活運用代入法和平方法等方法. [變式訓練2] (20xx北京高考改編)在極坐標系中,已知極坐標方程C1:ρcos θ-ρsin θ-1=0,C2:ρ=2cos θ. (1)求曲線C1,C2的直角坐標方程,并判斷兩曲線的形狀; (2)若曲線C1,C2交于A,B兩點,求兩交點間的距離. [解] (1

12、)由C1:ρcos θ-ρsin θ-1=0, ∴x-y-1=0,表示一條直線. 由C2:ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ, ∴x2+y2=2x,則(x-1)2+y2=1. ∴C2是圓心為(1,0),半徑r=1的圓. (2)由(1)知點(1,0)在直線x-y-1=0上, 因此直線C1過圓C2的圓心. ∴兩交點A,B的連線段是圓C2的直徑. 因此兩交點A,B間的距離|AB|=2r=2. 直線與圓的極坐標方程的應用  (20xx全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為(t為參數,a>0).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,

13、曲線C2:ρ=4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程; (2)直線C3的極坐標方程為θ=α0,其中α0滿足tan α0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求A. [解] (1)消去參數t得到C1的普通方程為x2+(y-1)2=a2,則C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓. 2分 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為ρ2-2ρsin θ+1-a2=0. 4分 (2)曲線C1,C2的公共點的極坐標滿足方程組 若ρ≠0,由方程組得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0

14、, 由已知tan θ=2,得16cos2θ-8sin θcos θ=0, 8分 從而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1. 當a=1時,極點也為C1,C2的公共點,且在C3上. 所以a=1. 10分 [規(guī)律方法] 1.第(1)問將曲線C1的參數方程先化為普通方程,再化為極坐標方程,考查學生的化歸與轉化能力.第(2)問中關鍵是理解極坐標方程,有意識地將問題簡單化,進而求解. 2.由極坐標方程求曲線交點、距離等幾何問題時,如果不能直接用極坐標方程解決,可先轉化為直角坐標方程,然后求解. [變式訓練3] (20xx石家莊模擬)已知曲線C1:x+y=和C2:(φ為參數

15、).以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,且兩種坐標系中取相同的長度單位. (1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標方程; (2)設C1與x,y軸交于M,N兩點,且線段MN的中點為P.若射線OP與C1,C2交于P,Q兩點,求P,Q兩點間的距離. [解] (1)曲線C1化為ρcos θ+ρsin θ=. ∴ρsin=. 2分 曲線C2化為+=1.(*) 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(*)式 得cos2θ+sin2θ=1,即ρ2(cos2θ+3sin2θ)=6. ∴曲線C2的極坐標方程為ρ2=. 4分 (2)∵M(,0),N(0,1),∴P, ∴OP的極坐標方程為θ=, 6分 把θ=代入ρsin=得ρ1=1,P. 把θ=代入ρ2=得ρ2=2,Q. 8分 ∴|PQ|=|ρ2-ρ1|=1,即P,Q兩點間的距離為1. 10分

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