高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 圓錐曲線的綜合問題

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 圓錐曲線的綜合問題 1.若圓與圓的公共弦長為，則________. 2.已知圓O：和點(diǎn)A（1，2），則過A且與圓O相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形 的面積等于 3.過雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A，B，若（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線線C的離心率為 ______ 4、橢圓的弦被點(diǎn)所平分，則此弦所在的直線的方程為 5.已知、是橢圓（＞＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為9，則=__________

2、__. 6. 已知拋物線與圓相交于、、、四點(diǎn)。 （1）求得取值范圍； （2）當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求對(duì)角線、的交點(diǎn)坐標(biāo) 7. 如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接△的內(nèi)切圓, 其中為橢 圓的左頂點(diǎn). （1）求圓的半徑; （2）過點(diǎn)作圓的兩條切線交橢圓于兩點(diǎn)，證明：直線與圓相切． G ． 8. 設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.（1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀; w.w.w.k.s.5

3、.u.c.o.m （2）已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B, 且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程. 9.已知雙曲線的離心率為，其焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同。 （1）求雙曲線C的方程； （2）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓 上，求m的值. 10.已知雙曲線C的中心是原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F，一條漸近線為,設(shè)過點(diǎn)A的直線的斜率為。(1)求雙曲線C的方程； (2)若過原點(diǎn)的直線，且與l的距離為，求的值；

4、 11.中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1（0，）的橢圓截直線所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為. （1）求橢圓的方程;（2）求弦長。 12.已知，橢圓C以過點(diǎn)A（1，），兩個(gè)焦點(diǎn)為（－1，0）（1，0）。 （1）求橢圓C的方程； （2）E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的 斜率為定值，并求出這個(gè)定值。 13.已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為． （1）求橢圓的方程；

5、 （2）設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)．當(dāng) 線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求的最小值． 14.已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為． （1）求與的值； （2）設(shè)拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過的直線交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)， 過點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn)．若是的切線，求的最小值． 圓錐曲線的綜合問題參考答案 1. 解析:由已知，兩個(gè)圓的方程作差可以得到相交弦的直線方程為 ，利用圓心（0，0）到 直線的距離d為，解得1 2. 解析：由題意可直接求出切線方程為y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,從而求出在兩坐

6、標(biāo)軸上的截距分別是5和，所以所求面積為。 3.解: , 5.解析:依題意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。 6:分析：（1）這一問學(xué)生易下手。將拋物線與圓的方程聯(lián) 立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（＊） 拋物線與圓相交于、、、四個(gè)點(diǎn)的充要 條件是：方程（＊）有兩個(gè)不相等的正根即可.易得.考生利用數(shù)形結(jié)合及函數(shù) 和方程的思想來處理也可以． （2）考綱中明確提出不考查求兩個(gè)圓錐曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)。因此利用設(shè)而不求、整體代入的 方 法處理本小題是一個(gè)較好的切入點(diǎn)． 設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、、。 則由（1）根據(jù)韋達(dá)定理有， 則

7、 令，則 下面求的最大值。 方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問題有時(shí)很方 便。它的主要手段是配湊系數(shù)或常數(shù)，但要注意取等號(hào)的條件，這和二次均值類似。 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最大值。經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)滿足題意。 方法二：利用求導(dǎo)處理，這是命題人的意圖。具體解法略。 下面來處理點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為： 由三點(diǎn)共線，則得。以下略。 7.解: （1）設(shè)，過圓心作于,交長軸于 由得, 即 (1) 而點(diǎn)在橢圓上, (2) 由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）

8、 （2）設(shè)過點(diǎn)與圓相切的直線方程為: (3) 則,即 (4) 解得 將(3)代入得,則異于零的解為 設(shè),，則 則直線的斜率為： 于是直線的方程為: 即 則圓心到直線的距離 8.解:（1）因?yàn)?, 所以, 即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為; 當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓； 當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓; 當(dāng)時(shí),方程表示的是雙曲線. (2).當(dāng)時(shí), 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為, 解方程組得,即, 要使切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B, 則使△=, 即,即, 且

9、 , 要使, 需使,即, 所以, 即且, 即恒成立. 又因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線, 所以圓的半徑為,, 所求的圓為. 當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為,與交于點(diǎn)或 也滿足. 綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè) 交點(diǎn)A,B,且. 9.解：設(shè)雙曲線C的半焦距為 （1）由題意，得，解得， ∴，∴所求雙曲線的方程為. （2）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段AB的中點(diǎn)為， 由得（判別式）, ∴, ∵點(diǎn)在圓上， ∴，∴. 10解:（1）設(shè)雙曲線的方程為 ，解額雙曲線的方程為 （2）直線，直線 由題意，得，解得

10、 11.解：法一（點(diǎn)差法） 法二：（1）設(shè)橢圓的方程為 由消去并整理得 設(shè)橢圓與直線兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，由韋達(dá)定理得 由弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為得即（1）. 由橢圓焦點(diǎn)為F1（0，）得（2） 由（1）、（2）解得、故所求的方程為 （2）由弦長公式得 12.解：（1）由題意，c＝1,可設(shè)橢圓方程為 因?yàn)锳在橢圓上，所以, 解得＝3，＝（舍去）。 所以橢圓方程為 ． 　　　　　　　　　　　　　　　?。?分 （2）設(shè)直線ＡＥ方程：得，代入得 設(shè)Ｅ（，），Ｆ（，）．因?yàn)辄c(diǎn)Ａ（1，）在橢圓上，所以 　　　　　　　　　　　　　

11、　　　　　　　　　　又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得 ， 。 所以直線EF的斜率。 即直線EF的斜率為定值，其值為。 13.解析：（1）由題意得所求的橢圓方程為，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本€MN與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有， 設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，由題意得，即有，其中的或； 當(dāng)時(shí)有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時(shí)代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1． 14.解析（1）由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程：，根據(jù)拋物線定義 點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即，解得 拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得 （2）由題意知，過點(diǎn)的直線斜率存在且不為0，設(shè)其為。 則，當(dāng) 則。 聯(lián)立方程，整理得： 即：，解得或 ，而，直線斜率為 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，聯(lián)立方程 整理得：，即： ，解得：，或 ， 而拋物線在點(diǎn)N處切線斜率： MN是拋物線的切線，， 整理得 ，解得（舍去），或，