高考數(shù)學(xué)理二輪復(fù)習(xí)教師用書：第1部分 重點強化專題 專題2 第3講　等差數(shù)列、等比數(shù)列 Word版含答案

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 數(shù) 列 第3講　等差數(shù)列、等比數(shù)列 題型1　等差、等比數(shù)列的基本運算 (對應(yīng)學(xué)生用書第8頁) ■核心知識儲備……………………………………………………………………… 1．等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式 an＝a1＋(n－1)d； Sn＝＝na1＋d. 2．等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式 an＝a1qn－1(q≠0)； Sn＝＝(q≠1)． ■典題試解尋法……………………………………………………………………… 【典題1】　(考查等比數(shù)列的基本量運算)設(shè)等比數(shù)

2、列{an}的前n項和為Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，則m＝(　　) A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6 [解析]　∵Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21， ∴am＝Sm－Sm－1＝－16， am＋1＝Sm＋1－Sm＝32. ∴q＝＝－2. 又Sm＝＝－11， am＋1＝a1(－2)m＝32， ∴a1＝－1，m＝5. [答案]　C 【典題2】　(考查等差(比)數(shù)列的通項與求和)(20xx全國Ⅰ卷)已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求{an}的通項公式； (2

3、)求{bn}的前n項和. 【導(dǎo)學(xué)號：07804019】 [解]　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2. 所以數(shù)列{an}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，通項公式為an＝3n－1. (2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn， 得bn＋1＝， 因此{bn}是首項為1，公比為的等比數(shù)列． 記{bn}的前n項和為Sn， 則Sn＝＝－. [類題通法] 在等差(比)數(shù)列問題中最基本的量是首項a1和公差d(公比q)，在解題時往往根據(jù)已知條件建立關(guān)于這兩個量的方程組，從而求出這兩個量，其他問題也就會迎刃而解.這就是解決等差、等比數(shù)列問題的基本量的方法，這

4、其中蘊含著方程的思想. 提醒：應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時，務(wù)必注意公比q的取值范圍. ■對點即時訓(xùn)練……………………………………………………………………… 1．《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，全書收集了246個問題及其解法，其中一個問題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面四節(jié)容積之和為3升，下面三節(jié)的容積之和為4升，求中間兩節(jié)的容積各為多少？”該問題中第2節(jié)，第3節(jié)，第8節(jié)竹子的容積之和為(　　) A.升　　　　B．升　　　　C.升　　　　D．升 A　[自上而下依次設(shè)各節(jié)竹子的容積分別為a1，a2，…，a9，依題意有，因為a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9

5、＝2a8，故a2＋a3＋a8＝＋＝.選A.] 2．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)數(shù)列{bn}中，b1＝1，b2＝2，從數(shù)列{an}中取出第bn項記為cn，若{cn}是等比數(shù)列，求{bn}的前n項和． [解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 依題意有， 解得a1＝1，d＝2， 從而{an}的通項公式為an＝2n－1，n∈N*. (2)c1＝ab1＝a1＝1，c2＝ab2＝a2＝3， 從而等比數(shù)列{cn}的公比為3， 因此cn＝13n－1＝3n－1. 另一方面，cn＝abn＝2bn－1， 所以2

6、bn－1＝3n－1， 因此bn＝. 記{bn}的前n項和為Sn， 則Sn＝＝. ■題型強化集訓(xùn)……………………………………………………………………… (見專題限時集訓(xùn)T1、T4、T5、T9、T12、T13) 題型2　等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì) (對應(yīng)學(xué)生用書第9頁) ■核心知識儲備……………………………………………………………………… 1．若m，n，p，q∈N*，m＋n＝p＋q，則在等差數(shù)列中am＋an＝ap＋aq，在等比數(shù)列中，aman＝apaq. 2．若{an}，{bn}均是等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，則{man＋kbn}，仍為等差數(shù)列，其中m，k為常數(shù)． 3．

