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1、
高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
第4講 數(shù)列求和
題型1 數(shù)列中an與Sn的關(guān)系
(對應(yīng)學生用書第11頁)
■核心知識儲備………………………………………………………………………
1.數(shù)列{an}中,an與Sn的關(guān)系:
an=
2.求數(shù)列{an}通項的方法:
(1)疊加法
形如an-an-1=f(n)(n≥2)的數(shù)列應(yīng)用疊加法求通項公式,an=a1+f(k)(和可求).
(2)疊乘法
形如=f(n)(n≥2)的數(shù)列應(yīng)用疊乘法求通項公式,an=a1…(積可求).
(3)待定系數(shù)法
形如an=λan
2、-1+μ(n≥2,λ≠1,μ≠0)的數(shù)列應(yīng)用待定系數(shù)法求通項公式,an+=λ.
■典題試解尋法………………………………………………………………………
【典題1】 (考查已知an與Sn的遞推關(guān)系求Sn)已知數(shù)列{an}滿足an+1=3an+2.若首項a1=2,則數(shù)列{an}的前n項和Sn=________.
[解析] 因為an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),故{an+1}是以a1+1=3為首項,3為公比的等比數(shù)列,
所以an+1=3n,所以an=3n-1.
Sn=a1+a2+…+an=(31-1)+(32-1)+…+(3n-1)=(31+32+…+3n)-n=-n=
3、-n,
所以Sn=-n=.
[答案]
【典題2】 (考查已知an與Sn的遞推關(guān)系求an)數(shù)列{an}中,a1=1,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且滿足=1(n≥2).求數(shù)列{an}的通項公式.
[解] 由已知,當n≥2時,=1,
所以=1,
即=1,所以-=.
又S1=a1=1,
所以數(shù)列是首項為1,公差為的等差數(shù)列,
所以=1+(n-1)=,
即Sn=.
所以當n≥2時,an=Sn-Sn-1=-=-.
因此an=
[類題通法]
給出Sn與an的遞推關(guān)系,求an,常用思路:一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系,再求其通項公式;二是轉(zhuǎn)化為Sn的
4、遞推關(guān)系,先求出Sn與n之間的關(guān)系,再求an.
提醒:在利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求通項公式時,務(wù)必驗證n=1時的情形
■對點即時訓練………………………………………………………………………
1.已知數(shù)列{an}滿足an+1=,若a1=,則a2 018=( )
A.-1 B.
C.1 D.2
D [由a1=,an+1=,得a2==2,a3==-1,a4==,a5==2,…,
于是歸納可得a3n-2=,a3n-1=2,a3n=-1,因此a2 018=a3672+2=2.故選D.]
2.已知數(shù)列{an}前n項和為Sn,若Sn=2an-2n ,則Sn=__________.
5、
n2n(n∈N*) [由Sn=2an-2n得當n=1時,S1=a1=2;當n≥2時,Sn=2(Sn-Sn-1)-2n,即-=1,所以數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,則=n,Sn=n2n(n≥2),當n=1時,也符合上式,所以Sn=n2n(n∈N*).]
■題型強化集訓………………………………………………………………………
(見專題限時集訓T1、T2、T3、T4、T5、T7、T8、T10、T11、T12)
題型2 裂項相消法求和(答題模板)
(對應(yīng)學生用書第12頁)
裂項相消法是指把數(shù)列與式中的各項分別裂開后,某些項可以相互抵消從而求和的方法,主要適用于或(其中{an}為等差數(shù)
6、列)等形式的數(shù)列求和.(20xx全國Ⅱ卷T15、20xx全國Ⅰ卷T17、20xx全國Ⅱ卷T16)
■典題試解尋法………………………………………………………………………
【典題】 (本小題滿分12分)(20xx全國Ⅰ卷)Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知an>0,.①
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè),②求數(shù)列{bn}的前n項和.
【導學號:07804027】
[審題指導]
題眼
挖掘關(guān)鍵信息
①
看到a+2an=4Sn+3,
想到a+2an+1=4Sn+1+3,兩式作差,求{an}.
②
看到bn=,
想到先求bn,想到能否裂項.
[規(guī)范解答] (1)由a
7、+2an=4Sn+3,可知.③ 1分
兩式相減可得a-a+2(an+1-an)=4an+1, 2分
即.④
由于⑤,所以an+1-an=2. 4分
又由a+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3. 5分
所以{an}是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,通項公式為an=2n+1. 6分
(2)由an=2n+1可知bn==.⑥ 8分
設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,則Tn=b1+b2+…+bn=
=. 12分
[閱卷者說]
易錯點
防范措施
③忽視an與Sn的關(guān)系導致思路不清.
an=Sn-Sn-1(n≥2)是聯(lián)系an與Sn的橋梁,常借助其實現(xiàn)互化關(guān)系.
④
8、忽視化簡、因式分解致誤.
當?shù)仁街谐霈F(xiàn)二元二次方程時,??紤]因式分解.
⑤忽視題設(shè)條件an>0,導致增解.
對題設(shè)條件可適當標注,以引起注意,同時解題后要反思總結(jié).
