《高考數(shù)學(xué)理二輪復(fù)習(xí)教師用書(shū):第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專(zhuān)題 專(zhuān)題5 第12講 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) Word版含答案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)理二輪復(fù)習(xí)教師用書(shū):第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專(zhuān)題 專(zhuān)題5 第12講 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) Word版含答案(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
第12講 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)
題型1 圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第40頁(yè))
■核心知識(shí)儲(chǔ)備………………………………………………………………………
圓錐曲線的定義
(1)橢圓:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|);
(2)雙曲線||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|);
(3)拋物線:|PF|=|PM|,點(diǎn)F不在直線l上,PM⊥l于M.
■典題試解尋法………………………………………………………………………
【典題1】
2、 (考查圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解)設(shè)雙曲線與橢圓+=1相交且有共同的焦點(diǎn),其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(,4),則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
[思路分析] 依據(jù)已知條件,得出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和雙曲線過(guò)點(diǎn)(,4),利用定義法、待定系數(shù)法或共焦點(diǎn)曲線系方程求解即可.
[解析] 法一:(定義法)橢圓+=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,3),(0,-3).
根據(jù)雙曲線的定義知,2a=|-|=4,
解得a=2,又b2=c2-a2=5,
所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.故選A.
法二:(待定系數(shù)法)橢圓+=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,3),(0,-3).
設(shè)
3、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0),
則a2+b2=9.①
又點(diǎn)(,4)在雙曲線上,所以-=1.②
由①②解得a2=4,b2=5.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.故選A.
法三:(共焦點(diǎn)的曲線系方程)設(shè)雙曲線的方程為+=1(27<λ<36),由于雙曲線過(guò)點(diǎn)(,4),故+=1,解得λ=32或λ=0(舍去).故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.故選A.
[答案] A
【典題2】 (考圓錐曲線定義的應(yīng)用)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與拋物線C的一個(gè)交點(diǎn),若=4,則|QF|=( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào):07804086】
A. B.3 C
4、. D.2
[解析] 如圖所示,因?yàn)椋?,所以=,過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥l垂足為M,則MQ∥x軸,
所以==,所以|MQ|=3,由拋物線定義知|QF|=|QM|=3.
[答案] B
【典題3】 (考查圓錐曲線的軌跡問(wèn)題)(20xx福建泉州二模)在△ABC中,O是BC的中點(diǎn),|BC|=3,△ABC的周長(zhǎng)為6+3,若點(diǎn)T在線段AO上,且|AT|=2|TO|,建立合適的平面直角坐標(biāo)系,求點(diǎn)T的軌跡E的方程.
[解] 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),BC為x軸,BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy.依題意,得B,C.由|AB|+|AC|+|BC|=6+3,得|AB|+|AC|=6,故|AB|+|A
5、C|=6>|BC|,所以A的軌跡是以B,C為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓(除去長(zhǎng)軸端點(diǎn)).所以點(diǎn)A的軌跡方程為+=1(x≠3).設(shè)A(x0,y0),T(x,y),依題意=,所以(x,y)=(x0,y0),即代入A的軌跡方程+=1(x≠3),得+=1(x≠1),所以點(diǎn)T的軌跡E的方程為x2+2y2=1(x≠1).
[類(lèi)題通法]
1.求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型,后計(jì)算”
(1)定型,就是指定類(lèi)型,也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置,從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)計(jì)算,即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2,b2或p.另外,當(dāng)焦點(diǎn)位置無(wú)法確定時(shí),拋物線常設(shè)為y2=2ax或x2=2ay(a≠0),橢圓常設(shè)
6、為mx2+ny2=1(m>0,n>0),雙曲線常設(shè)為mx2-ny2=1(mn>0).
2.轉(zhuǎn)化法
利用拋物線的定義,將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離.
■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練………………………………………………………………………
1.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為2,它的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若△AOB的面積為,則拋物線的準(zhǔn)線方程為( )
A.x=-2 B.x=2
C.x=1 D.x=-1
D [因?yàn)閑==2,所以c=2a,b=a,雙曲線的漸近線方程為y=x.又拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-,聯(lián)立雙曲線的漸近
7、線方程和拋物線的準(zhǔn)線方程得A,B,在△AOB中,|AB|=p,點(diǎn)O到AB的距離為,所以p=,所以p=2,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1,故選D.]
2.設(shè)橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在橢圓上,且滿(mǎn)足=9,則||||的值為( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào):07804087】
A.8 B.10
C.12 D.15
D [因?yàn)镻是橢圓+=1上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),所以|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=4.因?yàn)椋?,所以||||cos∠F1PF2=9.因?yàn)閨|2=||2+||2-2||||cos∠F1PF2=(||+||)2-2||||-2||||cos∠F1P
8、F2,所以64-2||||-18=16.所以||||=15.故選D.]