7、若{an}，{bn}均是等比數(shù)列，則{can}(c≠0)，{|an|}，{anbn}，{manbn}(m為常數(shù)，m≠0)，{a}，仍為等比數(shù)列． 4．(1)等比數(shù)列(q≠－1)中連續(xù)k項的和成等比數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比數(shù)列，其公比為qk. (2)等差數(shù)列中連續(xù)k項的和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列，公差為k2d. 5．若A2n－1，B2n－1分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前2n－1項的和，則＝. ■典題試解尋法……………………………………………………………………… 【典題1】　(考查等比數(shù)列的性質(zhì))(20xx福州五校二

8、模聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2－7x＋12＝0的兩根，則的值為(　　) A．2　 B．4 C．2 D．4 [解析]　∵a3，a15是方程x2－7x＋12＝0的兩根，∴a3a15＝12，a3＋a15＝7，∵{an}為等比數(shù)列，又a3，a9，a15同號，∴a9＞0，∴a9＝＝2，∴＝＝a9＝2.故選A. [答案]　A 【典題2】　(考查等差數(shù)列的性質(zhì))(20xx湘中名校聯(lián)考)若{an}是等差數(shù)列，首項a1＞0，a2 016＋a2 017＞0，a2 016a2 017＜0，則使前n項和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是(　　) A．2 016 B．2 017 C．4 0

9、32 D．4 033 [解析]　因為a1＞0，a2 016＋a2 017＞0，a2 106a2 017＜0，所以d＜0，a2 016＞0，a2 017＜0，所以S4 032＝＝＞0，S4 033＝＝4 033a2 017＜0，所以使前n項和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是4 032，故選C. [答案]　C 【典題3】　(考查數(shù)列的單調(diào)性與最值)(20xx洛陽一模)等比數(shù)列{an}的首項為，公比為－，前n項和為Sn，則當(dāng)n∈N*時，Sn－的最大值與最小值之和為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07804020】 A．－ B．－ C. D． [解析]　依題意得，Sn＝＝1－n.當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＝1＋

10、隨著n的增大而減小，1＜Sn＝1＋≤S1＝，Sn－隨著Sn的增大而增大，0＜Sn－≤；當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝1－隨著n的增大而增大，＝S2≤Sn＝1－＜1，Sn－隨著Sn的增大而增大，－≤Sn－＜0.因此Sn－的最大值與最小值分別為、－，其最大值與最小值之和為－＝＝，選C. [答案]　C [類題通法] 1.應(yīng)用數(shù)列性質(zhì)解題,關(guān)鍵是抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進行求解. 2．?dāng)?shù)列中項的最值的求法常有以下兩種： (1)根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)f(n)＝an，利用求解函數(shù)最值的方法(多利用函數(shù)的單調(diào)性)進行求解，但要注意自變量的取

11、值必須是正整數(shù)的限制． (2)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解，若求數(shù)列{an}的最大項，則可解不等式組若求數(shù)列{an}的最小項，則可解不等式組求出n的取值范圍之后，再確定取得最值的項． ■對點即時訓(xùn)練……………………………………………………………………… 1．已知等比數(shù)列{an}，且a6＋a8＝dx，則a8(a4＋2a6＋a8)的值為(　　) A．π2 B．4π2 C．8π2 D．16π2 D　[因為a6＋a8＝dx＝π42＝4π，所以a8(a4＋2a6＋a8)＝a8a4＋2a6a8＋a＝a＋2a6a8＋a＝(a6＋a8)2＝16π2，故選D.] 2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為S

12、n，且滿足S15>0，S16<0，則，，，…，中最大的項為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07804021】 A. B． C. D． C　[由S15＝＝＝15a8>0，S16＝＝16<0，可得a8>0，a9<0，d<0，故Sn最大為S8.又d<0，所以{an}單調(diào)遞減，因為前8項中Sn遞增，所以Sn最大且an取最小正值時有最大值，即最大，故選C.] ■題型強化集訓(xùn)……………………………………………………………………… (見專題限時集訓(xùn)T3、T6、T8、T10) 題型3　等差、等比數(shù)列的判定與證明 (對應(yīng)學(xué)生用書第10頁) ■核心知識儲備……………………………………………………………………