⑥忽視裂項或裂項后與原式不等價.
形如的數(shù)列常用裂項相消法求和,裂項后要注意系數(shù)的變化.
[類題通法]
裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成an=bn+k-bn(k≥1,k∈N*)的形式,常見的裂項方式有:
提醒:在裂項變形時,務(wù)必注意裂項前的系數(shù).
■對點即時訓練………………………………………………………………………
(20xx鄭州第三次質(zhì)量預測)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=-2,且滿
9、足Sn=an+1+n+1(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=log3(-an+1),設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn,求證:Tn<.
[解] (1)由Sn=an+1+n+1(n∈N*),得Sn-1=an+n(n≥2,n∈N*),
兩式相減,并化簡,得an+1=3an-2,
即an+1-1=3(an-1),又a1-1=-2-1=-3≠0,
所以{an-1}是以-3為首項,3為公比的等比數(shù)列,
所以an-1=(-3)3n-1=-3n.
故an=-3n+1.
(2)證明:由bn=log3(-an+1)=log33n=n,得==,
Tn===-<.
■題型強化集
10、訓………………………………………………………………………
(見專題限時集訓T6、T9、T13)
題型3 錯位相減法求和
(對應(yīng)學生用書第13頁)
■核心知識儲備………………………………………………………………………
錯位相減法:用于等差數(shù)列{an},等比數(shù)列{bn}構(gòu)成的數(shù)列{anbn},乘公比q作差.
■典題試解尋法………………………………………………………………………
【典題】 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
【導學號:07804028】
[解
11、] (1)因為a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,①
所以當n≥2時,a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=,②
由①-②得3n-1an=,所以an=(n≥2).
在①中,令n=1,得a1=,適合an=,
所以an=(n∈N*).
(2)證明:由(1)可得bn==n3n,
Sn=131+232+333+…+n3n,③
3Sn=132+233+334+…+n3n+1,④
由③-④得-2Sn=3+32+33+34+…+3n-n3n+1=-n3n+1,
故Sn=+.
[類題通法] 用錯位相減法求和時,應(yīng)注意:
(1)要善于識別題目類型,特別是等比數(shù)
12、列公比為負數(shù)的情形.
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”,以便于下一步準確地寫出“Sn-qSn”的表達式.
(3)應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1,如果不能確定公比q是否為1,應(yīng)分兩種情況進行討論,這在以前的高考中經(jīng)常考查.
■對點即時訓練………………………………………………………………………
已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公比q>0,S2=2a2-2,S3=a4-2.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=,求{bn}的前n項和Tn.
[解] (1)S2=2a2-2①,S3=a4-2②,
②-①得a3=a4-2
13、a2,則q2-q-2=0,
又∵q>0,∴q=2.
∵S2=2a2-2,
∴a1+a2=2a2-2,
∴a1+a1q=2a1q-2,
∴a1=2.
∴an=2n.
(2)由(1)知bn=,
∴Tn=+++…++,
Tn=+++…++.
錯位相減得
Tn=++++…+-,
可得Tn=2-.
■題型強化集訓………………………………………………………………………
(見專題限時集訓T14)
三年真題| 驗收復習效果
(對應(yīng)學生用書第14頁)
1.(20xx全國Ⅰ卷)幾位大學生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣,他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件
14、激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項是20,接下來的兩項是20,21,再接下來的三項是20,21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是( )
A.440 B.330
C.220 D.110
A [設(shè)首項為第1組,接下來的兩項為第2組,再接下來的三項為第3組,依此類推,則第n組的項數(shù)為n,前n組的項數(shù)和為.
由題意知,N>100,令>100?n≥14且n∈N*,即N出現(xiàn)在第13組之后.
第n組的各項和為=2n-
15、1,前n組所有項的和為-n=2n+1-2-n.
設(shè)N是第n+1組的第k項,若要使前N項和為2的整數(shù)冪,則N-項的和即第n+1組的前k項的和2k-1應(yīng)與-2-n互為相反數(shù),即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14),k=log2(n+3)?n最小為29,此時k=5,則N=+5=440.故選A.]
2.(20xx全國Ⅱ卷)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a3=3,S4=10,則=________.
【導學號:07804029】
[設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則
由得
∴Sn=n1+1=,
==2.
∴=+++…+
=2
=2=.]
3.(20xx全國Ⅱ卷)設(shè)Sn是數(shù)列{
16、an}的前n項和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=________.
- [∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,∴Sn+1-Sn=SnSn+1.∵Sn≠0,∴-=1,即-=-1.
又=-1,∴是首項為-1,公差為-1的等差數(shù)列.
∴=-1+(n-1)(-1)=-n,∴Sn=-.]
4.(20xx全國Ⅱ卷)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,且a1=1,S7=28.記bn=[lg an],其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[lg 99]=1.
(1)求b1,b11,b101;
(2)求數(shù)列{bn}的前1 000項和.
[解] (1)設(shè){an}的公差為d,據(jù)已知有7+21d=28,解得d=1.
所以{an}的通項公式為an=n.
b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.
(2)因為bn=
所以數(shù)列{bn}的前1 000項和為190+2900+31=1 893.