高考數(shù)學(xué)文復(fù)習(xí)檢測：第八章 平面解析幾何 課時(shí)作業(yè)56 Word版含答案

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 課時(shí)作業(yè)56　定點(diǎn)、定值、探索性問題 1．過拋物線y2＝2px(p>0)上一定點(diǎn)P(x0，y0)(y0≠0)分別作斜率為k和－k的直線l1，l2，設(shè)l1，l2分別與拋物線y2＝2px交于A，B兩點(diǎn)，證明：直線AB的斜率為定值． 證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題易知k≠0.由消去x，得y2－y＋－2px0＝0，由韋達(dá)定理得y0＋y1＝，所以y1＝－y0.① 同理y0＋y2＝－，得y2＝－－y0.② 由①②得y1＋y2＝－2y0， 所以kAB＝＝＝＝－，故直線AB

2、的斜率為定值． 2．已知橢圓＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)M(，1)，離心率為. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)已知點(diǎn)P(，0)，若A，B為已知橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足＝－2，試問直線AB是否恒過定點(diǎn)？若恒過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由． 解：(1)由題意得＝，① 因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)M(，1)，所以＋＝1.② 又a2＝b2＋c2，③ 由①②③解得a2＝8，b2＝c2＝4， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)①當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，代入＋＝1，消去y，整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0. 由Δ>0，得8k2＋4－m

3、2>0.① 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以＝(x1－)(x2－)＋y1y2＝(x1－)(x2－)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(k2＋1)x1x2＋(km－)(x1＋x2)＋6＋m2＝－2，得(k2＋1)x1x2＋(km－)(x1＋x2)＋8＋m2＝0，即(k2＋1)＋(km－)＋8＋m2＝0， 整理得(m＋2k)2＝0， 從而m＝－k，滿足①， 所以直線AB的方程為y＝k， 故直線AB恒過定點(diǎn). ②當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，若直線為x＝，此時(shí)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，滿足＝－2， 此時(shí)直線x＝也過定點(diǎn). 綜上，直線AB恒過定點(diǎn).

4、 3．(20xx河北質(zhì)量監(jiān)測)已知橢圓E：＋＝1的右焦點(diǎn)為F(c,0)且a>b>c>0，設(shè)短軸的一個(gè)端點(diǎn)為D，原點(diǎn)O到直線DF的距離為，過原點(diǎn)和x軸不重合的直線與橢圓E相交于C，G兩點(diǎn)，且||＋||＝4. (1)求橢圓E的方程； (2)是否存在過點(diǎn)P(2,1)的直線l與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)A，B且使得2＝4成立？若存在，試求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解：(1)由橢圓的對(duì)稱性知||＋||＝2a＝4，∴a＝2.又原點(diǎn)O到直線DF的距離為，∴＝，∴bc＝，又a2＝b2＋c2＝4，a>b>c>0，∴b＝，c＝1.故橢圓E的方程為＋＝1. (2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)不滿足條件．

5、 故可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為y＝k(x－2)＋1，代入橢圓方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，Δ＝32(6k＋3)>0，∴k>－.∵2＝4，即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)]＝5，∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5， ∴4[－2＋4](1＋k2)＝4＝5，解得k＝，k＝－不符合題意，舍去．∴存在滿足條件的直線l，其方程為y＝x. 1．(20xx江西聯(lián)考)已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，它

6、的一個(gè)焦點(diǎn)恰好與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合． (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作橢圓C的兩條動(dòng)弦AB，AC，若直線AB，AC斜率之積為，直線BC是否一定經(jīng)過一定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由． 解：(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，則e＝＝，c＝1，故a2＝2，b2＝1，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)由(1)知A(0,1)，當(dāng)直線BC的斜率不存在時(shí)，設(shè)BC：x＝x0，設(shè)B(x0，y0)，則C(x0，－y0)，kABkAC＝＝＝＝≠，不合題意． 故直線BC的斜率存在．設(shè)直線BC的方程為：y＝kx＋m(m≠1)，并代入橢圓方

7、程，得： (1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0，① 由Δ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－1)>0得2k2－m2＋1>0.② 設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，則x1，x2是方程①的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得， x1＋x2＝－，x1x2＝， 由kABkAC＝＝得： 4y1y2－4(y1＋y2)＋4＝x1x2， 即(4k2－1)x1x2＋4k(m－1)(x1＋x2)＋4(m－1)2＝0，整理得(m－1)(m－3)＝0，又因?yàn)閙≠1，所以m＝3，此時(shí)直線BC的方程為y＝kx＋3. 所以直線BC恒過一定點(diǎn)(0,3)． 2．(20xx西安質(zhì)檢)如圖所示，已知橢

8、圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好在拋物線x2＝8y的準(zhǔn)線上． (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)點(diǎn)P(2，)，Q(2，－)在橢圓上，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足∠APQ＝∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說明理由． 解：(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)． ∵橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)恰好在拋物線x2＝8y的準(zhǔn)線y＝－2上，∴－b＝－2，解得b＝2. 又＝，a2＝b2＋c2， ∴a＝4，c＝2. 可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵∠APQ＝∠BPQ，則PA，PB的斜率互為相反數(shù)，可設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為－k，直線PA的方程為：y－＝k(x－2)，聯(lián)立化為(1＋4k2)x2＋8k(－2k)x＋4(－2k)2－16＝0， ∴x1＋2＝.同理可得： x2＋2＝＝， ∴x1＋x2＝，x1－x2＝， kAB＝＝＝. ∴直線AB的斜率為定值.