13、… 數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法： (1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法 ①利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為同一常數(shù)； ②利用中項性質(zhì)，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法 ①利用定義，證明(n∈N*)為同一常數(shù)； ②利用等比中項，即證明a＝an－1an＋1(n≥2)． ■典題試解尋法……………………………………………………………………… 【典題】　(20xx全國Ⅰ卷)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)． (1)證明：an＋2－

14、an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由． [解]　(1)證明：由題設(shè)知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1， 由于an＋1≠0， 所以an＋2－an＝λ. (2)由題設(shè)知a1＝1，a1a2＝λS1－1， 可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1. 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3. {a2n}是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－

15、an＝2， 因此存在λ＝4， 使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列． [類題通法] (1)判斷一個數(shù)列是等差(比)數(shù)列，也可以利用通項公式及前n項和公式，但不能作為證明方法. (2)都是數(shù)列{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，判斷時還要看各項是否為零. ■對點即時訓(xùn)練……………………………………………………………………… 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2,2Sn＝(n＋1)2an－n2an＋1，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，bnbn＋1＝λ2an. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)是否存在正實數(shù)λ，使得{bn}為等比數(shù)列？并說明理由． [解]　(1)由2Sn＝(n＋1)

16、2an－n2an＋1， 得到2Sn－1＝n2an－1－(n－1)2an， 所以2an＝(n＋1)2an－n2an＋1－n2an－1＋(n－1)2an， 所以2an＝an＋1＋an－1，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列， 因為2S1＝(1＋1)2a1－a2，所以4＝8－a2， 所以a2＝4，所以d＝a2－a1＝4－2＝2， 所以an＝2＋2(n－1)＝2n. (2)存在，因為bnbn＋1＝λ2an＝λ4n，b1＝1， 所以b2b1＝4λ，所以b2＝4λ，所以bn＋1bn＋2＝λ4n＋1， 所以＝4，所以bn＋2＝4bn，所以b3＝4b1＝4， 若{bn}為等比數(shù)列，則(b2)2＝b

17、3b1，所以16λ2＝41，所以λ＝. ■題型強化集訓(xùn)……………………………………………………………………… (見專題限時集訓(xùn)T2、T7、T11、T14) 三年真題| 驗收復(fù)習(xí)效果 (對應(yīng)學(xué)生用書第11頁) 1．(20xx全國Ⅰ卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為(　　) A．1　　 B．2 C．4 D．8 C　[設(shè){an}的公差為d，則 由 得解得d＝4. 故選C.] 2．(20xx全國Ⅲ卷)等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項的和為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：0780

18、4022】 A．－24 B．－3 C．3 D．8 A　[由已知條件可得a1＝1，d≠0， 由a＝a2a6可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝－2. 所以S6＝61＋＝－24. 故選A.] 3．(20xx全國Ⅱ卷)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(　　) A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞 B　[設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2，

19、 ∴S7＝＝＝381，解得a1＝3. 故選B.] 4．(20xx全國Ⅱ卷)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝(　　) A．21 B．42 C．63 D．84 B　[設(shè)數(shù)列{an}的公比為q. ∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21， ∴3＋3q2＋3q4＝21， ∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去)． ∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝221＝42.故選B.] 5．(20xx全國Ⅰ卷)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________． 64　[設(shè)等比數(shù)列

20、{an}的公比為q，則由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝.又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8. 故a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝23n ＝2＝2. 記t＝－＋＝－(n2－7n)， 結(jié)合n∈N*可知n＝3或4時，t有最大值6. 又y＝2t為增函數(shù)，從而a1a2…an的最大值為26＝64.] 6．(20xx全國Ⅲ卷)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. 【導(dǎo)學(xué)號：07804023】 (1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式； (2)若S5＝，求λ. [解]　(1)證明：由題意得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝，故a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan. 由a1≠0，λ≠0得an≠0， 所以＝. 因此{an}是首項為， 公比為的等比數(shù)列， 于是an＝. (2)由(1)得Sn＝1－. 由S5＝得1－＝， 即＝. 解得λ＝－1.