■題型強(qiáng)化集訓(xùn)………………………………………………………………………
(見(jiàn)專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)T1、T2、T8、T9、T10、T11、T13)
題型2 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第41頁(yè))
■核心知識(shí)儲(chǔ)備………………………………………………………………………
1.橢圓、雙曲線中,a,b,c之間的關(guān)系
(1)在橢圓中:a2=b2+c2,離心率為e==;
(2)在雙曲線中:c2=a2+b2,離心率為e==.
2.雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=x.
注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系.
■典
9、題試解尋法………………………………………………………………………
【典題1】 (考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì))已知雙曲線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)分別是橢圓+=1(a>b>0)的焦點(diǎn)與頂點(diǎn),若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形恰為正方形,則橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
[思路分析]?。?(a>b>0)
雙曲線的方程―→雙曲線的漸近線橢圓的離心率.
[解析] 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),則由題意可知雙曲線的方程為-=1,其漸近線方程為y=x.因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線與橢圓的交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形恰為正方形,所以由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知,漸近線的方程為y=
10、x,即b=c,所以a==c,故橢圓的離心率e=,故選C.
[答案] C
【典題2】 (考查拋物線的幾何性質(zhì))已知拋物線C1:y=x2(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2:-y2=1的右焦點(diǎn)的連線交C1于點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線,則p=( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào):07804088】
A. B.
C. D.
[思路分析] 先由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得出直線方程,再對(duì)拋物線方程求導(dǎo),設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0),代入即可求得過(guò)點(diǎn)M的切線方程的斜率,結(jié)合C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線以及點(diǎn)M在拋物線上可得點(diǎn)M的坐標(biāo),把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線方程,求解即可.
[
11、解析] 由題意知,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),所以上述兩點(diǎn)連線的方程為+=1.
易知雙曲線的漸近線方程為 y=x.對(duì)函數(shù)y=x2求導(dǎo),得y′=x.設(shè)M(x0,y0),則x0=,即x0=p,代入拋物線方程得y0=p,即M.由于點(diǎn)M在直線+=1上,所以p+=1,解得p==.故選C.
[答案] C
[類(lèi)題通法]
確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍,其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程(組)或不等式(組),再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式.建立關(guān)于a,b,c的方程(組)或不等式(組),要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.
提醒:求橢圓、
12、雙曲線的離心率,常利用方程思想及整體代入法,該思想及方法利用待定系數(shù)法求方程時(shí)經(jīng)常用到.
■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練………………………………………………………………………
1.已知橢圓+=1(a>b>0),A,B為橢圓上的兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M,則橢圓的離心率e的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
D [設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,
則
即
所以(x1-x2)=(x-x),
所以=x1+x2.
又-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,x1≠x2,所以-2a<x1+x2<2a,則<2a,即<,所以e2>.又0<e<1,所以<e<1.]
2.已知雙
13、曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,傾斜角為的直線l過(guò)F2且與雙曲線交于M,N兩點(diǎn),且△F1MN是等邊三角形,則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_______.
y=x [由題意知,F(xiàn)2(c,0),c=,設(shè)M(c,yM),由-=1得y=b2=,|yM|=.因?yàn)椤鱂1MN是等邊三角形,所以2c=|yM|,即==,
即c2-a2-ac=0,
得=,c2=3a2,
又a2+b2=c2,
所以b2=2a2,
雙曲線的漸近線方程為y=x,
故雙曲線的漸近線方程為y=x.]
■題型強(qiáng)化集訓(xùn)………………………………………………………………………
(見(jiàn)專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)T3、T4、T5
14、、T6、T7、T12、T14)
三年真題| 驗(yàn)收復(fù)習(xí)效果
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第42頁(yè))
1.(20xx全國(guó)Ⅲ卷)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,且與橢圓+=1有公共焦點(diǎn),則C的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
B [由y=x可得=.①
由橢圓+=1的焦點(diǎn)為(3,0),(-3,0),
可得a2+b2=9.②
由①②可得a2=4,b2=5.
所以C的方程為-=1.
故選B.]
2.(20xx全國(guó)Ⅰ卷)已知方程-=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是( )
A.(-1,3) B.(-
15、1,)
C.(0,3) D.(0,)
A [若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,則
又∵(m2+n)+(3m2-n)=4,∴m2=1,∴
∴-13m2且n<-m2,此時(shí)n不存在.故選A.]
3.(20xx全國(guó)Ⅰ卷)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào):07804089】
A.2 B.4
C.6 D.8
B [設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),圓的方程為x2+y2=r2.
∵|AB|=4,|DE|
16、=2,
拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-,
∴不妨設(shè)A,D.
∵點(diǎn)A,D在圓x2+y2=r2上,
∴∴+8=+5,∴p=4(負(fù)值舍去).
∴C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.]
4.(20xx全國(guó)Ⅰ卷)已知M(x0,y0)是雙曲線C:-y2=1上的一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn),若<0,則y0的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
A [由題意知a=,b=1,c=,∴F1(-,0),F(xiàn)2(,0),∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0).
∵<0,∴(--x0)(-x0)+y<0,
即x-3+y<0.
∵點(diǎn)M(x0,y0)在雙曲線上,∴-y=1,即x=2+2y,∴2+2y-
17、3+y<0,∴-